使用相场有限体积物理信息神经网络进行基于界面观测的上升气泡流场重建

《Ocean Engineering》：Interface-observation-based reconstruction of rising-bubble flow fields using phase-field finite-volume physics-informed neural networks

　　

•相场观测能够实现隐藏气液流场的重建。
•有限体积弱形式约束将训练时间减少了 77% 以上。
•无需速度或压力标签即可推断隐藏的速度和压力。
•气泡上升基准验证了相场神经网络公式的有效性。
•适度的降采样可以平衡隐藏速度精度与训练成本。

引言
气液界面流广泛存在于海洋和海洋工程应用中，包括卷吸空气、气泡羽流、空化流和通气流，以及离岸系统中的气液输运。这些流动通常具有大密度比、强烈的界面变形、破碎、聚并和拓扑变化等特征，使得精确模拟和流场重建具有挑战性。在传统的计算流体力学 (CFD) 框架内，由于界面捕捉方法在处理复杂拓扑变化方面具有灵活性，通常优于显式界面追踪技术 (Scardovelli and Zaleski, 1999)。主要方法包括水平集 (LS) 方法 (Sussman et al., 1994)、流体体积法 (VOF) (Hirt and Nichols, 1981) 和相场 (PF) 方法 (Badalassi et al., 2003)。其中，PF 方法因其热力学一致性和平滑的弥散界面表示而受到越来越多的关注。具体而言，它通过连续序参量描述界面演化，从而避免了显式的几何界面重建，并为建模复杂两相动力学提供了便利的框架 (Xiao et al., 2022; Yue et al., 2004)。

尽管传统的界面捕捉方法已经成熟，但其计算成本仍然是高保真模拟、快速预测和工程应用中隐藏状态重建的主要限制。在传统 CFD 中，数值精度和稳定性与空间和时间分辨率密切相关。因此，解析强烈变形的气液界面通常需要密集网格、小时间步长和非线性迭代求解器 (Scardovelli and Zaleski, 1999; W?rner, 2012)。这种限制在 PF 模型中尤为明显。其控制方程，以 Cahn–Hilliard 系统为典型代表，涉及高阶空间导数，并要求在弥散界面厚度上进行充分解析，从而导致严格的离散化要求和巨大的计算开销 (Shen and Yang, 2010)。这些成本限制了基于 PF 的求解器在快速流场重建或数据同化任务中的直接应用，特别是在实际海洋工程场景中只有稀疏或间接观测可用时。

近年来，深度学习为减轻传统数值方法的计算负担以及从有限观测中提取潜在物理信息提供了新工具。在这些方法中，物理信息神经网络 (PINNs) 因其将偏微分方程 (PDEs) 嵌入训练损失中，从而将观测数据与基本物理定律相结合，而引起了广泛关注 (Jin et al., 2021; Raissi et al., 2019; Sun et al., 2020)。这种公式化方法提高了神经网络预测的物理一致性和可解释性，并已广泛应用于各种流体力学问题 (Arzani et al., 2021; Cai et al., 2021; Chu et al., 2024; Guo et al., 2025; Jin et al., 2021; Lucor et al., 2021; Shi et al., 2025; Wu et al., 2024, 2025; Yin et al., 2021)。

在将 PINNs 应用于单相流方面已取得显著进展，范围从微观/介观输运问题到宏观不可压缩流，以及从稳态层流状态到湍流建模 (Bai et al., 2020; De Florio et al., 2021; Eivazi et al., 2022; Yang et al., 2019)。除了前向模拟外，PINNs 也已扩展到反问题，包括流场数据同化、时空超分辨率重建，以及从稀疏或噪声测量中推断隐藏流动特征 (Eivazi et al., 2024; Geng et al., 2026; Liu et al., 2024; Zhang and Sun, 2021)。在海洋和海洋工程应用中，也已报告了相关的数据驱动和物理信息重建研究，包括 SUBOFF 流场重建、翼型缺失流场恢复、水下航行体尾流预测以及空化多相流场的稀疏重建 (Chu et al., 2024; Luo et al., 2024; Xu et al., 2024; Zhao et al., 2024)。这些研究表明，将稀疏观测与物理约束相结合用于海洋流动诊断和场重建的潜力。

相比之下，PINNs 应用于两相流仍然相对有限。Buhendwa 等人 (2021) 开发了一种基于 VOF 的不可压缩两相流 PINNs 框架。他们的反问题建模表明，速度场和压力场可以从界面位置观测中推断出来，证明了基于界面运动的隐藏流推断的可行性。然而，他们的前向建模仅限于相对简单的库埃特流和泊肃叶流。对于包括气泡上升在内的二维反问题情况，该框架需要在界面附近局部细化训练点并仔细加权损失，以保持界面分辨率和训练稳定性。类似地，Radhakrishnan 等人 (2024) 提出了一种称为 DPINN 的分布式架构，同样基于 VOF 公式用于前向和反问题两相流问题。然而，他们的前向解仅限于纯对流方程且无动量耦合。虽然实现了从界面位置数据进行全局物理推断，但该框架依赖于基于高斯概率模型的子域划分和动态权重调整，这增加了架构复杂性和计算开销。

Dai 等人 (2024) 进一步将基于 VOF 的 PINNs 框架扩展到更复杂的气泡动力学，包括气泡上升和大密度比下的拓扑破裂。然而，由于 VOF 体积分数场在锐界面处包含陡峭的过渡，他们的模型需要在界面附近进行局部采样细化，并采用依赖于案例的损失加权来改善界面分辨率和训练稳定性。这些辅助处理提高了稳定性，但也引入了额外的超参数并增加了模型部署和调优的难度。随后，Zhou 等人 (2024) 提出了 AT-PINNs 模型，结合时域分解和自适应加权，在统一的前向模拟框架内比较了气泡上升的 VOF、LS 和 PF 公式。他们的结果提供了关于不同界面捕捉公式在 PINNs 中适用性的有用见解，但该研究专注于前向模拟和基准比较，而不是基于界面观测且无速度和压力标签的重建。

为解决与不连续界面变量相关的逼近困难，Qiu 等人 (2022) 将热力学一致且平滑的 PF 公式引入 PINNs 框架，导致了 PF-PINNs 的开发。他们的研究表明，PF-PINNs 可以模拟单涡旋剪切流和密度比高达 1000:1 的气泡上升过程，显示了弥散界面建模与物理信息学习之间的兼容性。为减轻更复杂场景下的训练负担，后续研究开发了一种基于空间域分解的并行 PF-PINNs 框架用于复杂界面演化 (Qiu et al., 2024)，并将分布式训练策略扩展到三维两相流模拟 (Qiu et al., 2025)。最近，Huang 等人 (2025) 提出了一种具有自适应时间推进和加权采样策略的轴对称 PF-PINNs 模型，实现了对多种机制下气泡上升动力学的有效模拟。这些研究表明，基于 PF 的 PINNs 为两相流建模提供了一条有前途的途径，但涉及高阶相场方程时，其强形式残差评估仍然遭受巨大的计算开销。

通过自动微分 (AD) 评估 PDE 残差，PINNs 避免了对控制方程的显式基于网格的离散化，并为前向模拟和反问题推断提供了灵活的框架。这一特征对于将 PF 公式应用于两相流具有吸引力。然而，当需要快速流场重建时，强形式 PINNs 的计算效率仍然是一个主要关注点。在强形式残差评估中，高阶空间和时间导数可能导致计算图扩展和反向传播期间内存消耗增加，特别是对于涉及 Cahn–Hilliard 类型方程的 PF 模型 (Baydin et al., 2018)。除了网络架构优化和自适应训练策略外，将物理约束从强形式重新表述为弱形式已成为一个重要方向。从 PDE 理论的角度来看，足够平滑的强形式解也满足相应的弱形式，这为构建弱形式物理信息损失提供了基础。最近的研究表明，弱形式约束可以在保持解精度的同时提高训练稳定性和效率 (Cen and Zou, 2024; De Ryck et al., 2024; Lyu et al., 2022; Zang et al., 2020)。特别是，基于有限体积的公式提供了一种自然的方式来强制局部守恒并在残差构造中降低微分阶数 (Cao et al., 2024; Geng et al., 2026; Ranade et al., 2021; Wei et al., 2025)。相关的基于图的和物理信息学习方法也展示了将离散守恒结构与神经网络模型相结合用于流体流动问题的潜力 (Li and Farimani, 2022; Peng et al., 2023)。这些发展激励了本研究将 PF 建模与有限体积弱形式 PINNs 相结合，用于高效的气液流场重建。

基于上述综述，当前基于 PINNs 的两相流研究可大致分为锐界面公式，如基于 VOF 的模型，和弥散界面公式，如基于 PF 的模型。在前向气泡上升模拟中，基于 VOF 的 PINNs 已显示出表示界面运动的能力，但在点式强形式训练下，体积分数场的不连续性难以使用平滑神经网络进行逼近。因此，通常需要自适应损失加权、局部采样细化或域分解策略来改善稳定性和界面分辨率。基于 PF 的 PINNs 通过使用平滑的弥散界面变量减轻了这种逼近困难，并已针对复杂气泡动力学（包括高密度比情况）进行了验证。然而，PF 方程中涉及的高阶导数大幅增加了强形式 PINNs 中的 AD 负担。对于基于界面观测的重建，基于锐界面变量的现有研究已证明了从界面运动推断隐藏速度和压力场的可行性，但它们通常需要聚焦界面的采样或仔细选择的损失加权策略来保持界面分辨率和训练稳定性。基于 PF 的 PINNs 通过平滑的弥散界面变量减轻了这种逼近困难，但其强形式残差仍涉及高阶导数和巨大的自动微分开销。这些考虑因素激励了开发有限体积弱形式 PF-FVPINNs 框架，以从相场观测中重建隐藏的速度和压力场，同时减少与强形式残差评估相关的计算成本。

因此，需要一种高效的气液流场重建框架，既能利用有限的界面观测，又能减少与高阶强形式残差评估相关的计算负担。在我们之前的工作中，有限体积物理信息神经网络 (FVPINNs) 已用于单相不可压缩流重建 (Geng et al., 2026)。在本研究中，有限体积策略通过引入化学势作为额外的网络输出、通过单独的有限体积残差强制化学势关系，以及利用相依赖的密度和粘度及相场表面张力构建动量残差，扩展到耦合的 Cahn–Hilliard–Navier–Stokes 系统。所得框架仅从相场观测中重建隐藏的速度和压力场，同时避免了强形式相场公式所需的高阶自动微分。通过在离散控制体积上构建积分守恒残差，FVPINNs 减少了对高阶强形式导数的依赖，并实现了改进的训练效率。受此思想启发，本研究将有限体积弱形式策略扩展到相场两相流，并开发了相场有限体积物理信息神经网络 (PF-FVPINNs) 框架，用于基于界面观测的气液流场重建。本工作的主要贡献总结如下：

(a)针对具有不同密度比的典型二维气泡上升基准进行了前向验证研究。目的是评估相场公式在当前强形式 PINNs 框架中的适用性，并为后续重建构建控制数据集。与锐界面 VOF 公式相比，发现弥散界面 PF 公式在当前强形式 PINNs 设置下更兼容平滑神经网络逼近，从而带来更稳定的界面预测和与基准气泡动力学更好的吻合度。

(b)开发了一个 PF-FVPINNs 框架，用于仅使用界面演化数据重建隐藏的速度和压力场。在重建任务中，相场变量用作外部监督，而速度和压力标签被排除在训练之外。通过为控制方程引入有限体积弱形式约束，PF-FVPINNs 减少了与强形式 PF-PINNs 相关的高阶自动微分开销。数值实验表明，PF-FVPINNs 在保留强形式 PF-PINNs 整体重建能力的同时，将训练时间减少了 77% 以上，相当于约 4.4 倍的加速。

(c)系统研究了稀疏界面观测对隐藏场重建的影响。结果揭示了观测稀疏性的变量相关响应，并表明适度的降采样可以为隐藏速度重建提供有利的精度 - 成本权衡。在当前数值设置下，观测间距与界面厚度之间的相对尺度可能导致速度误差的非单调变化。

章节片段
方法学
本节介绍了用于前向验证和基于界面观测的气液界面动力学重建的物理模型和物理信息学习框架。首先，在统一的无量纲框架中引入了相场和 VOF 公式的控制方程。

随后建立了一种强形式 PINNs 模型，用于由初始条件、边界条件和方程残差驱动的前向模拟，而不使用内部。案例选择与训练策略：本节描述了用于前向验证和流场重构的基准案例、数据集构建和训练协议。采用经典的二维上升气泡问题作为测试案例，前向模拟和重构实验均在相同的无量纲框架内进行。在前向阶段，模型受初始条件、边界条件和控制方程残差约束，而不使用内部。前向验证及 PF 与 VOF 公式的比较：在本节中，对两个基准案例进行了前向模拟，以验证 PF-PINNs 重现基准动态的能力，并在共同的强形式 PINNs 设置下比较 PF 和 VOF 公式。神经网络以时空坐标作为输入，在不使用内部流场观测的情况下预测相应的物理场。为了进行受控比较，PF-PINNs 和 VOF-PINNs 采用相同的网络架构、初始和边界条件。结论：以不可压缩上升气泡问题为基准，本研究调查了用于气液两相流前向验证和基于界面观测的流场重构的相场物理信息神经网络。首先使用前向模拟评估不同密度比条件下 PF 公式的适用性，并构建受控参考数据集。基于已验证的 PF 公式，构建了一个有限体积弱形式框架，

CRediT 作者贡献声明：Zhiyuan Geng：概念化、正式分析、方法论、验证、写作 – 原稿。Rui Deng：正式分析、资金获取、监督、写作 – 审阅与编辑。Xiang Yu：调查、方法论、验证。Hailong Liu：方法论、可视化。Hang Ren：方法论、验证。Shengze Cai：资金获取、调查、方法论、资源。

数据可用性：支持本研究结果的数据可根据合理要求从通讯作者处获得。

利益冲突声明：作者声明，他们没有已知的竞争财务利益或个人关系，这些利益或关系可能影响本文报告的工作。

致谢：本工作得到了深圳市海洋经济创新发展示范项目（批准号 HYSF2026002）、船舶技术与安全国家重点实验室（批准号 W24CG000073 和 SKLMTA-DMU2024Y1）、国家自然科学基金（批准号 52171330）以及浙江省自然科学基金（批准号 LZ24F030003）的支持。

Zhiyuan Geng|Rui Deng|Xiang Yu|Hailong Liu|Hang Ren|Shengze Cai