复杂几何结构上各向异性扩散方程的一种保正性随机特征方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A positivity-preserving random feature method for anisotropic diffusion equations on complex geometries

　　

摘要
各向异性扩散方程在科学与工程领域很常见，但传统的基于网格的方案（如非线性有限体积法）由于网格生成的成本和难度，在复杂几何体上可能会变得低效或不切实际。这项工作提出了一种基于随机特征方法的、用于复杂二维和三维域上各向异性扩散方程的保持正性无网格方法。该方法包含四个主要组成部分：（i）使用随机特征函数结合单位分解构建全局近似；（ii）基于配置的 PDE 控制方程和边界条件的离散化；（iii）强制逐点非负约束；以及（iv）求解由此产生的约束最小二乘问题。数值测试包括高度不规则的几何体、旋转和非均匀扩散张量、随时间变化的问题，以及一种标准网格划分尝试失败的几何体。结果表明，该方法在约束点满足规定的下界。在报告准确性比较中测试的最精细分辨率下，其误差比非线性有限体积法、非线性有限体积元方法以及最先进的无网格方案低多达两个数量级。高度不规则制造解测试上的解误差降低到约 10?6，展示了该方法在实际扩散问题中的准确性、鲁棒性和潜力。

引言
各向异性扩散方程是模拟多样物理和工程过程的基本模型，包括热传导、质量传输和辐射扩散。它们在诸如磁约束和惯性约束聚变 [1], [2], [3]、图像处理 [4], [5]、斯格明子扩散 [6]、纤维增强复合材料中的流体传输 [7] 以及分形多孔介质中的气体扩散 [8] 等应用中吸引了持续的关注。这些过程由源自本构定律（如菲克定律 [9]、傅里叶定律 [10] 和达西定律 [11]）的扩散方程描述。在许多实际情况下，扩散系数是强各向异性的，且方程定义在高度复杂的域上，使得准确和鲁棒的数值模拟尤为具有挑战性。

确保数值解的非负性对于浓度、绝对温度、能量密度和辐射强度等物理变量至关重要，因为违反这一条件可能导致非物理结果、不稳定性或模拟失败。为解决这一问题，开发了各种非线性有限体积格式（NFVMs）[12], [13], [14], [15], [16], [17], [18]，包括非线性有限体积元方法（N-FVEM）[19]。全面的综述见 [20], [21], [22]。然而，大多数 NFVMs 依赖于网格生成，这对于复杂域来说可能是不可行的，或需要大量的人工努力，从而大幅增加计算成本。这一挑战对于不规则域上的 PDE 或具有强烈局部变化的问题尤为突出。尽管传统求解器可以使用特别构造的近似空间和定制网格来处理此类几何形状 [23], [24], [25], [26], [27]，但这些策略成本高昂且劳动密集，限制了它们在大规模或高度不规则问题中的适用性。

近年来，局部和非局部扩散问题的无网格离散化取得了显著进展 [28]。例如，Ye [29] 提出了一种用于线性椭圆方程的单调无网格有限差分方法，而 Tian 等人 [30] 开发了一种通过非局部扩散算子保持最大原理的用于各向异性扩散方程的无网格方案。尽管取得了这些进展，但将完全无网格的实现与高度复杂几何体上扩散问题的显式逐点非负约束结合起来仍然具有挑战性。这一差距促使我们建立一个避免网格生成同时在离散配置点强制执行非负性的框架。所提出的方法还力求匹配或超过 NFVMs 和最先进的无网格方法的准确性，从而解决实际应用中的关键计算挑战。

深度神经网络最近在求解 PDE 方面展现出了巨大的潜力，特别是在传统方法往往难以应对的高维设置中 [31], [32], [33], [34], [35]。对于定义在复杂几何体上的低维问题，结合经典求解器的精度和机器学习灵活性的混合方法引起了越来越多的关注 [36], [37], [38], [39]。其中，随机特征方法（RFM）[37] 由于其强大的几何适应性和有利的精度特性，已成为一种有前途的无网格策略。现有研究表明，RFM 在不规则域上表现良好，与标准数值方案相比提供有竞争力甚至更优的准确性。其有效性已在从线性弹性和 Stokes 流到界面问题及随时间变化的 PDE [37], [40], [41] 的应用中得到证明，并已扩展为用于日益复杂场景的域分解策略 [42]。

尽管 RFM 在各种 PDE 应用中表现强劲，但标准的 RFM 缺乏强制执行各向异性扩散方程数值解非负性的机制。这一局限性可能会违反浓度、绝对温度和辐射强度等量的基本物理约束，从而限制其在实际问题中的适用性。为解决这一问题，我们在 RFM 框架内提出了一种用于复杂二维和三维几何体上各向异性扩散方程的保持正性无网格方法。该方法有四个核心组成部分：（i）使用随机特征函数和单位分解构建全局近似；（ii）基于配置的控制 PDE 和边界条件评估；（iii）强制逐点非负约束；以及（iv）求解由此产生的约束最小二乘问题。在该框架中，几何复杂性主要通过配置点的生成和过滤来处理，保留了该方法在复杂域上的灵活性。

本文的其余部分组织如下。第 2 节介绍了模型问题和 RFM 框架。第 3 节将逐点非负约束纳入 RFM 离散化中，导致约束最小二乘公式化，并描述了相应的求解策略。第 4 节报告了数值实验，这些实验（i）在规则和复杂几何体上验证了保持正性属性，（ii）比较了 QPT-RFM 与 NFVM、N-FVEM 以及一种最先进的无网格方法的准确性，（iii）展示了其在几何复杂域上扩散问题的有效性和鲁棒性。最后，在第 5 节中给出了结论性意见。

章节片段
模型与随机特征方法
本节从扩散问题的数学公式化开始，随后概述 RFM 框架。

扩散方程的保持正性离散化
在连续情况下，如果 f ≥ 0 且 g ≥ 0，最大原理保证 (2.1) 的解 u 是非负的。然而，通过最小化 (2.3) 获得的近似解 un 可能会出现负值，因为该公式包含没有显式的非负约束。

为解决这一问题，我们将非负约束直接纳入离散配置框架中。我们使用 PoU 函数 ψia(x) 来说明其构造。

数值结果
在 RFM 框架中，默认使用 PoU 函数 ψia(x)。内层参数（即权重向量和偏差）的初始化对该方法的数值性能有显著影响。在最初的 RFM 工作 [37] 中，采用了 tanh 和 sin 作为激活函数，并研究了内层参数的两种典型初始化策略：
•随机初始化：权重向量和偏差从均匀分布 U[-Rm, 中采样。

结论
RFM 是一种用于求解复杂几何体上 PDE 的高精度无网格方法，但它本质上不强制执行许多扩散模型所需的非负性。我们通过结合（i）局部随机特征近似和单位分解，（ii）基于配置的离散化，（iii）逐点非负约束，以及（iv）约束最小二乘求解器，开发了 QPT-RFM。在规则和高度不规则域上的数值实验表明，QPT-RFM 强制执行了...

数据可用性
本研究未使用外部数据集。

CRediT 作者贡献声明
Longze Tan: 写作 – 初稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，形式分析，数据管理，概念化。Yixin Luo: 写作 – 审查与编辑，写作 – 初稿，可视化，软件，方法论，调查，形式分析，概念化。Jiamin Jiang: 写作 – 审查与编辑，写作 – 初稿，可视化，软件，方法论，调查，形式分析，概念化。Jingrun Chen: 写作 – 审查与编辑。

竞争利益声明
作者声明他们没有任何已知的竞争性财务利益或可能影响本论文报告工作的个人关系。

Longze Tan|Yixin Luo|Jiamin Jiang|Jingrun Chen
中国科学技术大学数学科学学院，中国合肥