具有双向系数的Clifford双四元数神经网络的固定时间同步及其在多光谱图像保护中的应用

《Neural Networks》：Fixed-Time Synchronization of Clifford Biquaternion Neural Networks with Two-Sided Coefficients and Application to Multispectral Image Protection

　　摘要：本文介绍了一种具有双向系数的Clifford双四元数神经网络（CBNN），并研究了其固定时间同步性，以及其在多光谱图像保护中的应用。所提出的模型提供了一种统一的八维超复数表示方法，自然地捕捉了由非交换乘法引起的明显的左右相互作用。通过将CBNN分解为四个复子代数子系统，我们设计了一个基于复数符号的通用控制器，并推导出了连续时间系统精确固定时间同步的充分条件，该条件具有与初始同步误差无关的明确上界。还提供了互补的指数时间和有限时间结果，以进一步阐明不同的收敛行为。在二神经元和四神经元CBNN上的数值实验，包括一个完全确定性的非均匀示例，验证了理论发现。在标准设置下，所提出的控制器在所有测试的初始误差中实现了最小的数值阈值到达时间。在多光谱图像保护的背景下，同步的CBNN状态与共享的主密钥和公共随机数结合，生成排列和混合模加/XOR扩散材料。在八波段多光谱图像上的实验表明，在无噪声传输下可以精确恢复数据，具有高密文熵，对密钥和明文都有很强的敏感性，并且对脉冲噪声具有鲁棒性。

引言：高维耦合数据在现代神经网络应用中无处不在，涵盖了遥感、医学成像、自主感知和非线性信号处理等领域。与每个样本表示为标量、复数或RGB向量的传统设置不同，许多新兴应用涉及具有众多相关通道的样本。例如，由多个光谱带组成的多光谱和高光谱图像在遥感和农业监测中变得不可或缺（Guerri等人，2024年；Helber等人，2019a年；Liu等人，2020年）。融合的视觉-LIDAR数据在自动驾驶中得到广泛应用，结合了图像和点云流，以利用互补的空间和几何线索（Cui等人，2021年；Sun等人，2020年）。医学图像序列和神经成像数据同样表现出丰富的空间、时间或结构关系（Glasseser等人，2016年）。因此，一个核心挑战在于设计能够在保留不同组件之间固有耦合的同时忠实表示多光谱信息的神经网络模型。实数和复数神经网络在许多场景中表现有效，但它们通常通过分割、堆叠或平坦化通道来处理高维数据。这些操作不可避免地会丢弃组件之间的代数关系。超复数神经网络提供了一个更原则性的替代方案。四元数代数由Hamilton（1847年）引入，允许将多达四个相关的组件编码成一个单一的代数变量，四元数神经网络已成功应用于结构化信号表示和神经网络同步问题（Parcollet等人，2020年；Peng, Qiu, Lu, Tu, Cao, 2022年；Peng, Wu, Tu, Alofi, Lu, 2023年；Zhang等人，2023年）。然而，四元数只有四个实数分量，对于更高维耦合数据（如八通道多光谱图像或融合的多模态传感器数据）来说可能仍然不够。这一限制促使引入了Clifford双四元数神经网络（CBNN）。Clifford双四元数包含八个实数分量，因此自然适用于单个统一的代数状态中的八个耦合通道。更重要的是，Clifford双四元数乘法是非交换的。因此，左乘和右乘代表不同的相互作用，不能简单合并。这种代数特性自然导致CBNN具有双向系数。最近关于双向四元数神经网络的研究表明，它在同步和加密问题上具有优势（Li等人，2025年）。与实数、复数或四元数网络相比，所提出的CBNN涉及八维相互作用、非交换乘积和耦合的左右系数项，所有这些都使得同步分析变得更加具有挑战性。同步是神经网络动力学中的一个基本话题（Chen等人，2025年；Guo等人，2019年；Shi等人，2026年；Yang等人，2021年）。在安全通信和信号恢复等应用中，人们不仅需要收敛性，还需要可预测的恢复时间。有限时间同步保证同步误差在有限时间内确切地变为零（Bhat和Bernstein，2000年），而固定时间同步进一步提供了与初始条件无关的稳定时间上界（Polyakov，2012年）。这些更强的收敛特性在时间关键任务中特别受欢迎。尽管已经为复数网络和神经系统报告了许多固定时间和预定义时间的同步结果（Lai和Wang，2026年；Li等人，2022年；Wang等人，2026年；Yang等人，2017年），并且已经对四元数神经网络（Wei和Wang，2024年；You等人，2025年）和Clifford神经网络（Manoj等人，2025年；Zhang等人，2025年）进行了扩展，但具有双向系数的Clifford双四元数神经网络的固定时间同步仍然 largely 未被探索。主要障碍是由于非交换的左右乘法而产生的强耦合非线性项。克服这一障碍对于释放CBNN在需要严格时间保证的应用中的潜力至关重要。现有研究逐渐将神经网络同步从实数和复数值系统扩展到四元数和Clifford数值模型。特别是，已经研究了具有耦合组件的四元数值神经网络的固定时间同步（Zhang等人，2023年），同时引入了双向四元数神经网络以保留由非交换乘法引起的明显左右相互作用（Li等人，2025年）。最近，还为Clifford数值神经网络开发了固定时间和预指定时间的同步结果，并应用于图像恢复（Zhang等人，2025年）。基于这些发展，本文进一步考虑了一个具有双向系数的八维Clifford双四元数神经网络。所提出的公式同时保留了八组件超复数表示和非交换的左右耦合结构。为了处理由此产生的共轭耦合项，我们利用了Ward（2012年）对Clifford双四元数的复数表示方法。具体来说，CBNN状态被分解为四个复子代数组件，这保留了原始的超复数结构，同时允许逐个组件估计误差系统。基于这种表示，我们设计了一个基于复数符号的通用控制器，并通过李亚普诺夫分析推导出了固定时间同步标准。为了展示所提出的同步CBNN的实际相关性，我们进一步将其应用于多光谱图像保护。目标不是设计一个完整的加密协议，而是展示如何通过固定时间同步的神经动态在发送者和接收者端生成一致的掩蔽材料。在实验中，八个代表性的多光谱带被打包成一个Clifford双四元数图像矩阵。同步的CBNN在两侧生成相同的掩蔽流，并采用排列-扩散机制来保护和随后恢复选定的通道。本文的主要贡献总结如下：1. 具有双向系数的CBNN模型。我们提出了一个在Cl3中制定的Clifford双四元数神经网络，每个状态包含八个实数分量。该模型采用双向连接系数来保留由非交换Clifford双四元数乘法引起的左右相互作用。与实数、复数和四元数值模型相比，所提出的CBNN为八维耦合数据提供了更合适的代数框架。2. 双向乘分的复子代数分解。我们通过将每个Clifford双四元数状态分解为四个Ci数值分量来推导CBNN的复子代数表示。双向乘法根据Cayley–Dickson乘法规则展开，保留所有共轭项。获得的功能Φpq?描述了激活组件对第?个复子代数通道的贡献，并允许将原始CBNN重写为四个耦合组件系统。3. 固定时间同步分析。为响应CBNN设计了一个基于复数符号的通用控制器。通过逐个组件估计有界的非线性耦合项并应用李亚普诺夫论证，我们建立了固定时间同步的充分条件。推导出的稳定时间上界与初始同步误差无关，控制器适用于非零和零误差组件。4. 多光谱图像保护应用。将同步的CBNN应用于多光谱图像保护。八个选定的带被打包成一个Clifford双四元数图像，同步的动态生成一致的掩蔽材料用于保护和恢复。实验、基线比较和安全相关测试证明了所提出框架的可行性和有效性。本文的其余部分组织如下：第2节介绍预备知识。第3节制定了所提出的CBNN并推导其复数表示。第4节提供了固定时间同步分析。第5节进行了数值模拟。第6节描述了图像保护应用。最后，第7节总结了本文。

预备知识：本节介绍了后续分析所需的数学预备知识。我们首先回顾了四元数和Clifford双四元数及其复数表示。接下来，我们回顾了一个具有双向系数的驱动-响应四元数神经网络（QNN），它为所提出的CBNN建立了基本的驱动-响应结构。然后我们定义了Clifford双四元数同步误差，并介绍了本文采用的固定时间同步概念。

CBNN的公式化：在本节中，我们介绍了一类新的超复数神经网络。具体来说，具有双向系数的Clifford双四元数神经网络（CBNN）定义如下。该模型在代数Cl3中制定，然后分解为四个耦合的复子代数子系统。这种分解为第4节进行的逐组件固定时间同步分析奠定了基础。

定义3.1 具有双向系数的CBNN：CBNN定义如下：
dx^p(t)dt=?rpx^p(t)+∑q=1na^pq(t)f^q(x^q(t))b^