一种用于调节 Hopfield 神经网络动力学的滑模-PI 混合控制器

《Chaos, Solitons & Fractals》：A sliding mode-PI hybrid controller for regulating dynamics in a Hopfield neural network

　　

摘要 霍普菲尔德神经网络（HNN）作为生物物理上合理的计算模型，用于研究复杂神经动力学。HNN 表现出丰富的非线性行为，并且对外部刺激和初始条件具有显著的敏感性。因此，理解和精确控制此类动态过程仍是计算神经科学面临的主要挑战。为解决这一挑战，我们系统地研究了外部刺激下三细胞 HNN 的动态行为，并设计了一种鲁棒的混合控制策略以实现精确的神经调节。当由模拟健康神经节律的外部参考信号驱动时，HNN 通过滑模 -PI（SM-PI）混合控制架构实现了精确的轨迹跟踪，且稳态误差可忽略不计。值得注意的是，该控制器对外源干扰和初始值偏差均表现出类脑鲁棒性。实验结果证实，在不同的初始条件和刺激概况下，控制器均能可靠地将 HNN 的动态稳定为忠实复制参考信号的发放模式，实现了近乎完美的跟踪性能和最小的稳态误差。此外，在 STM32 微控制器上的实时实现和验证证实了所提出控制策略的实际可行性和硬件部署能力。这项工作为敏感神经动力学建立了一个集成的分析和控制框架，为神经系统疾病的闭环神经调控策略铺平了道路。

引言 神经网络，特别是那些受生物架构启发的网络，已成为研究脑活动和神经系统疾病背后复杂动力学不可或缺的工具 [1]，[2]。在单神经元水平上，经典模型包括霍奇金 - 赫胥黎（HH）神经元 [3]、菲茨休 - 纳古莫（FN）模型 [4]、莫里斯 - 莱卡（ML）模型 [5]、欣德马什 - 罗斯（HR）模型 [6]、蔡氏神经元 [7] 和鲁尔科夫神经元 [8]。在网络水平上，广泛采用的架构包括霍普菲尔德神经网络（HNN）[9]，[10] 和细胞神经网络（CNN）[11]。其中，HNN 因其结构与功能与生物神经系统的相似性而脱颖而出，为模拟记忆形成 [12] 和模式识别 [13] 等关键神经认知现象提供了生物物理上合理的框架。此外，HNN 表现出丰富的非线性行为，包括多稳态、分岔和混沌，使其特别适合探索基本的神经动力学机制。至关重要的是，不同的发放模式具有特定的生理意义：周期性脉冲发放反映了在正常运动处理和无症状脑区中常见的健康神经节律 [14]；相比之下，爆发和混沌动力学是帕金森病（停顿 - 爆发神经元与运动迟缓和强直相关 [15]）和癫痫（抑制后反跳爆发是失神发作的基础 [16]）等障碍中公认的病理标志。这些动态状态对外部刺激和初始条件高度敏感，这些因素在介导生理状态和病理状态之间的转换中起关键作用 [17]，[18]。因此，精确表征这些发放模式并开发有效的控制策略以抑制病理动力学同时恢复健康节律，对于神经调节和治疗干预至关重要 [19]，[20]。

如今，神经动力学研究面临两个交织的核心挑战。首先，神经系统在生理状态和病理状态之间的状态转换通常以动态不稳定性为特征，例如从规律、节律性的神经振荡转变为混沌发放行为 [21]，[22]。因此，阐明外部刺激如何与神经网络的内在特性相互作用以产生从周期性振荡到混沌动力学的多样化发放模式势在必行 [23]。这种机制性洞察不仅可以揭示状态转换的潜在规律，还能实现刺激参数、初始条件敏感性和整体网络稳定性之间相互作用的定量表征。这为破译包括癫痫和帕金森病在内的神经系统疾病的发作和传播机制奠定了严格的理论和建模基础 [24]，[25]。其次，随着闭环神经调控技术的快速发展，神经活动的实时、自适应和高精度调节已成为神经工程的一个中心前沿 [26]，[27]。在这种情况下，开发鲁棒可靠的控制策略以减轻神经网络对初始条件和外部扰动的固有敏感性，既是一个基本挑战，也是安全和有效神经调控的必要前提 [28]。为应对这一挑战，本研究重点关注一种以对外部刺激和初始状态具有显著敏感性而闻名的三细胞 HNN。我们系统地研究了该网络能否被鲁棒地引导以跟踪预定义的参考信号，特别是反映健康神经动力学的生理节律。本研究的研究成果推进了对神经调节机制的理论理解，并为下一代闭环神经干预策略的开发提供了关键的概念和方法支持。

已经开发了多种控制策略用于神经网络的动态调节，典型范式包括间歇控制 [29]，[30]、反馈控制 [31]，[32] 和线性增强控制 [33]。然而，大多数现有方法主要严重依赖内部参数调节，在面对复杂外部刺激和可变初始条件时表现出有限的调节能力和鲁棒性。此外，当前研究主要采用单一控制机制，而很少有努力致力于将多种控制策略整合到一个统一的框架中。这种多策略整合是生物上合理的，因为它模仿了生物神经系统固有的多层调节机制，包括用于长期动态稳定性的稳态可塑性、用于主动神经调节的预测前馈回路以及用于即时误差补偿的快速脉冲抑制。作为一种结构简洁且实施方便的经典控制方法，比例 - 积分（PI）控制在神经网络的跟踪控制中表现出了令人鼓舞的性能 [34]。与此同时，滑模控制（SMC）因其对匹配不确定性和外部干扰的内在鲁棒性而在非线性神经网络调节中获得了广泛关注 [35]，[36]。基于它们的互补优势，我们提出了一种混合控制策略，结合了 PI 控制的稳态精度和 SMC 的抗干扰鲁棒性。这种集成策略旨在解决时变刺激的干扰并消除神经网络的初始值敏感性，实现复杂神经动力学的有效和可靠调节。

基于这些见解，本研究建立了一个用于分析和鲁棒调节复杂神经动力学行为的统一框架，三个关键贡献总结如下：
(1) 对不同外部刺激和初始条件下三细胞 HNN 的系统动力学分析，识别出周期性发放和混沌发放模式之间的关键转换。
(2) 设计并理论分析了一种混合控制器，该控制器集成了 PI 控制的跟踪精度和 SMC 的鲁棒性。该提出的策略实现了对多种生理参考信号（例如，周期性发放和爆发节律）的可靠跟踪，并有效减轻了网络对初始条件和外部扰动的敏感性。
(3) 通过数值模拟和基于 STM32 微控制器的硬件实验对提出的控制策略进行全面验证，验证了其用于嵌入式神经调节设备的实际适用性。

本文的其余部分结构如下。在第 2 节中，我们建立了一个三细胞 HNN 模型，作为模拟生物神经元集体动力学的计算框架。第 3 节研究了在变化外部电流和初始条件下 HNN 的复杂发放行为，采用了经典的非线性动力学分析方法。然后，我们在第 4 节中提出了一种滑模 -PI 混合控制策略，以稳定 HNN 的动态并实现对参考信号的快速、准确跟踪。结论在第 5 节中得出。

章节摘要

模型描述 HNN 模型由于其结构与生物神经系统的相似性，为模拟脑动力学提供了生物物理上合理的框架。HNN 模型的一般表示写为 [37]：
C_i dx_i/dt = -x_i/R_i + Σ(j=1 to n) ω_ij tanh(x_j) + I_i
其中，x_i 是第 i 个神经元的膜电压，C_i 和 R_i 分别表示神经元内部和外部之间的电容和膜电阻，tanh(x_j) 是代表电压输入的激活函数。

数值结果与讨论 本节研究了所提出的 HNN 在变化外部刺激和初始条件下的动力学。为了全面分析系统的非线性动力学，我们采用了经典的非线性分析方法的组合，包括李雅普诺夫指数、分岔图、时间序列和相图等。这些工具使我们能够表征从周期状态到混沌状态的转换。数值模拟在 MATLAB 中使用 ode45 求解器进行，该求解器...

混合控制器设计与性能评估 传统控制方法已被广泛应用于稳定各种神经网络模型，但它们往往未能解决神经动力学对外部刺激和初始条件的高度敏感性。为了克服这些局限性，我们在本节中提出了一种控制方案，旨在使 HNN 对外部电流和初始状态的变化具有鲁棒性。这种方法受生物神经网络固有调节机制的启发，例如相位重置...

微控制器实现 本节在嵌入式硬件平台上对所提出的混合滑模 -PI 控制方案进行了实时数值验证。与使用外部模拟电路来模拟对象的传统硬件在环（HIL）设置不同，我们的实现在同一个 STM32 微控制器上直接集成了 HNN 对象动力学和混合控制器。这种嵌入式实现验证了所提出的算法可以在有限的资源内高效运行...

结论 综上所述，本研究通过引入一种创新的混合滑模 -PI 控制策略，提出了一个用于调节神经网络所表现出的丰富动力学行为的神经工程框架。对三细胞 HNN 的系统研究表明，其发放模式对外部刺激和初始条件均表现出高度敏感性，这一特征紧密反映了生物神经网络对扰动的脆弱性...

CRediT 作者贡献声明
Jin-Yi Wu: 撰写 - 初稿，方法论，数据整理，概念化。
Zhi-Jun Li: 撰写 - 初稿，项目管理，方法论，资金支持获取，形式分析。
Yong-Hong Lan: 验证，项目管理，方法论。

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致谢
这项工作得到了国家自然科学基金（批准号 62171401 和 62071411）和湖南省教育厅重点项目（批准号 25A0146）的支持。

Jin-Yi Wu|Zhi-Jun Li|Yong-Hong Lan
湘潭大学物理与光电工程学院，湖南省湘潭市，41110，中国