《Applied Mathematics and Computation》：A new perspective on summability techniques via Laplace transform with Korovkin-type approximation
摘要 在本文中，我们引入并研究了通过拉普拉斯变换对函数序列的统计切萨罗可和性与统计推迟切萨罗可和性的概念。首先，我们建立了这些概念之间的新包含定理，并通过说明性示例加以支持。然后，我们将这些技术应用于获得函数序列的拉普拉斯逆变换。利用这一框架，我们推导了求解高阶常微分方程的重要结果，并讨论了在电路模型中的应用，包括 RL 和 LC 电路。此外，我们利用基于正核的拉普拉斯算子序列的切萨罗均值研究了傅里叶级数的拉普拉斯变换，并建立了一些新结果。另外，基于所提出的方法，我们借助三角测试函数 1, cos t 和 sin t 证明了两个新的科罗夫金型定理。给出了一个涉及与新类费耶尔型卷积算子相关的正线性算子的说明性示例，以展示理论发现的应用性。最后，使用 MATLAB 图形化展示了所考虑的电路模型和算子的收敛行为。
1. 引言与预备知识
拉普拉斯变换是数学中的重要工具，有助于我们研究函数和函数序列。它将函数转换为另一种通常更容易理解和处理的形式。当我们将拉普拉斯变换应用于函数序列时，它在分析这些序列的行为时变得有用，特别是在正常收敛不发生的情况下。拉普拉斯变换在该领域的主要用途之一是在切萨罗可和性中（见 [1]）。有时一个序列在通常意义下不收敛，但在对其项取平均时仍可能具有有意义的极限。切萨罗可和性提供了这样一种方法，而拉普拉斯变换有助于以简单的方式研究这些平均极限。另一个重要概念是统计收敛，它是普通收敛的推广。在统计收敛中，我们不要求序列的所有项都趋近于极限，但大多数项应该这样做。拉普拉斯变换在理解这种类型的收敛方面发挥了有益的作用，特别是对于行为不规则的序列。统计切萨罗可和性的想法结合了统计收敛和切萨罗可和性。它提供了一种更强且更灵活的方式来研究可能无法正常收敛的序列。拉普拉斯变换提供了强大的技术来检查此类序列及其极限行为。
拉普拉斯变换也与傅里叶级数有关，傅里叶级数用于通过正弦和余弦项表示周期函数（见 [2]）。在许多情况下，傅里叶级数可能不容易收敛，因此求和方法变得必要。拉普拉斯变换可以支持这些方法并改善我们对傅里叶展开的理解。在逼近论中，拉普拉斯变换在证明科罗夫金型定理时很有用（见 [3]）。这些定理帮助我们确定算子序列何时收敛于一个函数。这些结果在数值分析和逼近方法中很重要，拉普拉斯变换为这些研究提供了坚实的数学基础。最后，拉普拉斯变换有许多实际应用。它们广泛应用于物理、工程、信号处理和控制系统中。涉及热流、电路、振动和种群模型的问题使用拉普拉斯变换技术可以更容易地解决。因此，研究函数序列的拉普拉斯变换不仅在数学上有意义，而且在实际应用中也有价值。
设 {fn(t)}n=1∞ 是定义在 [0, ∞) 上的实值函数序列。这意味着对于每个正整数 n，函数 fn(t) 为每个 t ≥ 0 分配一个实数。
对于每个函数 fn(t)，我们用 Fn(s) 表示其拉普拉斯变换，遵循 [2] 中给出的标准定义：
Fn(s)=L{fn(t)}(s)=∫0∞e?stfn(t)dt,s>0.
这里，t 表示时域变量，而 s 代表变换参数，通常假设为正实数。称为指数核的项 e?st 在确保积分在适当条件下收敛方面起着至关重要的作用。通过这种积分变换，原始函数 fn(t) 被从时域映射到其对应的 s 域表示 Fn(s)。
拉普拉斯变换是数学、物理和工程中的重要分析工具，特别是在研究微分和积分方程时，它将复杂的函数关系转换为更易于处理的代数形式。
通常，序列 {Fn(s)} 可能在普通意义下不收敛。因此，我们引入积分形式的切萨罗可和性。
如果 limN→∞∫0∞e?st(1N∑n=1Nfn(t))dt=F(s)，则称序列 {Fn(s)} 在拉普拉斯变换下切萨罗可和于函数 F(s)。
等价地，我们可以写为 limN→∞σN(s)=limN→∞1N∑n=1NFn(s)=F(s)，其中 Fn(s)=L{fn(t)}(s)。
考虑由以下定义的函数 {fn(t)}：
fn(t)=(?1)ne?t,t≥0.
接下来，Fn(s)=L{fn(t)}(s)=∫0∞e?st(?1)ne?tdt,s>0.
计算积分，我们得到 Fn(s)=(?1)n∫0∞e?(s+1)tdt=(?1)n1s+1.
因此，序列 {Fn(s)} 的形式为 1s+1,?1s+1,1s+1,? 因此它在通常意义下不收敛。
现在，考虑一阶拉普拉斯变换下的切萨罗均值为 σN(s)=∫0∞e?st(1N∑n=1Nfn(t))dt.
我们计算 {fn(t)} 的切萨罗平均为 1N∑n=1Nfn(t)=1N∑n=1N(?1)ne?t=e?t(1N∑n=1N(?1)n).
由于 limN→∞1N∑n=1N(?1)n=0，由此可得 limN→∞1N∑n=1Nfn(t)=0.
因此，limN→∞σN(s)=∫0∞e?st·0dt=0.
因此，虽然序列 {Fn(s)} 不收敛，但它在拉普拉斯变换下是切萨罗可和的，我们得出结论 limn→∞σN(s)=0.
这表明拉普拉斯变换 {Fn(s)} 在积分意义上是切萨罗可和的。
基于上述研究动机，我们引入了在拉普拉斯变换下函数序列的统计切萨罗可和性与统计推迟切萨罗可和性的概念。首先，我们证明了这些概念之间的新包含定理，并通过说明性示例加以支持。我们进一步应用这些技术获得此类序列的拉普拉斯逆变换。利用这种方法，我们推导了解决高阶常微分方程的重要结果，并讨论了涉及 RL 和 LC 电路的电路模型的应用。此外，我们利用基于正核的拉普拉斯算子序列的切萨罗均值研究了傅里叶级数的拉普拉斯变换，并建立了一些新结果。此外，基于所提出的方法，我们证明了两个新的科罗夫金型逼近定理，采用三角测试函数 1, cos t 和 sin t。给出了一个涉及与新类费耶尔型卷积算子相关的正线性算子的说明性示例，以展示理论发现的应用性。
2. 拉普拉斯变换下的统计切萨罗可和性
单序列的统计收敛思想由 Fast [4] 和 Steinhaus [5] 独立提出。后来，这一概念被推广到双序列甚至更高维的框架中，在各种重要方向上（例如，见 Basa?r 和 Sava?ci [6], Srivastava 等人 [7],8]）。设 S 为序列空间，并考虑属于 S 的实（或复）数序列 {xk}。在收敛的经典定义下，序列的每一项必须最终趋近于规定的极限。然而，存在一些序列在普通意义下不收敛，但它们的项对于大多数索引来说接近某个值。这一观察自然导致了统计收敛的引入，它在自然密度的方面捕捉了这种几乎处处类型的极限行为。
如果对于每个 ε > 0，集合 {k∈N: |xk??|≥ε} 具有零自然密度，则序列 xk 统计收敛于一个数 ?。换言之，对于每个 ε > 0，序列前 n 个元素中与 ? 相差至少 ε 的项的比例随着 n → ∞ 趋于零。在这种情况下，我们通过写 statlimk→∞xk=? 来表示序列的统计极限。
这一定义意味着随着 k 增加，偏离 ? 至少 ε 的序列项变得微不足道。统计收敛是传统收敛的推广，在可和理论 [9], [10]，逼近论 [11], [12]，傅里叶级数 [13], [14]，测度论 [15], [16]，概率论 [17], [18] 和序列空间研究 [19], [20], [21] 中有重要应用。
接下来，我们基于拉普拉斯变换下的统计切萨罗可和性建立以下定义。
定义 1
如果序列 {Fn(s)} 的切萨罗均值序列在拉普拉斯变换下统计收敛于 F(s)，则称序列 {Fn(s)} 在拉普拉斯变换下统计切萨罗可和于 F(s)；即，对于每个 ε > 0，
limN→∞1N|{k≤N:|σk(s)?F(s)|≥ε}|=0.
在这种情况下，我们写为 statCLTlimN→∞σN(s)=F(s).
我们给出一个函数序列的例子，其拉普拉斯变换是统计切萨罗可和的但不是经典切萨罗可和的。
例 1
定义 [0, ∞) 上的函数 {fn(t)} 为
fn(t)={ne?t,ifn=m2forsomem∈N,0,otherwise.
fn(t) 的拉普拉斯变换由下式给出
Fn(s)=L{fn(t)}(s)=∫0∞e?stfn(t)dt,s>0.
如果 n ≠ m2，则 fn(t)=0，因此 Fn(s)=0.
如果 n=m2，则
Fn(s)=∫0∞e?stne?tdt=n∫0∞e?(s+1)tdt=ns+1.
因此，我们得到
Fn(s)={ns+1,ifn=m2,0,otherwise.
现在考虑序列 {Fn(s)} 的切萨罗均值为
σN(s)=1N∑n=1NFn(s).
由于只有平方索引有贡献，我们有
σN(s)=1N∑m2≤Nm2s+1=1N(s+1)∑m≤Nm2.
使用渐近估计 ∑m≤Nm2～N3/23，我们得到
σN(s)～N3/23N(s+1)=N3(s+1)→∞asN→∞.
因此，序列 {Fn(s)} 在经典意义下不是切萨罗可和的。
另一方面，平方数集合 {m2:m∈N} 具有零自然密度。因此，发散仅发生在稀疏的索引集合上，因此切萨罗均值序列 {σN(s)} 在拉普拉斯变换下统计收敛于零。因此，
statCLTlimN→∞σN(s)=0,
但 {Fn(s)} 在拉普拉斯变换下不是经典切萨罗可和的。
接下来，我们定义拉普拉斯变换下的推迟切萨罗可和性均值。
设 {fn(t)} 是定义在 [0, ∞) 上的函数，且 (an) 和 (bn)∈Z0+ 满足 bn > an 且 limn→∞bn=∞（见 [22]）。序列 {Fn(s)} 在拉普拉斯变换下的推迟切萨罗均值定义为
Dn(s)=1bn?an∑k=an+1bnFk(s),
其中 Fk(s)=∫0∞e?stfk(t)dt.
等价地，拉普拉斯变换下的推迟切萨罗均值可以写成积分形式
Dn(s)=∫0∞e?st(1bn?an∑k=an+1bnfk(t))dt.
定义 2
设 {fn(t)} 是定义在 [0, ∞) 上的函数，并设 {Fn(s)} 表示它们的拉普拉斯变换，由
Fn(s)=L{fn(t)}(s)=∫0∞e?stfn(t)dt,s>0.
给定。设 (an) 和 (bn)∈Z0+ 满足 bn > an 且 limn→∞bn=+∞。如果其推迟切萨罗均值序列
Dn(s)=1bn?an∑k=an+1bnFk(s)
统计收敛于 F(s)，则称序列 {Fn(s)} 在拉普拉斯变换下统计推迟切萨罗可和于 F(s)；即，对于每个 ε > 0，
limn→∞1n|{m≤n:|Dm(s)?F(s)|≥ε}|=0.
这里，我们写为 statDCLTlimn→∞Dn(s)=F(s).
可以证明，拉普拉斯变换下的统计切萨罗可和性意味着统计推迟切萨罗可和性。
定理 1
每个在拉普拉斯变换下统计切萨罗可和的序列也是在拉普拉斯变换下统计推迟切萨罗可和的。然而，反之一般不成立。
证明
设 {Fn(s)} 为拉普拉斯变换序列，并假设它统计切萨罗可和于 F(s)，即
statCLTlimn→∞σn(s)=F(s),
其中切萨罗均值由 σn(s)=1n∑k=1nFk(s) 给出。
现在考虑由 Dn(s)=1bn?an∑k=an+1bnFk(s) 定义的推迟切萨罗均值，其中 (an) 和 (bn) 满足 an < bn 且 limn→∞bn=∞。
由于推迟均值是通过平均切萨罗均值的尾部部分获得的，并且统计收敛在此类正则求和方法下得以保持，因此得出
statDCLTlimn→∞Dn(s)=F(s).
因此，{Fn(s)} 在拉普拉斯变换下是统计推迟切萨罗可和的。
另一方面，存在一些序列是统计推迟切萨罗可和的但失败于统计切萨罗可和。因此，反之一般不成立。
例 2
在这个例子中，我们表明拉普拉斯变换下的统计推迟切萨罗可和性并不意味着拉普拉斯变换下的统计切萨罗可和性。
定义序列 {Fn(s)} 为
Fn(s)={1,ifn=m2forsomem∈N,0,otherwise.
即，Fn(s) 仅在完全平方索引处取值 1，在其他地方取 0。
设 an=n2, bn=n2+n，使得 bn > an 且 limn→∞bn=+∞。推迟切萨罗均值：
Dn(s)=1bn?an∑k=an+1bnFk(s)=1n∑k=n2+1n2+nFk(s).
现在观察区间 [n2,n2+n] 中唯一的完全平方数是 n2 本身，这并未包含在上面的求和中。因此，
Fk(s)=0forallk=n2+1,?,n2+n.
因此，Dn(s)=0?n∈N.
因此，statDCLTlimn→∞Dn(s)=0，这表明 {Fn(s)} 在拉普拉斯变换下统计推迟切萨罗可和于 0。
{Fn(s)} 的切萨罗均值由 σn(s)=1n∑k=1nFk(s) 给出。
由于 Fk(s)=1 仅当 k 是完全平方数时成立，小于或等于 n 的此类索引的数量是 ?n?。因此，
σn(s)=?n?n.
虽然 σn(s)=0，但收敛通常不是统计切萨罗收敛，因为切萨罗均值未能满足所有子序列所需的密度条件。因此，{Fn(s)} 在拉普拉斯变换下不是统计切萨罗可和的。因此，{Fn(s)} 在拉普拉斯变换下是统计推迟切萨罗可和的，但它不是统计切萨罗可和的。这确立了定理 1 的逆命题一般不成立。
接下来，我们证明了函数统计切萨罗可和性的拉普拉斯变换的存在性。
定理 2
设 {fn(t)}n=1∞ 是定义在 [0, ∞) 上的实值函数，使得每个 fn 对于 s > s0 都是拉普拉斯可变换的。
假设序列 {fn(t)} 统计切萨罗可和于函数 f(t)，即，statlimN→∞1N∑n=1Nfn(t)=f(t)，对每个 t≥0。进一步，假设存在一个指数阶函数 g(t) 使得 |1N∑n=1Nfn(t)|≤g(t)，?t≥0, N∈N，且 ∫0∞e?stg(t)dt<∞, s>s0。则 f(t) 的拉普拉斯变换在 s>s0 时存在，并且，statlimN→∞L{1N∑n=1Nfn(t)}(s)=L{f(t)}(s)。
证明
定义 {fn(t)} 的切萨罗平均为 AN(t)=1N∑n=1Nfn(t)。根据假设，{AN(t)} 统计收敛于 f(t)，即，statlimN→∞AN(t)=f(t)，?t≥0。
现在考虑 AN(t) 的拉普拉斯变换为 L{AN(t)}(s)=∫0∞e?stAN(t)dt。
由于 |AN(t)|≤g(t)，我们有 |e?stAN(t)|≤e?stg(t)。
因为 g(t) 是指数阶且满足 ∫0∞e?stg(t)dt<∞，函数 e?stg(t) 在 [0, ∞) 上是可积的。
因此，根据统计意义下的控制收敛定理 [15]，我们可以将统计极限移到积分号下，得到
statlimN→∞∫0∞e?stAN(t)dt=∫0∞e?st(statlimN→∞AN(t))dt。
因此，
statlimN→∞L{AN(t)}(s)=∫0∞e?stf(t)dt=L{f(t)}(s)。
故，f(t) 的拉普拉斯变换在 s>s0 时存在，并且在这种变换下保持统计切萨罗可和性。
现在，我们在统计切萨罗可和函数序列的设定下，提出并证明拉普拉斯变换的平移定理。
定理 3 平移定理
设 {fn(t)}n=1∞ 是定义在 [0, ∞) 上的实值函数，使得每个 fn 在 s>s0 时均可拉普拉斯变换。假设序列 {fn(t)} 统计切萨罗可和于函数 f(t)，即，
statlimN→∞1N∑n=1Nfn(t)=f(t)，对每个 t≥0。
令 a>0，并定义平移序列 {gn(t)} 为
gn(t)=eatfn(t)。
则 {gn(t)} 的拉普拉斯变换在统计切萨罗可和的意义上满足平移性质，即，
statlimN→∞L{1N∑n=1Ngn(t)}(s)=L{f(t)}(s?a)，s>a+s0。
证明
令 AN(t)=1N∑n=1Nfn(t)。根据假设，{AN(t)} 统计收敛于 f(t)，即，
statlimN→∞AN(t)=f(t)。
现在考虑平移序列的切萨罗平均为
BN(t)=1N∑n=1Ngn(t)=1N∑n=1Neatfn(t)=eatAN(t)。
应用拉普拉斯变换后，我们得到以下结果
L{BN(t)}(s)=∫0∞e?stBN(t)dt=∫0∞e?steatAN(t)dt。
从而，
L{BN(t)}(s)=∫0∞e?(s?a)tAN(t)dt=L{AN(t)}(s?a)。
由于 AN(t) 统计切萨罗收敛于 f(t)，应用拉普拉斯变换下统计切萨罗可和性的存在性定理，我们得到
statlimN→∞L{AN(t)}(s?a)=L{f(t)}(s?a)。
因此，
statlimN→∞L{BN(t)}(s)=L{f(t)}(s?a)，s>a+s0。
故，平移性质对统计切萨罗可和性成立。证毕。
3. 拉普拉斯逆变换下的统计切萨罗可和性
在本节中，我们提出了海维赛德展开公式，并在拉普拉斯变换框架下通过非重根和重根的例子进行说明，以获得统计切萨罗可和性下的拉普拉斯逆变换。我们还研究了二阶及高阶常微分方程的统计收敛行为，以及一些特殊类型的函数。
定理 4 海维赛德展开公式
设 {fn(t)}n=1∞ 是定义在 [0, ∞) 上的实值函数，使得每个 fn 在 s>s0 时均可拉普拉斯变换。假设 {fn(t)} 统计切萨罗可和于函数 f(t)，即，
statlimN→∞1N∑n=1Nfn(t)=f(t)，t≥0。
设 f(t) 的拉普拉斯变换为
F(s)=L{f(t)}(s)=P(s)Q(s)，
其中 P(s) 和 Q(s) 是多项式，且 Q(s) 有互异单零点 s1,s2,?,sm。
则 F(s) 的拉普拉斯逆变换由海维赛德展开给出
f(t)=∑k=1mP(sk)Q′(sk)eskt。
此外，切萨罗平均的拉普拉斯变换满足
statlimN→∞L{1N∑n=1Nfn(t)}(s)=∑k=1mP(sk)Q′(sk)·1s?sk，
因此，序列 {fn(t)} 在统计切萨罗可和的意义上承认上述海维赛德展开。
证明
令 AN(t)=1N∑n=1Nfn(t) 为序列 {fn(t)} 的切萨罗平均。根据假设，
statlimN→∞AN(t)=f(t)。
对两边取拉普拉斯变换，我们得到
L{AN(t)}(s)=∫0∞e?stAN(t)dt。
根据统计切萨罗可和性拉普拉斯变换的存在性定理，我们可以将统计极限移到积分号下，得到
statlimN→∞L{AN(t)}(s)=L{f(t)}(s)=F(s)。
由于 F(s) 是具有单极点 s1,s2,?,sm 的有理函数形式
F(s)=P(s)Q(s)，
海维赛德展开公式得出
F(s)=∑k=1mP(sk)Q′(sk)·1s?sk。
取拉普拉斯逆变换，我们得到
f(t)=∑k=1mP(sk)Q′(sk)eskt。
因此，海维赛德展开公式对于通过统计切萨罗可和性获得的极限函数 f(t) 仍然有效。故，拉普拉斯变换下的统计切萨罗可和性承认相同的展开。证毕。
例 3
定义函数 {fn(t)} 为
fn(t)=(1+(?1)n)(e?t?e?2t)，t≥0。
其拉普拉斯变换为
Fn(s)=L{fn(t)}(s)=(1+(?1)n)(1s+1?1s+2)。
从而，
Fn(s)=(1+(?1)n)1(s+1)(s+2)。
显然，序列 {Fn(s)} 在通常意义下不收敛。
现在考虑切萨罗平均：
σN(s)=1N∑n=1NFn(s)=1(s+1)(s+2)(1+1N∑n=1N(?1)n)。
由于 statlimN→∞1N∑n=1N(?1)n=0，我们得到
statlimN→∞σN(s)=1(s+1)(s+2)。
故，{Fn(s)} 在拉普拉斯变换下统计切萨罗可和于
F(s)=1(s+1)(s+2)。
使用海维赛德展开公式，我们写出
F(s)=1s+1?1s+2。
应用拉普拉斯逆变换，我们得到
f(t)=e?t?e?2t。
因此，拉普拉斯变换 {Fn(s)} 在切萨罗统计可和的意义上承认海维赛德展开。
接下来，我们提出统计切萨罗可和性重根的海维赛德展开公式，以寻找拉普拉斯逆变换。
定理 5
设 {fn(t)}n=1∞ 是定义在 [0, ∞) 上的实值函数，使得每个 fn 在 s>s0 时均可拉普拉斯变换。假设 {fn(t)} 统计切萨罗可和于函数 f(t)，即，
statlimN→∞1N∑n=1Nfn(t)=f(t)，t≥0。
假设 f(t) 的拉普拉斯变换是具有形式
F(s)=L{f(t)}(s)=P(s)Q(s)
的有理函数，其中 P(s) 和 Q(s) 是多项式，且 Q(s) 有一个重数为 r 的重根 s=s1，即，
Q(s)=(s?s1)rR(s)，R(s1)≠0。
则 F(s) 的拉普拉斯逆变换由广义海维赛德展开公式给出
f(t)=∑k=1r1(r?k)![lims→s1dr?kdsr?k((s?s1)rF(s))]tk?1es1t。
此外，
statlimN→∞L{1N∑n=1Nfn(t)}(s)=F(s)，
因此上述展开在统计切萨罗可和的意义上成立。
证明
设 {fn(t)}n=1∞ 是定义在 [0, ∞) 上的实值函数序列，使得每个 fn 在 s>s0 时均可拉普拉斯变换。假设 {fn(t)} 统计切萨罗可和于 f(t)，即，
statlimN→∞1N∑n=1Nfn(t)=f(t)，t≥0。
定义 {fn(t)} 的切萨罗平均为
AN(t)=1N∑n=1Nfn(t)。
那么，根据假设，
statlimN→∞AN(t)=f(t)，t≥0。
现在，取 AN(t) 的拉普拉斯变换，我们得到
L{AN(t)}(s)=∫0∞e?stAN(t)dt，s>s0。
由于每个 fn 均可拉普拉斯变换且序列是统计切萨罗可和的，根据统计切萨罗可和性拉普拉斯变换的存在性定理，我们可以将统计极限移到积分号下。因此，
statlimN→∞L{AN(t)}(s)=L{statlimN→∞AN(t)}(s)=L{f(t)}(s)。
因此，
statlimN→∞L{1N∑n=1Nfn(t)}(s)=F(s)，其中
F(s)=L{f(t)}(s)=P(s)Q(s)。
现在假设多项式 Q(s) 有一个重数为 r 的重根 s=s1，即，
Q(s)=(s?s1)rR(s)，R(s1)≠0。
因此，F(s) 在 s=s1 处有一个 r 阶极点。
根据重根的海维赛德展开公式，F(s) 的拉普拉斯逆变换由
f(t)=∑k=1r1(r?k)![lims→s1dr?kdsr?k((s?s1)rF(s))]tk?1es1t。
给出。
因此，通过统计切萨罗可和性获得的极限函数 f(t) 承认对应于重极点 s=s1 的广义海维赛德展开。因此，拉普拉斯逆变换展开在统计切萨罗可和的意义上仍然有效。证毕。
例 4
定义函数 {fn(t)} 为
fn(t)=(1+(?1)n)te?t，t≥0。
则 fn(t) 的拉普拉斯变换为
Fn(s)=L{fn(t)}(s)=(1+(?1)n)L{te?t}(s)。
由于
L{te?t}(s)=1(s+1)2，
我们得到
Fn(s)=(1+(?1)n)1(s+1)2。
显然，{Fn(s)} 在通常意义下不收敛。
现在考虑切萨罗平均
σN(s)=1N∑n=1NFn(s)=1(s+1)2(1+1N∑n=1N(?1)n)。
由于 statlimN→∞1N∑n=1N(?1)n=0，可得
statlimN→∞σN(s)=1(s+1)2。
故，{Fn(s)} 统计切萨罗可和于
F(s)=1(s+1)2。
函数 F(s) 在 s=?1 处有一个重数为 2 的重极点。因此，根据广义海维赛德展开公式，
L?1{1(s+1)2}=te?t。
因此，拉普拉斯逆变换在统计切萨罗可和的意义上存在，且极限函数为
f(t)=te?t。
现在，我们陈述并证明一个与统计切萨罗可和性拉普拉斯变换框架下二阶常微分方程相关的定理。
定理 6
设 {fn(t)}n=1∞ 是定义在 [0, ∞) 上的可微函数序列，使得每个 fn 和 fn′ 在 s>s0 时均可拉普拉斯变换。假设 {fn(t)} 统计切萨罗可和于函数 f(t)，即，
statlimN→∞1N∑n=1Nfn(t)=f(t)，t≥0。
还假设
statlimN→∞1N∑n=1Nfn(0)=f(0)。
则导数序列的拉普拉斯变换满足
statlimN→∞L{1N∑n=1Nfn′(t)}(s)=sF(s)?f(0)，s>s0，
其中
F(s)=L{f(t)}(s)。
证明
定义 {fn(t)} 的切萨罗平均为
AN(t)=1N∑n=1Nfn(t)。
那么，根据假设，
statlimN→∞AN(t)=f(t)，t≥0。
类似地，定义导数序列的切萨罗平均为
BN(t)=1N∑n=1Nfn′(t)。
由于微分是线性的，我们有
BN(t)=ddt(1N∑n=1Nfn(t))=AN′(t)。
现在取 BN(t) 的拉普拉斯变换：
L{BN(t)}(s)=L{AN′(t)}(s)。
使用经典的拉普拉斯导数公式，我们得到
L{AN′(t)}(s)=sL{AN(t)}(s)?AN(0)。
从而，
L{1N∑n=1Nfn′(t)}(s)=sL{1N∑n=1Nfn(t)}(s)?1N∑n=1Nfn(0)。
现在对两边应用统计极限，我们得到
statlimN→∞L{1N∑n=1Nfn′(t)}(s)=s·statlimN→∞L{1N∑n=1Nfn(t)}(s)?statlimN→∞1N∑n=1Nfn(0)。
根据函数统计切萨罗可和性拉普拉斯变换的存在性定理，
statlimN→∞L{1N∑n=1Nfn(t)}(s)=L{f(t)}(s)=F(s)，并且
statlimN→∞1N∑n=1Nfn(0)=f(0)。
因此，
statlimN→∞L{1N∑n=1Nfn′(t)}(s)=sF(s)?f(0)。
证毕。
在这里，我们在统计切萨罗可和性拉普拉斯变换框架下证明高阶微分方程的定理。
定理 7
设 {fn(t)}n=1∞ 是 [0, ∞) 上的 m 次可微实值函数序列，使得每个 fn(k)(t)，k=0,1,2,?,m，在 s>s0 时均可拉普拉斯变换。假设 {fn(t)} 统计切萨罗可和于函数 f(t)，即，
statlimN→∞1N∑n=1Nfn(t)=f(t)，t≥0。
还假设对于每个 k=0,1,2,?,m?1，
statlimN→∞1N∑n=1Nfn(k)(0)=f(k)(0)。
则 m 阶导数序列的拉普拉斯变换满足
statlimN→∞L{1N∑n=1Nfn(m)(t)}(s)=smF(s)?∑k=0m?1sm?1?kf(k)(0)，s>s0，
其中
F(s)=L{f(t)}(s)。
证明
该结果通过对切萨罗平均应用 m 阶导数的经典拉普拉斯变换公式，然后利用线性性质和切萨罗统计可和性的存在性定理取统计极限得出。
例 5
考虑函数的二阶非齐次微分方程
fn″(t)+fn(t)=(1+(?1)n)e?t，t≥0，
初始条件为 fn(0)=0, fn′(0)=0。
取拉普拉斯变换并使用二阶导数公式，我们得到
L{fn″(t)}(s)=s2Fn(s)，其中 Fn(s)=L{fn(t)}(s)。
因此，
(s2+1)Fn(s)=(1+(?1)n)1s+1。
从而，
Fn(s)=(1+(?1)n)1(s+1)(s2+1)。
现在考虑切萨罗平均
σN(s)=1N∑n=1NFn(s)=1(s+1)(s2+1)(1+1N∑n=1N(?1)n)。
由于 statlimN→∞1N∑n=1N(?1)n=0，我们得到
statlimN→∞σN(s)=1(s+1)(s2+1)。
因此，拉普拉斯变换在统计切萨罗可和的意义上存在且等于
F(s)=1(s+1)(s2+1)。
使用部分分式，
F(s)=121s+1?12ss2+1+121s2+1。
应用拉普拉斯逆变换，我们得到
f(t)=12e?t?12cost+12sint。
因此，尽管 {fn(t)} 在通常意义下不收敛，但它统计切萨罗可和于 f(t)。
接下来，我们在统计切萨罗可和性拉普拉斯变换的意义上提出单位阶跃函数。
定义 3
单位阶跃函数（或海维赛德函数）定义为
u(t?a)={0,0≤t
0。
设 {fn(t)}n=1∞ 是 [0, ∞) 上的拉普拉斯可变换函数序列。如果
statlimN→∞L{1N∑n=1Nfn(t?a)u(t?a)}(s)
对所有 s>s0 存在，我们说单位阶跃修正序列 {fn(t?a)u(t?a)} 的拉普拉斯变换在统计切萨罗可和的意义上存在。
在这种情况下，拉普拉斯变换下的统计切萨罗和由下式给出
statlimN→∞L{1N∑n=1Nfn(t?a)u(t?a)}(s)=e?asF(s)，其中
F(s)=statlimN→∞L{1N∑n=1Nfn(t)}(s)。
因此，单位阶跃函数的平移性质在拉普拉斯变换下的统计切萨罗可和性意义上成立。
例 6
令
fn(t)=(1+(?1)n)e?t，t≥0。
则
Fn(s)=L{fn(t)}(s)=(1+(?1)n)1s+1。
显然，{Fn(s)} 在通常意义下不收敛。
现在考虑切萨罗平均
σN(s)=1N∑n=1NFn(s)=1s+1(1+1N∑n=1N(?1)n)。
由于 statlimN→∞1N∑n=1N(?1)n=0，我们得到
statlimN→∞σN(s)=1s+1。
因此，{Fn(s)} 在拉普拉斯变换下统计切萨罗可和于
F(s)=1s+1。
现在定义平移序列
gn(t)=fn(t?a)u(t?a)，a>0。
使用单位阶跃平移性质，我们有
Gn(s)=L{gn(t)}(s)=e?asFn(s)。
因此，
Gn(s)=e?as(1+(?1)n)1s+1。
再次取切萨罗平均，
ΣN(s)=1N∑n=1NGn(s)=e?as1s+1(1+1N∑n=1N(?1)n)。
因此，
statlimN→∞ΣN(s)=e?as1s+1。
因此，单位阶跃平移定理对统计切萨罗可和性仍然有效。
现在，我们在统计切萨罗可和性拉普拉斯变换的意义上定义单位脉冲函数。
定义 4
单位脉冲函数，也称为狄拉克 delta 函数，记为 δ(t?a) 并定义为
δ(t?a)=0 for t≠a，
并且它满足筛分性质
∫0∞f(t)δ(t?a)dt=f(a)，a>0，
对于每个连续函数 f。
设 {fn(t)}n=1∞ 是 [0, ∞) 上的拉普拉斯可变换函数序列。如果
statlimN→∞L{1N∑n=1Nfn(t)δ(t?a)}(s)
对所有 s>s0 存在，我们说脉冲修正序列 {fn(t)δ(t?a)} 的拉普拉斯变换在统计切萨罗可和的意义上存在。
在这种情况下，拉普拉斯变换下的统计切萨罗和由下式给出
statlimN→∞L{1N∑n=1Nfn(t)δ(t?a)}(s)=e?asf(a)，其中
f(a)=statlimN→∞1N∑n=1Nfn(a)。
因此，脉冲平移性质在拉普拉斯变换下的统计切萨罗可和性意义上仍然有效。
例 7
考虑函数的二阶非齐次微分方程
fn″(t)+fn(t)=(1+(?1)n)u(t?1)，t≥0，
初始条件为 fn(0)=0, fn′(0)=0。
取拉普拉斯变换并使用二阶导数公式，我们得到
L{fn″(t)}(s)=s2Fn(s)，其中 Fn(s)=L{fn(t)}(s)。
因此，
(s2+1)Fn(s)=(1+(?1)n)L{u(t?1)}(s)。
由于
L{u(t?1)}(s)=e?ss，
我们得到
Fn(s)=(1+(?1)n)e?ss(s2+1)。
现在考虑切萨罗平均
σN(s)=1N∑n=1NFn(s)=e?ss(s2+1)(1+1N∑n=1N(?1)n)。
由于 statlimN→∞1N∑n=1N(?1)n=0，可得
statlimN→∞σN(s)=e?ss(s2+1)。
因此，拉普拉斯变换在统计切萨罗可和的意义上存在且等于函数
F(s)=e?ss(s2+1)。
使用部分分式，
1s(s2+1)=1s?ss2+1，
我们得到
L?1{1s(s2+1)}=1?cost。
应用平移定理，
f(t)=u(t?1)(1?cos(t?1))。
因此，尽管 {fn(t)} 在通常意义下不收敛，但它统计切萨罗可和于 f(t)。
3.1. 应用于电路模型的统计切萨罗可和性
拉普拉斯变换在电路模型分析中起着基础作用，特别是在求解包含电阻、电容和电感的电路相关的微分方程时。本方法的创新之处在于将拉普拉斯变换与统计切萨罗可和性相结合，以研究可能由于振荡行为、不规则信号、噪声或外部干扰而在经典意义上无法收敛的电路响应。与依赖普通收敛的传统方法不同，统计切萨罗可和框架提供了一种广义的收敛概念，能够捕捉此类非经典响应的渐近行为。这使我们能够在标准分析技术不适用的情况下，获得有意义的拉普拉斯逆变换并对电路动力学进行定性分析。因此，所提出的方法为研究复杂电气系统中的稳定性、瞬态行为和信号传播提供了一种更灵活和鲁棒的分析工具。
统计切萨罗可和性下的 RL 电路
一个具有电阻 R 和电感 L 的 RL 电路满足
Ldi(t)dt+Ri(t)=E(t)。
假设一系列不连续输入电压
En(t)=(1+(?1)n)u(t?a)。
则电流序列 {in(t)} 满足
Lin′(t)+Rin(t)=En(t)，in(0)=0。
取拉普拉斯变换得到
(Ls+R)In(s)=En(s)，
使得
In(s)=En(s)Ls+R。
取统计切萨罗极限，我们得到
I(s)=statlimn→∞In(s)=E(s)Ls+R，
其中 E(s) 是 En(t) 的统计和拉普拉斯变换。
统计切萨罗可和性下的 LC 电路
一个 LC 电路满足二阶方程
Lqn″(t)+1Cqn(t)=E(t)。
假设
En(t)=(1+(?1)n)u(t?a)，
初始条件为 qn(0)=qn′(0)=0。
应用拉普拉斯变换得到
Qn(s)=En(s)Ls2+1C。
因此，在统计切萨罗可和性下，
Q(s)=statlimn→∞Qn(s)=E(s)Ls2+1C。
因此，统计和电荷为
q(t)=L?1{E(s)Ls2+1C}。
例 8
考虑一个具有电阻 R 和电感 L 的 RL 电路。电流 i(t) 满足微分方程
Ldi(t)dt+Ri(t)=E(t)，i(0)=0。
现在定义一系列不连续振荡输入电压为
En(t)=(1+(?1)n)u(t?1)，
其中 u(t?1) 表示单位阶跃函数。则对应的电流序列 {in(t)} 满足
Lin′(t)+Rin(t)=(1+(?1)n)u(t?1)，in(0)=0。
取拉普拉斯变换并令 In(s)=L{in(t)}(s)，我们得到
(Ls+R)In(s)=(1+(?1)n)L{u(t?1)}(s)。
由于
L{u(t?1)}(s)=e?ss，
可得
In(s)=(1+(?1)n)e?ss(Ls+R)。
现在考虑切萨罗平均
σN(s)=1N∑n=1NIn(s)=e?ss(Ls+R)(1+1N∑n=1N(?1)n)。
由于 statlimN→∞1N∑n=1N(?1)n=0，我们得到统计和拉普拉斯变换
I(s)=e?ss(Ls+R)。
使用部分分式，
1s(Ls+R)=1R(1s?LLs+R)，
因此
L?1{1s(Ls+R)}=1R(1?e?RLt)。
应用平移定理，
L?1{e?sG(s)}=u(t?1)g(t?1)，
我们得到统计切萨罗和电流
i(t)=1Ru(t?1)(1?e?RL(t?1))。
因此，尽管 {in(t)} 在通常意义下不收敛，但它切萨罗统计可和于 i(t)。
在图 1 中，我们展示了电流响应 i(t) 的几何和计算分析，以及对应于例 8 的 RL 电路图。
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图 1. RL 电路中的统计切萨罗和电流。
图 1 下方的图展示了当电压输入在 t=1 开始时，电流 i(t)=1Ru(t?1)(1?e?RL(t?1)) 在 RL 电路中随时间的变化情况。从几何上看，曲线在阶跃电压施加之前保持为零，然后电流以指数形式平滑增加。这条曲线代表了 RL 电路的自然行为，电感不允许电流突然上升，因此电流是逐渐增长而不是瞬间跳跃。从计算上讲，此图证实了统计切萨罗和的结果。尽管原始电流序列 {in(t)} 在通常意义下不收敛，但平均（和）电流产生了一个稳定且有意义的物理响应。最后，电流趋近于稳态值 1R，代表了电路中的长期电流。
图 2 下方的图提供了实际 RL 电路系统的几何表示。它在视觉上描述了电压源 $E(t)$、电阻 $R$ 和电感 $L$ 的串联连接。几何上，它帮助我们理解电路的物理结构和电流 $i(t)$ 的流向。这个图很重要，因为它将数学模型与真实的电气元件连接起来。计算上，电路图代表了导致微分方程 $L\frac{di}{dt}+Ri=E(t)$ 的系统。它表明电阻导致能量损耗，而电感控制电流变化的速度。因此，电路图提供了图 1 中所示的计算电流响应的物理意义。
例 9 考虑一个电感为 $L$、电容为 $C$ 的 LC 电路。电荷 $q(t)$ 满足 $Lq''(t)+\frac{1}{C}q(t)=E(t)$，初始条件为 $q(0)=0, q'(0)=0$。定义不连续振荡电压序列 $E_n(t)=(1+(-1)^n)u(t-1)$。则电荷序列 $\{q_n(t)\}$ 满足 $Lq_n''(t)+\frac{1}{C}q_n(t)=(1+(-1)^n)u(t-1), q_n(0)=0, q_n'(0)=0$。取拉普拉斯变换并令 $Q_n(s)=\mathcal{L}\{q_n(t)\}(s)$，我们获得 $(Ls^2+\frac{1}{C})Q_n(s)=(1+(-1)^n)\frac{e^{-s}}{s}$。因此，$Q_n(s)=\frac{(1+(-1)^n)e^{-s}}{s(Ls^2+\frac{1}{C})}$。现在切萨罗均值为 $\sigma_N(s)=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}Q_n(s)=\frac{e^{-s}}{s(Ls^2+\frac{1}{C})}(1+\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(-1)^n)$。由于 $\text{stat}\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(-1)^n=0$，我们获得统计求和的拉普拉斯变换 $Q(s)=\frac{e^{-s}}{s(Ls^2+\frac{1}{C})}$。令 $\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$。则 $Ls^2+\frac{1}{C}=L(s^2+\omega^2)$，使得 $Q(s)=\frac{e^{-s}}{L}\cdot\frac{1}{s(s^2+\omega^2)}$。使用 $\frac{1}{s(s^2+\omega^2)}=\frac{1}{\omega^2}(\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+\omega^2})$，我们获得 $\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s(s^2+\omega^2)}\}=\frac{1}{\omega^2}(1-\cos(\omega t))$。应用移位定理，我们得到 $q(t)=\frac{1}{L\omega^2}u(t-1)(1-\cos(\omega(t-1)))$。由于 $\frac{1}{L\omega^2}=C$，统计切萨罗求和的电荷变为 $q(t)=Cu(t-1)(1-\cos(\omega(t-1)))$。因此，尽管 $\{q_n(t)\}$ 不通常收敛，但它在统计切萨罗意义下可求和为 $q(t)$。
下载：下载高分辨率图像 (75KB) 下载：下载全尺寸图像图 2. 具有阶跃输入电压的 RL 电路。
接下来，我们讨论统计切萨罗和电荷 $q(t)$ 的几何和计算分析以及例 9 的 LC 电路图。
图 3 下方的图显示了当电压输入从 $t=1$ 开始时，LC 电路中的电荷 $q(t)=Cu(t-1)(1-\cos(\omega(t-1)))$ 随时间变化的情况。几何上，该图在 $t=1$ 之前保持为零，因为单位阶跃函数阻止了任何电荷在更早时候积聚。在 $t=1$ 之后，曲线开始以平滑的余弦波形式振荡。这种振荡行为发生是因为 LC 电路自然地在电容器和电感之间来回转移能量，产生连续的电气振动。计算上，图 3 代表了不连续振荡输入序列的统计切萨罗和解决方案。尽管原始电荷序列 $\{q_n(t)\}$ 在通常意义下不收敛，但平均后的（切萨罗和）结果产生了一个稳定的电荷函数。因此，图 3 证实了电路响应在施加电压阶跃后变成了一个有意义的周期波形。
下载：下载高分辨率图像 (161KB) 下载：下载全尺寸图像图 3. LC 电路中的统计切萨罗和电荷。
图 4 下方的图提供了物理 LC 电路系统的几何图像。它显示了电压源 $E(t)$、电感 $L$ 和电容 $C$ 串联连接的排列。几何上，该图帮助我们可视化电路的结构并理解电荷 $q(t)$ 存储在哪里，主要是在电容器上。计算上，电路图很重要，因为它代表了产生微分方程 $Lq''(t)+\frac{1}{C}q(t)=E(t)$ 的真实电气系统。电感贡献了二阶导数项，而电容提供了产生振荡的恢复力。因此，电路图为图 3 中所示的振荡电荷响应赋予了清晰的物理意义。
下载：下载高分辨率图像 (59KB) 下载：下载全尺寸图像图 4. 具有阶跃输入电压的 LC 电路。
4. 统计切萨罗可求和性下的微分方程组
在本节中，我们讨论拉普拉斯变换作为解决科学、工程和技术各个领域中出现的微分方程组的有效方法。通过将系统转换为代数方程，拉普拉斯技术简化了寻找解决方案的过程。然而，在某些情况下，由于振荡或不规则行为，此类系统的解决方案可能在经典意义下不收敛。为了处理这些情况，统计切萨罗可求和性提供了收敛的广义框架。在统计切萨罗可求和性下使用拉普拉斯变换使我们能够获得有意义的逆变换，并在通常收敛失败时分析解决方案的稳定性和定性行为。这种方法在复杂动态系统的高级数学建模中特别有用。
设 $\{x_n(t)\}_{n=1}^{\infty}=\{(x_1^n(t),x_2^n(t),\cdots,x_m^n(t))\}$ 为定义在 $[0, \infty)$ 上的向量值函数序列，其中每个分量 $x_k^n(t)$ 是分段连续且具有指数阶的。考虑函数的线性非齐次微分方程组
$$x_n'(t)=Ax_n(t)+f_n(t), t\ge 0,$$
初始条件为 $x_n(0)=x_0$，其中 $A$ 是 $m \times m$ 常数矩阵，$\{f_n(t)\}$ 是强迫向量函数序列。如果切萨罗均值 $X_N(t)=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n(t)$ 统计收敛于向量函数 $X(t)$，即 $\text{stat}\lim_{N\to\infty}X_N(t)=X(t), t\ge 0$，我们就说系统 (4.1) 在统计切萨罗可求和性意义下存在解。在这种情况下，统计切萨罗可求和 (statCLT) 方法的拉普拉斯变换定义为 $X(s)=\text{statCLT}\lim_{N\to\infty}\mathcal{L}\{\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n(t)\}(s)$，并且系统的拉普拉斯变换满足 $sX(s)-x_0=AX(s)+F(s)$，其中 $F(s)=\text{statCLT}\lim_{N\to\infty}\mathcal{L}\{\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f_n(t)\}(s)$。因此，在统计切萨罗可求和 (statCLT) 方法下，拉普拉斯变换域中的解由 $X(s)=(sI-A)^{-1}(x_0+F(s))$ 给出，相应的时域解通过应用逆拉普拉斯变换获得。
接下来，鉴于函数的线性方程组，我们在拉普拉斯变换下考虑统计切萨罗可求和性意义下弹簧上两个质量的模型。考虑由三个常数为 $k_1, k_2, k_3$ 的弹簧连接的两个质量 $m_1$ 和 $m_2$。设 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$ 表示质量相对于平衡位置的位移。经典运动方程为
$$m_1x_1''(t)=-(k_1+k_2)x_1(t)+k_2x_2(t)+F_1(t),$$
$$m_2x_2''(t)=k_2x_1(t)-(k_2+k_3)x_2(t)+F_2(t).$$
假设一个不连续振荡力序列 $F_{1n}(t)=(1+(-1)^n)u(t-a), F_{2n}(t)=0$。则序列系统变为
$$m_1x_{1n}''(t)=-(k_1+k_2)x_{1n}(t)+k_2x_{2n}(t)+F_{1n}(t),$$
$$m_2x_{2n}''(t)=k_2x_{1n}(t)-(k_2+k_3)x_{2n}(t).$$
引入状态变量 $y_{1n}=x_{1n}, y_{2n}=x_{1n}', y_{3n}=x_{2n}, y_{4n}=x_{2n}'$。则系统可写为 $y_n'(t)=Ay_n(t)+f_n(t)$，其中
$$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\frac{k_1+k_2}{m_1} & 0 & \frac{k_2}{m_1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{k_2}{m_2} & 0 & -\frac{k_2+k_3}{m_2} & 0 \end{pmatrix},$$
并且 $f_n(t)=\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{F_{1n}(t)}{m_1} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。假设 $Y_N(t)=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}y_n(t)$ 统计切萨罗可求和 (statCLT) 于 $Y(t)$，在拉普拉斯变换下得到 $sY(s)-y_0=AY(s)+F(s)$，因此统计切萨罗可求和 (statCLT) 方法的解为 $Y(s)=(sI-A)^{-1}(y_0+F(s))$。时域响应通过逆拉普拉斯变换获得。
5. 傅里叶级数的统计切萨罗可求和性
在本节中，我们讨论傅里叶级数，它被广泛用于以正弦和余弦分量表示周期函数。在许多应用中，傅里叶级数的收敛性可能在某些点失败，或者可能在经典意义下不发生。为了解决这个困难，使用统计切萨罗可求和性等可求和性方法为这样的级数分配有意义的值。拉普拉斯变换通过将傅里叶级数转换为更易处理的形式，提供了研究傅里叶级数的额外分析工具。在拉普拉斯变换框架下结合统计切萨罗可求和性，能够更深入地理解周期信号的行为，并在理论和应用背景下改善收敛性。
设 $f(t)$ 为具有傅里叶级数展开（见 [23]）的 $2\pi$-周期函数
$$f(t)\sim\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nt+b_n\sin nt).$$
设 $S_N(t)$ 表示第 $N$ 个部分和 [23]，即 $S_N(t)=\sum_{n=1}^{N}(a_n\cos nt+b_n\sin nt)$。如果 $\text{stat}\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}S_k(t)=f(t)$，则傅里叶级数被称为统计切萨罗可求和于 $f(t)$。取拉普拉斯变换，我们定义 $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\text{stat}\lim_{N\to\infty}\mathcal{L}\{\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}S_k(t)\}(s)$。此外，由于 $\mathcal{L}\{\cos nt\}(s)=\frac{s}{s^2+n^2}, \mathcal{L}\{\sin nt\}(s)=\frac{n}{s^2+n^2}$，我们获得统计求和的拉普拉斯变换表示
$$F(s)=\text{stat}\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\sum_{n=1}^{k}(\frac{a_n s}{s^2+n^2}+\frac{b_n n}{s^2+n^2}).$$
现在，我们给出方波函数在拉普拉斯变换下统计切萨罗可求和性均值意义下的傅里叶级数展开。考虑周期为 $2\pi$ 的方波函数 $f(x)$，定义为
$$f(x)=\begin{cases} 1, & 0
0$ 使得 $|f(\eta)| \le R, \forall \eta \in \mathbb{R}$。因此，对于所有 $\zeta, \eta \in I$，我们获得 $|f(\zeta)-f(\eta)| \le 2R$。此外，设 $\epsilon > 0$ 为任意数。由于 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，存在数 $\delta > 0$ 使得每当条件 $|e^{-\zeta}-e^{-\eta}|<\delta, \zeta, \eta \in I$ 满足时，就有 (6.5) $|f(\zeta)-f(\eta)|<\epsilon$。由于 $f$ 有界，我们也有 (6.6) $|f(\zeta)-f(\eta)|<2\|f\|_{2\pi}, \forall \zeta, \eta \in I$。结合 (6.5) 和 (6.6)，我们获得估计 (6.7) $|f(\zeta)-f(\eta)|<\epsilon+2\|f\|_{2\pi}\sin^2(\frac{\delta}{2})\phi(\zeta)$，对于 $\zeta \in (\eta-\delta, 2\pi+\eta-\delta]$，其中 $\phi(\zeta)=\sin^2(\frac{\zeta-\eta}{2})$。最后，由于 $f$ 是 $2\pi$-周期的，不等式 (6.7) 对于每个 $\zeta \in \mathbb{R}$ 仍然成立。现在，由于算子 $L_m(1;\eta)$ 是线性和单调的，我们将 $L_m$ 应用于不等式 (6.7)。这给出了估计 (6.8) $|L_m(f;\eta)-f(\eta)| \le (\epsilon+|f(\eta)|)|L_m(1;\eta)-1| + \epsilon + \|f\|_{2\pi}\sin^2(\frac{\delta}{2})\{|L_m(1;\eta)-1|+|\cos\eta||L_m(\cos\zeta;\eta)-\cos\eta|+|\sin\eta||L_m(\sin\zeta;\eta)-\sin\eta|\}$。因此，我们可以将上述不等式重写为更简单的形式 (6.9) $|L_m(f;\eta)-f(\eta)| \le \epsilon + (\epsilon+|f(\eta)|+\|f\|_{2\pi}\sin^2(\frac{\delta}{2}))\{|L_m(1;\eta)-1|+|L_m(\cos\zeta;\eta)-\cos\eta|+|L_m(\sin\zeta;\eta)-\sin\eta|\}$。在 $\eta \in I$ 上取上确界，我们获得 $\|L_m(f;\eta)-f(\eta)\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})} \le \epsilon + B(\|L_m(1;\eta)-1\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})} + \|L_m(\cos\zeta;\eta)-\cos\eta\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})} + \|L_m(\sin\zeta;\eta)-\sin\eta\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})})$，其中 $B=\epsilon+\|f\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})}+\|f\|_{2\pi}\sin^2(\frac{\delta}{2})$。因此，我们得到 (6.10) $\|L_m(f;\eta)-f(\eta)\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})} \le \epsilon + B(\|L_m(1;\eta)-1\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})} + \|L_m(\cos\zeta;\eta)-\cos\eta\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})} + \|L_m(\sin\zeta;\eta)-\sin\eta\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})})$。现在，设 $r > 0$ 固定。选择 $\epsilon > 0$ 使得 $0 < \epsilon < r$。定义索引集 $\Theta_m(\eta,r)=\{m: m \le E_n \text{and} |L_m(f;\eta)-f(\eta)| \ge r\}$。类似地，对于 $i=0,1,2$，定义 $\Theta_{i,m}(\eta,r)=\{m: m \le E_n \text{and} |L_m(f_i;\eta)-f_i(\eta)| \ge r - \frac{\epsilon}{3B}\}$。则立即得出 $\Theta_m(\eta,r) \subseteq \sum_{i=0}^{2}\Theta_{i,m}(\eta,r)$。因此，我们获得 (6.11) $\frac{\|\Theta_m(\eta,r)\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})}}{m} \le \sum_{i=0}^{2}\frac{\|\Theta_{i,m}(\eta,r)\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})}}{m}$。根据假设 (6.2)–(6.4) 并使用定义 1，(6.11) 的右边当 $m \to \infty$ 时趋于零。因此，$\lim_{m\to\infty}\frac{\|\Theta_m(\eta,r)\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})}}{m}=0, (\delta, r>0)$。故 (6.1) 中的蕴含关系得证，这完成了定理 9 的证明。
在拉普拉斯变换框架下使用统计延迟切萨罗可求和性 (statDCLT)，我们现在提出以下定理作为定理 9 的推论。
定理 10 设 $L_m: C[1,\infty) \to C[1,\infty)$ 为正线性算子序列。另设 $f \in C_{2\pi}(\mathbb{R})$。那么，$\underset{m \to \infty}{\text{statDCLTlim}} \|L_m(f; \eta) - f(\eta)\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})} = 0$ 当且仅当 $\underset{m \to \infty}{\text{statDCLTlim}} \|L_m(1; \eta) - 1\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})} = 0$，$\underset{m \to \infty}{\text{statDCLTlim}} \|L_m(\cos \zeta; \eta) - \cos \eta\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})} = 0$ 且 $\underset{m \to \infty}{\text{statDCLTlim}} \|L_m(\sin \zeta; \eta) - \sin \eta\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})} = 0$。
在接下来的例子（见例 10）中，我们考虑了一列正线性算子，该算子序列既不满足定理 9 的假设，也不满足 Srivastava 等人 [31] 和 Paikray 等人 [21] 的早期结果。然而，该序列确实满足定理 10 的条件。这表明我们的定理 10 比定理 9 以及文献 [3], [21], [31], [32] 中的相应结果更为一般且更强。
为了在拉普拉斯变换框架中引入 Fejér 型卷积算子，设 $f$ 是 $[0, \infty)$ 上的连续函数，即 $f \in C[0, \infty)$。对于每个 $n \in \mathbb{N}$，考虑由 $L_n(f;s) = \int_0^\infty e^{-st} K_n(t) f(t) dt, s > 0$ 定义的拉普拉斯算子序列 $\{L_n(f;s)\}$，其中 $\{K_n(t)\}$ 是满足 $\int_0^\infty K_n(t) dt = 1$ 的正核函数族。
我们用 $S_n(f;s) = \int_0^\infty e^{-st} K_n(t) f(t) dt$ 表示 $f$ 的第 $n$ 个部分拉普拉斯型逼近。现在，序列 $\{S_n(f; s)\}$ 的 Cesàro 均值定义为 $F_N(f;s) = \frac{1}{b_k - a_k} \sum_{n=a_k+1}^{b_k} S_n(f;s)$。通过直接计算，我们得到 $F_N(f;s) = \frac{1}{b_k - a_k} \sum_{n=a_k+1}^{b_k} \int_0^\infty e^{-st} K_n(t) f(t) dt = \int_0^\infty e^{-st} \left( \frac{1}{b_k - a_k} \sum_{n=a_k+1}^{b_k} K_n(t) \right) f(t) dt$。因此，我们可以写成 $F_N(f;s) = \int_0^\infty e^{-st} \Phi_N(t) f(t) dt$，其中 $\Phi_N(t) = \frac{1}{b_k - a_k} \sum_{n=a_k+1}^{b_k} K_n(t)$ 且 $\int_0^\infty \Phi_N(t) dt = 1$。
序列 $\{\Phi_N(t)\}_{N \in \mathbb{N}}$ 构成一个正可求和核，可以视为经典 Fejér 核在拉普拉斯变换中的对应物。在这个意义上，它在变换设置下的平滑和逼近过程中起着类似的作用。因此，算子 $F_N(f;s)$ 被称为与拉普拉斯变换框架相关的 Fejér 型卷积算子。
例 10 定义算子 $L_N: C_{2\pi}(\mathbb{R}) \longrightarrow C_{2\pi}(\mathbb{R})$ 为 (6.12) $L_N(f;t) = [1 + F_N(t)] F_N(f;t), f \in C_{2\pi}(\mathbb{R})$，其中 $\{F_N\}$ 是例 2 中早些时候引入的函数序列。在这个定义中，每个算子 $L_N$ 是通过乘以因子 $1 + F_N(t)$ 来修改算子 $F_N$ 而构造的。可以很容易地验证 $L_N(1;t) = [1 + F_N(t)] \int_0^\infty e^{-st} \Phi_N(t) \cdot 1 dt$，$L_N(\cos t;t) = [1 + F_N(t)] \int_0^\infty e^{-st} \Phi_N(t) \cos t dt$，以及 $L_N(\sin t;t) = [1 + F_N(t)] \int_0^\infty e^{-st} \Phi_N(t) \sin t dt$。
由这些关系可得 $\underset{N \to \infty}{\text{statDCLTlim}} \|L_N(1;t) - 1\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})} = 0$，$\underset{N \to \infty}{\text{statDCLTlim}} \|L_N(\cos t;t) - \cos t\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})} = 0$，以及 $\underset{N \to \infty}{\text{statDCLTlim}} \|L_N(\sin t;t) - \sin t\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})} = 0$。因此，序列 $\{L_N(f;t)\}\}$ 满足条件 (6.2)–(6.4)。因此，通过应用定理 9，我们得到 $\underset{N \to \infty}{\text{statDCLTlim}} \|L_N(f;t) - f\|_{C_{2\pi}(\mathbb{R})} = 0$，这表明该序列在拉普拉斯变换下是统计延迟 Cesàro 可求和的 (statDCLT)。
另一方面，由于序列 $(F_m)$ 既不统计 Cesàro 可求和，也不在拉普拉斯变换意义下收敛，因此文献 [21], [33] 和 [31] 中先前建立的结果不能应用于由 (6.12) 定义的算子。然而，定理 10 仍然适用于 (6.12) 中引入的算子，这展示了我们结果更广泛的适用范围。
在图 5 和图 6 中，我们说明了例 10 的几何和计算行为。下载：下载高分辨率图像 (174KB) 下载：下载全尺寸图像 图 5. 拉普拉斯 -Fejér 型算子 N=2,3,5,6,7。下载：下载高分辨率图像 (173KB) 下载：下载全尺寸图像 图 6. 拉普拉斯 -Fejér 型算子 N=1,4,9,16,25。
对于测试函数 $f(t)=1, \cos t$ 和 $\sin t$，算子 $L_N(f;t) = [1 + F_N] \int_0^\infty e^{-st} \Phi_N(t) f(t) dt$ 的图形说明展示了随着参数 $N$ 的增加，Fejér 型拉普拉斯卷积过程的逼近行为（见图 5）。为不同的 $N$ 值绘制的离散点以及连接线，清晰地展示了所提出算子的收敛趋势（见图 5）。
从几何上看，算子 $L_N(f;t)$ 起平滑机制的作用，因为核 $\Phi_N(t)$ 构成一个近似单位元。特别是，当 $N \to \infty$ 时，Fejér 平均核满足 $\Phi_N(t) \longrightarrow \delta(t)$（在分布意义下）。因此，积分算子的行为类似于原点附近函数 $f$ 的加权平均，这意味着 $L_N(f;t) \longrightarrow f(0)$。这种几何解释反映在图 5 中，其中曲线趋向于 $t=0$ 处的预期值。
从计算的角度来看，Fejér 型平均显著提高了逼近的稳定性。Cesàro 均值 $\Phi_N(t) = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N K_n(t)$ 减少了可能由单个核 $K_n(t)$ 引起的振荡，并改善了算子序列的整体收敛性。此外，额外因子 $[1+F_N]$ 在完全平方指数 $N=m^2$ 处引入了扰动，这可能导致绘制值出现轻微偏差（见图 6）。然而，这些不规则性仅发生在稀疏指数处，不影响渐近收敛。
在图 6 中观察到的收敛行为与 Korovkin 型逼近理论一致。对于常数测试函数，可得 $L_N(1;t) \to 1$，表明常数在渐近意义上得以保持。类似地，对于余弦函数，$L_N(\cos t;t) \to \cos(0) = 1$，而对于正弦函数，$L_N(\sin t;t) \to \sin(0) = 0$。因此，算子在 Korovkin 测试集 $\{1, \cos t, \sin t\}$ 上正确收敛。
因此，根据 Korovkin 型定理，序列 $\{L_N\}$ 在所考虑函数空间中的每个连续函数 $f$ 上收敛，并且图 6 提供的数值证据证实了 Fejér 型拉普拉斯卷积算子构成一个有效的逼近过程。
7. 结论 通过这项研究，我们考察了在拉普拉斯变换下函数序列的统计 Cesàro 可求和性与统计延迟 Cesàro 可求和性概念。建立了新的包含关系结果，并通过说明性例子予以支持。这些可求和技术进一步应用于获得拉普拉斯逆变换以及分析高阶微分方程，包括在 RL 和 LC 电路模型中的应用。我们还通过基于正核的拉普拉斯算子的 Cesàro 均值研究了傅里叶级的拉普拉斯变换，并使用测试函数 $1, \cos t$ 和 $\sin t$ 证明了新的 Korovkin 型定理。一个涉及 Fejér 型卷积算子的例子，连同基于 MATLAB 的图形说明，展示了所提出方法的可应用性和有效性。未来的研究可能侧重于将这些方法扩展到其他积分变换，并探索在数学建模和应用分析中的更广泛应用。
Priyadarsini Parida | Bidu Bhusan Jena | Susanta Kumar Paikray | M. Mursaleen
印度奥里萨邦巴拉索尔坤塔拉库马里萨巴特女子学院数学系，756003
