物理信息神经网络与微分变换方法在膜壳理论中约化二阶常微分方程的比较

《Symmetry》：Physics-Informed Neural Networks Versus Differential Transform Method for Reduced Second-Order ODEs in Membrane Shell Theory

　　

本文呈现了两种方法（物理信息神经网络PINNs与微分变换方法DTM）的比较研究，用于求解来自旋转壳膜理论的二阶常微分方程。所考虑的方程源于壳结构的旋转对称性，这使得控制偏微分方程可以约化为对应于各个周向谐波的一系列常微分方程。研究比较了经典微分变换方法（DTM）与物理信息神经网络（PINNs）。研究人员研究了初始值和边界值问题，包括具有已知解析解的基准例子以及PINN架构对求解精度影响的系统分析。对于PINN方法，研究人员检验了配置点数量、隐藏层数和每层神经元数对近似误差和训练时间的影响。结果表明，DTM以最小计算成本提供了构造初始值问题解析解的有效框架。然而，其应用于边界值问题需要引入额外的辅助参数并求解补充的非线性方程，显著增加了过程的解析复杂性。相反，PINNs通过损失函数自然包含边界条件，对初始值和边界值问题均实现了高精度。呈现的结果展示了如何利用几何对称性结合现代科学机器学习技术，为求解壳力学中出现的微分方程提供有效的计算框架。

## 论文解读：物理信息神经网络与微分变换方法在膜壳理论约化二阶常微分方程中的应用

### 研究背景与问题

薄壁壳结构是现代土木、机械和航空航天工程中至关重要的结构构件，其静动态行为分析需求解复杂的微分方程组。传统求解方法包括封闭解析解（适用于简单几何）、数值离散化方法（如有限元法，需精细网格设计）以及半解析技术（结合符号运算与级数展开）。在旋转壳膜理论中，控制方程是一组关于应力合力与位移的耦合偏微分方程（PDEs），由于几何具有旋转对称性，这些PDEs的系数与周向坐标无关，可通过傅里叶分解将PDEs约化为一系列独立常微分方程（ODEs），每个ODEs对应一个周向谐波。

微分变换方法（DTM）是一种经典半解析方法，可构造幂级数解，已成功应用于壳分析等力学问题。然而，其实际应用受限于耦合方程、变系数、强非线性、复杂边界条件施加以及截断阶数增加导致的代数复杂度急剧上升。对于边界值问题，DTM常需引入辅助参数并求解补充非线性代数方程，显著增加分析工作量。物理信息神经网络（PINNs）作为一种新兴方法，将物理定律直接嵌入神经网络训练过程，提供灵活的无网格框架。尽管DTM和PINNs在壳力学中各自有应用，但针对同一类ODEs（即旋转壳膜方程傅里叶约化后的序列ODEs）的系统比较尚未见报道。为此，本研究旨在填补这一空白，详细比较两种方法在初始值和边界值问题上的准确性、计算效率和灵活性，阐明其互补优势与局限，为壳分析中类似微分问题提供方法选择指导。

### 研究方法与关键技术

本研究对比了两种方法：DTM和PINNs。DTM是一种半解析方法，通过将微分方程变换为代数递推关系，在展开点附近构造幂级数解，适用于初始值问题；对于边界值问题，需引入未知参数并求解补充非线性方程。PINNs是一种基于优化的无网格方法，使用神经网络近似解，通过自动微分计算导数，将微分方程残差和初始/边界条件作为损失函数项，通过优化（如Adam优化器）训练网络；本研究采用软约束（soft-constraint）形式，损失函数包括微分方程残差损失和初始/边界条件损失，权重系数固定为等权重。所有数值实验在配备Intel Core i9处理器、32GB RAM、NVIDIA RTX 3070显卡的工作站上进行。DTM实现使用Wolfram Mathematica 15.1，PINNs实现使用PyTorch 2.12.1（Python 3.14.0），网络权重采用Glorot均匀初始化，激活函数为双曲正切（tanh），训练迭代次数固定为50,000次。

### 研究结果

**4.1 计算设置**
为保障可重复性，两种方法在受控计算环境下评估。PINNs采用Adam优化器，初始学习率1e-3，训练迭代固定为50,000次以公平比较不同架构的计算时间。配置点从区间均匀分布独立采样，数量与网络架构在相应表格中列出。

**4.2 示例1：初始值问题**
针对已知解析解（y(x)=e^x）的基准问题，方程形式为 (x²+1)y''+2xy'-2y=0，初始条件y(0)=1, y'(0)=1。DTM通过递推关系成功重构精确解，得到系数公式并验证。PINNs采用不同配置点数和网络架构，结果（表1）显示，如32个配置点、3个隐藏层、每层16个神经元时，平均误差约10^-5，最大误差约10^-4，训练时间约数十秒。收敛历史显示损失函数和相对L₂误差整体下降。

**4.3 示例2：初始值问题**
方程 (x²-1)y''+2xy'=0，初始条件y(0)=0, y'(0)=1，解析解y(x)=arctanh(x)。DTM得到近似解，14项近似时最大误差仅1.1×10^-10。PINNs（表2）中，简单架构（如2个隐藏层、每层8个神经元）表现良好，平均误差约10^-6，最大误差约10^-5；增加网络复杂度未显著提升精度，反而增加训练时间（如从约50秒增至约200秒）。结果表明，对于该问题，较浅网络即可达到高精度。

**4.4 示例3：边界值问题**
方程 y''+ (1/x)y' - (1/x²)y = 0，边界条件y(1)=1, y(2)=2，解析解y(x)=x。DTM需引入未知参数q（代表y'(1)），通过递推得到含q的近似解，再通过边界条件y(2)=2解非线性方程（如q=3精确解），过程复杂。PINNs直接通过损失函数施加边界条件，无需额外参数，最佳架构（2个隐藏层、每层8个神经元）平均误差约10^-6，最大误差约10^-5，训练时间约50秒。表3显示，3个隐藏层架构在精度与计算成本间取得较好平衡。

**4.5 DTM与PINNs结果比较**
DTM在初始值问题中高效，可精确或近似解析解；但边界值问题需额外参数，分析复杂度增加。PINNs对两类问题均灵活，通过损失函数自然处理边界条件，但需训练时间（数十至数百秒），且网络架构和超参数敏感。两者本质不同：DTM是局部级数方法，PINNs是全局优化方法。选择取决于问题类型：初始值问题可优先考虑DTM，边界值问题推荐PINNs。

### 讨论与结论

讨论部分指出，DTM在初始值问题中极具吸引力，但边界值问题中辅助参数引入增加了工作量；PINNs虽计算成本高，但灵活性更强，尤其适用于边界值问题。研究强调，网络架构增加并不必然提升精度，较浅架构在固定迭代预算下更优。结论部分总结如下（翻译自原文第5节）：
首先，本研究证明了DTM在初始值问题（IVPs）中的高效性：一旦推导出递推关系，该方法能以最小计算工作量直接重构幂级数形式的精确解析解。PINNs也取得了优异精度，平均预测误差约10^-5，但需专门的网络训练阶段。
其次，在边界值问题（BVPs）中观察到两种方法的明显差异。对于此类问题，DTM需引入额外的未知辅助参数，随后求解补充非线性方程，显著增加了方法的解析复杂性。而PINNs通过损失函数自然处理边界条件，无需引入任何辅助参数，展示了其在边界值问题中的灵活性。
第三，关于网络架构对PINNs性能的影响，对于所考虑的问题类别，增加神经网络的深度和宽度并未带来解精度的成比例提升。相对较浅的架构通常能在解精度和计算成本之间提供有利折中。尽管更深架构偶尔产生略小的误差，但在固定50,000次训练迭代预算下，增加模型复杂度主要导致训练时间增加，而精度改进有限。
最后，DTM与PINNs的选择应取决于边界条件的性质和分析目标。DTM仍是获取显式解析近似和洞察简单初始条件问题数学结构的出色工具。然而，对于本研究中考虑的边界值问题，推导递推关系在解析上更为繁琐，PINNs提供了灵活的计算替代方案。尽管该方法涉及与网络训练相关的较高计算成本，但其将边界条件直接纳入损失函数的能力使PINNs成为所研究问题类别中经典半解析技术的有吸引力的替代方案。