基于适当正交分解的深度学习技术在受限冲击射流中的动态流动预测中的应用

《Chemical Engineering Science》：Deep learning based on proper orthogonal decomposition for dynamic flow predictions in confined impinging jets

　　摘要：本研究提出了一种基于深度学习的概念验证方法，用于预测化学反应器中的动态流场，以解决传统计算流体动力学（CFD）的高计算成本问题。该工作的关键创新在于将适当正交分解（POD）与深度神经网络（DNN）相结合，以预测受限撞击射流（CIJs）在新操作条件下的空间模式和时间系数，这些射流处于自维持的混沌流动状态。该方法遵循四步工作流程：（i）通过POD对CFD数据进行降维；（ii）使用DNN对POD流动特征进行监督学习；（iii）预测新条件下的POD模式和时间系数；（iv）重建完整的流场。开发了两种DNN：一种用于预测空间POD模式（DNN_?），另一种用于预测相应的时间系数（DNN_a），两者均基于标准的多层感知机（MLP）架构。优化后的网络能够重建88%的流动能量，同时保持相似的混合尺度。虽然CFD模拟需要在高性能计算机（HPC）上运行数天，但训练有素的DNN可以在几秒钟内生成等效的预测结果，彰显了其作为计算效率高的替代方案的潜力。作为概念验证，这项工作为基于深度学习预测对向喷射混合器中的复杂混沌流动奠定了基础。这一概念验证为基于AI的化学反应器分析和设计模型的发展打开了大门。未来的工作将致力于将该方法扩展到更广泛的操作条件、流动状态和反应器配置，并整合物理信息学习方法以提高准确性和泛化能力。

引言：制造过程的设计和优化得益于计算建模的进步，因为它能够理解质量与热传递、化学反应机制以及复杂的流动流体动力学。在这些工具中，计算流体动力学（CFD）对于在日益复杂的操作条件下模拟和优化流动系统至关重要。然而，尽管CFD取得了进展，但其复杂性和计算成本仍然是一个重大挑战。化学反应器中的流体流动是复杂的非线性系统，通常表现出在空间和时间上都有多尺度现象。CFD求解器通常使用有限体积法（FVM），这要求精细的网格和时间分辨率以获得准确结果。CFD模拟消耗大量的存储和计算资源，往往导致难以解释和管理的大型数据集（Zhu等人，2022年；Brunton等人，2020年）。这些限制成为快速过程设计、优化和数字化的主要瓶颈。

在对向喷射混合器（如受限撞击射流（CIJs）等流动系统进行了广泛研究，这些混合器表现出高度瞬态和非线性的流体动力学特性。CIJs是一种静态混合器，通过将两股流体通过两个相对的喷射流注入圆柱形腔室来实现混合。CIJs在工业应用中得到广泛应用，例如在反应注射成型（RIM）过程中的混合头（Santos和Sultan，2013年）、油水乳液（Tripodi等人，2019年；Siddiqui和Norton，2012年）、沉淀和结晶过程（Liu等人，2015年）以及复杂纳米颗粒和纳米制剂的生产（Prud’homme等人，2018年；Johnson，2018年）。包括CIJs在内的对向喷射混合器的性能强烈依赖于入口流动条件，这些条件由入口雷诺数（Re）表征，定义为Re=ρdυinjμ，其中d是入口宽度，υinj是平均入口速度，ρ和μ分别是流体的密度和粘度。只有在超过某个特定雷诺数（称为临界雷诺数Rec）时才能实现有效的对流混合（Brito等人，2022年）。该研究小组之前的工作确定，在相同直径的喷射器中注入相同流体时，临界雷诺数的范围为90 < Rec < 140（Santos等人，2009年；Santos等人，2008年；Santos等人，2010年）。其他研究小组也独立得到了相同的临界雷诺数范围（Lee等人，1980年；Johnson和Wood，2000年；Wood等人，1991年；Tucker和Suh，1980年）。超过临界雷诺数的流动状态特征是来自两个入口的两股流体相互包覆，这种现象被称为自维持的混沌流动。这种包覆过程在撞击区域附近产生连贯的涡结构，这些结构通过混合腔室演化，在入口下游形成较大的涡旋（Fonte等人，2015年）。由于这种流动状态的复杂性，CFD模拟在计算上非常耗时。

用于降维的统计方法，如适当正交分解（POD），可以将高维数据系统（例如速度场）分解为两个函数：空间模式（Φ）和时间系数（A）。空间模式描述了系统的特征空间形状，时间系数描述了这些形状随时间的变化。通过POD得到的分解通常根据每个模式对流动的能量贡献进行排序。低阶模式捕获了数据总方差的大部分，意味着它们包含了关于流动的主要信息（Mayorga等人，2022年；Liang等人，2002年）。POD的另一个重要特点是它能够仅使用少数空间模式和时间系数重建原始流场，从而实现显著的数据压缩而不会丢失原始流场的重要细节（Liang等人，2002年）。POD已广泛应用于CFD数据以及从实验技术（如粒子图像测速法（PIV）中捕获的流场图像，包括流体动力学、空气动力学、血液动力学和多相流研究（Mayorga等人，2022年；de Lamotte等人，2018年；Munir等人，2015年；Cao等人，2019年；Janiga，2019年；Darwish等人，2021年）。

图1展示了用于瞬态CFD模拟的POD实现工作流程。实施POD需要从CFD模拟中收集必要的数据。在2D模拟的情况下，数据以每个时间步长的速度矩阵（υx,υy）形式提取，对应于图1中的Block 1。从CFD模拟中提取的速度矩阵随后被重塑为一个向量并排列成矩阵U。U的每一列代表特定时间步长的速度场，每一行对应于网格上的一个空间点（Liné等人，2013年）（Block 2）。这种矩阵U的组织方法称为快照方法。Block 3包括计算协方差矩阵C，然后对该矩阵进行特征值分解（Block 4）。通过这种分解，可以获得特征值和特征向量。特征向量对应于POD空间模式（Φ），它们代表流动的不同连贯结构。Lumley（1967年）将连贯结构定义为流动中的空间组织模式，这些模式最好地代表了混沌或湍流中流体的整体运动。特征值（λ）表示与每个POD模式相关的能量量，按从高到低的顺序排列，即模式1捕获的能量最多，模式2捕获的能量较少，依此类推。POD模式是时间不变的基础函数，代表不同的流动结构，但它们的时间演化和对流动的贡献由POD时间系数（Ducci等人，2008年）控制。时间系数矩阵（A）包含Nmode列，每一列是一个长度为Nt的向量ai，代表第i个POD模式的时间演化。A矩阵是通过将速度场U投影到每个POD模式中得到的（Liné等人，2013年），如图1的Block 5所示。最后，可以使用Block 6中的方程重新构建原始速度场，考虑到有限数量的POD模式和时间系数（Nmodes）。

关于CFD数据集的POD算法实现的更详细描述和数学推导可以在Torres等人（2019年）的论文中找到，其中POD应用于对向喷射混合器（如受限撞击射流（CIJs）和T-jet混合器）中的混沌流动。机器学习（ML）的应用越来越普遍，用于应对与CFD模拟相关的一些挑战，特别是通过人工神经网络（ANNs）等算法，因为它们在处理大型数据集方面具有鲁棒性（Brunton等人，2020年）。ANNs通常用于监督学习，这是一种机器学习范式，其中使用标记数据，即每个输入对应于一个已知输出的数据集，使模型能够学习输入和输出之间的关系（Montilla等人，2024年）。ANNs受到人脑神经元连接的启发，其典型架构包括一个输入层、隐藏层和一个输出层。这些层由能够处理来自前一层的输入并使用称为激活函数的数学函数生成输出的人工神经元组成。每层神经元将其加权输出传递给下一层（Brunton等人，2020年；Russell和Norgiv，2010年）。当人工神经网络（ANN）包含多个隐藏层时，它被称为深度神经网络（DNN）。增加的深度使得分层特征提取成为可能，使模型能够学习高级且高度非线性的输入-输出映射表示。与浅层架构相比，DNN具有更大的表示能力，可以近似复杂的函数关系，而这些关系可能无法仅通过包含一个隐藏层的网络来建模。神经网络的主要架构之一是前馈神经网络，其中信息从输入层单向流动到输出层。多层感知机（MLP）是这种架构的常见示例，它由多个具有非线性激活函数的完全连接层组成，使其能够学习复杂模式。反向传播被用作优化方法，调整网络权重以最小化预测值和训练数据之间的误差，误差由损失函数定义（Brunton等人，2020年）。

机器学习算法已应用于CFD的许多领域，例如开发复杂流动的封闭项（包括阻力、湍流应力和热/质量传递系数），以及流动优化和控制，以及高效求解或近似Navier-Stokes方程，无论是直接从数据中学习流动模式还是通过增强传统的基于物理的模型（Brunton等人，2020年；Brunton，2021年；Wang和Wang，2021年；Sharma等人，2023年；Vinuesa和Brunton，2022年）。数据驱动的方法也被用于分析在不同操作条件下的CFD生成的数据集，例如通过无监督学习框架，这些框架能够在没有预先标记的情况下识别潜在的流动诱导模式（Zhang等人，2025年）。尽管如此，DNNs在监督学习范式内越来越被采用，以加速或在广泛流动预测问题中计算成本高昂的CFD模拟，作为替代模型。一种常见的策略是降阶建模范式，其中POD首先将流场分解为空间模式和时间系数，然后神经网络建立输入参数与低维模态系数之间的映射（Mao等人，2025年）。然而，在这种范式中，当前的最新技术集中在循环神经网络（如长短期记忆（LSTM）网络上，这些网络用于预测POD时间系数的时间演化，而空间模式作为从训练快照中提取的固定基础保留下来（Yousif和Lim，2022年）。其他方法直接预测参数稳态流动的流场，将几何和操作变量映射到速度场（Matai，2025年）。最近，还出现了用于快速流动预测的生成和非CFD方法，包括基于扩散的空气动力逆向设计模型和用于预测复杂流动条件下车辆运动的降阶策略（Lin等人，2026年；Cheng等人，2026年）。

与这些方法不同，特别是与传统的POD-DNN框架相比，后者的空间基础是固定的，并且网络被训练用于时间预测，本工作的关键创新在于使用DNNs不仅预测时间系数，还预测新操作条件下的POD模式本身。这一点至关重要，因为空间模式在不同的雷诺数或几何形状下并不完全相同，将它们视为固定值会导致显著的误差。预测基础确保模型对每个新案例的特定流动结构保持敏感。据作者所知，这是首次将这种策略应用于对冲喷射混合器中的流动预测的研究。所提出的方法显示出强大的潜力，能够加速基于CFD的动态流动预测，从而可以从有限的训练模拟中高效估计新的流场，并使该方法适用于计算要求较高的应用。因此，本工作的主要目标是开发一个降阶深度学习框架，用于快速预测混沌流场，以受限冲击喷射（Confined Impinging Jets，CIJs）作为概念验证系统。首先进行了CFD模拟，以生成不同操作条件下的流场，然后应用POD（ Proper Orthogonal Decomposition）对CFD速度场进行降维处理。得到的POD数据随后用于训练两个DNN（深度神经网络），以便预测CIJs反应器中未见条件下的新POD模式和时间系数。作为概念验证，这项工作为将该方法扩展到其他混合器几何形状和更复杂的化学反应器配置奠定了基础。这项研究的长期目标是开发一个全局、可泛化的替代框架，能够为广泛的操作条件和化学反应器几何形状预测流场的降阶表示。这样的框架将显著加快反应器设计过程，因为一旦训练完成，该网络可以以远低于高保真CFD模拟的计算成本提供流场预测。计算时间的减少也为将该框架整合到优化工作流程中打开了大门，从而能够系统地探索使用传统CFD方法成本过高的反应器几何形状和操作条件。这将提升反应器设计过程，因为训练有素的DNN可以比高保真CFD模拟更快地提供结果。未来的发展可能还会将物理信息约束纳入网络架构，朝着物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network，PINN）的方向发展，以进一步提高预测准确性和物理一致性。

**部分片段**

**模型设置**
图2显示了CIJs混合器的示意图及其尺寸，即腔室宽度D和长度H，以及两个相对安装的喷射器，其尺寸为din，位于距离顶部墙壁h的位置，该区域称为头部空间（headspace）。先前的研究表明，二维模型可以捕捉CIJs中的所有瞬态混合机制（Mao等人，2025年），因此模拟是在图2中用蓝线勾勒的矩形几何形状下进行的。

**适当的正交分解（POD）**
使用CFD数据在CIJs上实现POD的工作流程最初由Torres等人于2019年探索和开发（Torres等人，2019年）。在那项研究中，展示了Re=300和500的POD结果，而Re=350、450、550和600的POD结果则是首次在这里展示。在本研究中，POD被用作预处理步骤，以在用于训练深度神经网络之前降低数据的维度。

**深度神经网络（DNN）**
开发了一个DNN框架，用于预测CIJs中不同入口雷诺数下的POD空间模式和时间系数。在这个框架内，使用Keras（集成到TensorFlow中的高级API，Bishop，1995年；Hinton等人，2014年）实现了两个预测模型。第一个模型预测POD模式（Φ），而第二个模型预测时间系数（A）。对于每个案例，测试了不同类型的数据集作为输入，以了解哪种数据结构能够实现最佳预测效果。

**速度场和湍流动能（TKE）**
使用DNN_?的最佳配置得到的POD结果，为Re=450生成了速度幅度等值线图。

**结论**
本研究提出了一种数据驱动的降阶建模（Reduced-Order Modelling, ROM）框架，该框架将适当的正交分解（POD）与深度神经网络（DNNs）相结合，用于预测受限冲击喷射（CIJs）反应器中的混沌流动。该研究的创新之处在于使用DNN来确定新流动条件下的POD模式和时间系数，超越了传统的时间预测。通过将POD基础视为待预测变量，该方法还能够考虑结构演变。

**作者贡献声明**
Sofia P. Brand?o：撰写-原始草稿、可视化、软件开发、方法论设计、调查、数据分析、概念化。
Margarida S.C.A. Brito：撰写-审稿与编辑、验证、监督、资源协调、方法论设计、数据分析、概念化。
Rachid Ouaret：撰写-审稿与编辑、验证、监督、资源协调、方法论设计。
Madalena M. Dias：撰写-审稿与编辑、验证。
José C.B. Lopes：撰写-审稿与编辑、验证。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。

**致谢**
本工作得到了项目“ComputReactors：新型化学反应器的先进计算设计”（项目编号：2023.10740.CPCA.A2，DOI: 10.54499/2023.10740.CPCA.A2）的支持。此外，本研究还得到了葡萄牙科学与技术基金会（Funda??o para a Ciência e a Tecnologia, I.P./MECI）的资助，包括国家基金LSRE-LCM（UID/50020/2025，https://doi.org/10.54499/UID/50020/2025）和ALiCE（LA/P/0045/2020，https://doi.org/10.54499/LA/P/0045/2020）。Margarida Brito感谢FCT针对科学就业的个人资助。

**作者名单**
Sofia P. Brand?o | Margarida S.C.A. Brito | Rachid Ouaret | Madalena M. Dias | José C.B. Lopes | Stéphane Negny | Ricardo J. Santos
LSRE-LCM | ALiCE | 波尔图大学工程学院 | Rua Dr. Roberto Frias, 4200-465 | 波尔图，葡萄牙