具有二阶和四阶耗散的二维广义 Burgers 方程的梯度恢复方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A gradient recovery method for the two-dimensional generalized Burgers equation with second-order and fourth-order dissipations

　　

摘要 本文发展了一种针对二维广义 Burgers 方程的 C0 线性有限元方法，该方程包含二阶和四阶耗散。四阶项通过梯度恢复算子进行离散，该算子从 C0 解重构近似 Hessian 矩阵，从而避免了直接计算 C0 线性单元不可用的二阶导数。非线性对流项通过斜对称分裂处理，以保证离散能量稳定性。对于半离散格式，我们证明了最优 H1 范数误差估计和次优 L2 范数误差估计。对于全离散后向欧拉格式，我们建立了离散解的存在性和唯一性，并推导了最优 H1 和次优 L2 误差估计。数值实验证实了理论收敛率，并评估了该方法在 Burgers 类型基准测试、小粘度区域、陡峭梯度现象和长时间积分上的鲁棒性，同时通过与 C0 内部惩罚方法的比较进行了评估。在光滑设置下，观察到的 L2 收敛性通常超过次优理论界限，表明在考虑的正则性下该界限不是尖锐的。

引言 在本文中，我们考虑以下定义在有界域 Ω?R2 上的二维四阶广义 Burgers 方程，

ut+b(u)·?u?νΔu+μΔ2u=f(x,y,t),(x,y,t)∈Ω×(0,T],

其中 ν, μ > 0 分别表示二阶粘度系数和四阶超粘度系数，f 是给定的源项。向量场取为 b(u)=(u,u)T，因此

b(u)·?u=uux+uuy,

这正是标量二维 Burgers 类型方程中的对流项。我们施加边界条件

u=0on?Ω×(0,T],
?2u?n2=0on?Ω×(0,T],

其中 n 表示 ?Ω 上的单位外法向量，以及初始条件

u(·,0)=u0inΩ.

该模型将经典 Burgers 方程扩展到二维空间，并包含了标准粘性和超粘性。

Burgers 方程是非线性对流 - 扩散现象的经典原型模型，已在流体力学、非线性波传播和湍流建模中得到了广泛研究 [1], [2]。在目前的工作中，非线性项 uux+uuy 在二维空间中保留了标准的 Burgers 类型对流结构；因此问题 (1) 可以被视为一个二维标量 Burgers 类型模型。然而，该方程的耗散结构同样重要，将在下文详细讨论。

二阶项 ?νΔu 代表传统的牛顿粘性，它阻尼解的梯度。另一方面，四阶项 μΔ2u 充当超粘性，有选择地耗散高波数分量，而不会显著影响大尺度特征。这种二阶和四阶耗散的结合通常作为湍流计算中的人工或亚格子尺度耗散，并且与某些薄膜模型和非线性波动方程具有结构上的联系。从数值角度来看，增加的高频耗散增强了稳定性，并允许在直接数值模拟中使用较粗的网格 [3], [4]。在傅里叶空间中，线性耗散算子 ?νΔ+μΔ2 具有正符号 ν|k|2+μ|k|4，证实了四阶项对高频模式的更强阻尼。对于具有四阶粘性的 Burgers 方程，已建立了激波剖面的线性稳定性 [5]。二阶和四阶耗散的结合也出现在 Pauls 和 Ray [6] 的统一框架中，他们引入了一个谱算子 f(?Δ)，其中 f(k)=k4+ak2，这在物理空间中对应于 ν(?Δ)u+μ(?Δ)2u。对于 Burgers 类型动力学，已表明超粘性会产生能量谱瓶颈——即惯性区和耗散区之间的一个凸起，这是实空间速度振荡在傅里叶空间中的特征 [7]。这种修正耗散的观点自然地将问题 (1) 解释为具有标准粘性和高阶超粘性正则化的 Burgers 类型方程。

从结构角度来看，四阶 Burgers 类型耗散模型与 Kuramoto-Sivashinsky 型方程密切相关，后者同样结合了 Burgers 类型非线性对流与二阶和四阶空间导数，并出现在火焰锋面动力学、反应 - 扩散系统和图形成问题中 [8], [9], [10]。在经典的 Kuramoto-Sivashinsky 方程中，二阶项具有正扩散系数，通常导致长波不稳定性，而问题 (1) 中的项 ?νΔu 代表标准粘性耗散。尽管两个模型中二阶项的物理作用相反，但两者都共享将非线性对流与四阶耗散或正则化耦合的共同结构特征。这种结构联系强调了非线性输运与四阶耗散共存为何对构建稳定和准确的数值方法构成了巨大挑战。

除了模型本身，此类方程的数值近似也值得仔细关注。上一节强调的非线性对流与高阶耗散之间的相互作用使得数值格式的设计特别具有挑战性，因为必须仔细平衡稳定性和准确性。

对于 Burgers 类型和更一般的非线性对流 - 扩散问题，一条重要的研究线路专注于保持结构的格式，即在离散水平上保持物理约束。守恒、能量稳定、保正和保最大值原理的方法已被广泛用于非线性耗散系统，包括 Burgers 类型模型，以确保长时间稳定性和对底层物理的保真度 [11], [12], [13], [14]。对于四阶 Burgers 方程，已开发了稳定的有限差分格式 [15]，并且为具有弱奇异核的问题构造了紧致差分格式 [16]；为具有非局部输运的非线性演化模型也设计了高效的时间 - 空间双网格方法 [17]。然而，这些工作主要集中在一维设置或四阶 Burgers 方程的特定变体上，并未解决本工作考虑的二维设置中二阶和四阶耗散结构的结合。这促使我们考察能够处理这种结合结构的四阶问题的一般数值框架，接下来我们将转向这一点。

四阶 PDE 的数值近似本质上具有挑战性，因为自然的弱形式涉及二阶导数，这需要 H2 协调空间进行直接的 Galerkin 离散化。经典的 C1 协调元，如 Argyris, Bell 和 Hsieh-Clough-Tocher 元，在理论上很有吸引力，但存在实现复杂性和高计算成本的问题。为了规避这些困难，开发了各种替代方案。混合公式通过引入辅助变量将正则性要求降低到 H1 [18], [19], [20]，而 Morley 元等非协调元放松了跨界面的法向导数连续性 [21], [22]。另一种不同的范式保留 C0 连续空间，并通过惩罚项弱强制 C1 连续性，如 C0 内部惩罚方法 [23], [24]。更近期的发展包括弱 Galerkin 方法，该方法通过弱函数空间和离散弱算子在分布意义下放松连续性 [25], [26], [27]，以及混合高精度方法，后者依赖于独立的单元和面未知量以及稳定化项以确保稳定性 [28], [29]；这两个框架也都适用于多边形和多面体网格。尽管这两个框架是从不同的动机发展而来的，但它们密切相关，正如 Dong 和 Ern [29] 所示，可以在统一的设置中进行解释，主要区别在于稳定化的选择。另一类重要的方法由内部惩罚间断 Galerkin 方法组成，它们是完全非协调的，并将未知量仅附加到网格单元上，在网格和多项式设计上提供了最大的灵活性 [30], [31], [32]。虚拟元方法提供了一种独特的视角，通过投影算子和边界自由度而不是显式基函数来定义离散空间；非协调变体将 Morley 元推广到多边形，同时保持其低自由度结构 [33], [34]，而协调变体则无需惩罚即可实现 C1 连续性 [35]。最近，Chen 和 Huang [36] 引入了一种 H(div div)-协调对称张量有限元空间，该方法通过将自由度重新分配到边和面来实现 H2 协调性而不需要超光滑性；这种方法产生了一种具有超收敛性的可混合化混合方法，并产生了新的弱 Galerkin 和 C0 间断 Galerkin 变体，进一步说明了不同方法论框架之间的交叉融合。在这些发展之中，基于恢复的方法代表了四阶问题的另一种独特理念。

基于恢复的方法的关键思想是使用梯度恢复算子从标准 C0 线性有限元解中重构近似 Hessian 矩阵，从而避免了 C1 连续性或惩罚项的需要。这种方法最初由 Guo 等人 [37] 成功开发用于线性双调和方程，他们建立了最优误差估计并证明了计算效率。然而，将此方法扩展到非线性问题，特别是包含二阶和四阶耗散的广义 Burgers 方程 (1)，是非平凡的。必须以与离散能量估计兼容的方式离散非线性对流项，以避免人工能量产生，并且标准扩散、四阶超粘性和 Burgers 类型非线性之间的相互作用需要仔细的稳定性分析。据我们所知，文献中尚未建立具有二阶和四阶耗散的时间相关广义 Burgers 方程基于恢复的 C0 有限元近似的严格误差分析。

这一缺口是本文的主要动机。分析上的困难不仅仅是使用恢复算子，而是基于恢复的四阶近似与非线性和时间相关的 Burgers 类型结构的耦合。与线性双调和情况不同，非线性对流项必须与标准扩散项和恢复的四阶项一起进行估计。此外，恢复梯度的边界处理必须与四阶算子所要求的一致性恒等式兼容。出于这个原因，恢复算子被仔细定义为 Gh:Vh?[Vh]2，并带有额外的边界处理，我们建立了修正算子的弱估计以支持后续的稳定性分析和误差分析。

从计算角度来看，所提出的方法保留了标准的最低阶 C0 线性有限元空间，并且没有引入额外的主要未知量。因此，自由度的数量与通常的标量线性有限元近似相同。额外的成本主要来自局部梯度恢复过程和每个时间步中的非线性迭代。这使得实现比 C1 协调方法或混合公式简单得多。

基于上述要素，本文的主要贡献总结如下。

1. 适用于四阶耗散项的边界兼容恢复算子。我们引入了梯度恢复算子 Gh: Vh → [Vh]2 的修改，并带有仔细设计的边界处理。这种修改是必要的，因为基于局部体积平均的标准恢复算子在齐次 Dirichlet 条件下应用于边界附近时，不能保持四阶算子所要求的一致性关系。通过这种修改，四阶项 μ(Δ2u, v) 被离散为 μ(?(Ghuh), ?(Ghvh))，其中 ?(Gh ·) 表示恢复梯度的雅可比矩阵。这种公式产生了一种稳定且一致的 C0 有限元双调和算子离散化，避免了 H2 协调空间的复杂性，同时实现了 H1 范数中的最优收敛率。

2. Burgers 类型非线性的能量兼容离散化。非线性项被重写为斜对称形式

(b(u)·?u,v)=13(b(u)·?u,v)?13(b(u2),?v),

当 v=u 时该项为零。这种结构确保了离散能量耗散的保持，并提供了一种在误差分析中控制非线性项的系统方法。斜对称处理不仅仅是一种技术便利；对于推导不依赖于强正则性假设或小数据限制的稳定性估计至关重要。

3. 半离散和全离散误差估计。对于半离散（时间连续）格式，我们建立了 H1 范数中的最优阶误差估计和 L2 范数中的次优估计。对于基于后向欧拉方法的全离散格式，我们在温和的时间步长限制下通过布劳威尔不动点定理证明了解的存在性和唯一性，并推导了最优 H1 和次优 L2 误差估计。分析表明，由于恢复算子缺乏对偶论证，L2 估计是次优的；这与为双调和问题观察到的类似基于恢复的方法的行为一致。

4. 数值验证和基准测试。进行了若干数值实验来验证理论收敛率并评估方法的实际性能。测试套件包括光滑构造解、非构造 Burgers 类型基准、小粘度区域、陡峭梯度现象和长时间积分。还包括与 C0 内部惩罚方法的比较，以评估所提出方法的效率。数值结果表明，在光滑设置下，观察到的 L2 收敛性通常超过次优理论界限，表明在考虑的正则性下该界限不是尖锐的，并且进一步改进是可能的。

本文组织如下。第 2 节介绍了必要的函数空间、符号以及问题的弱形式。

第 3 节描述了梯度恢复算子、半离散有限元格式以及相应的稳定性和误差分析。第 4 节致力于完全离散的后向欧拉格式，包括离散解的存在性和唯一性以及相应的误差估计。第 5 节报告了数值实验，第 6 节给出了结论性评论。

章节片段

弱形式

在本节中，我们提出了控制方程的弱形式。为了确定函数设定，我们首先回顾必要的符号和函数空间。

半离散格式

在本节中，我们首先在 C0 有限元空间上构建梯度恢复算子，然后制定相应的半离散有限元格式。随后，我们建立了格式的稳定性，并推导了 L2 和 H1 误差估计。

设 Th 为Ω的一致三角剖分，定义协调的 C0 有限元空间 Vh={vh∈C0(Ω￣)|vh|K∈P1(K)?K∈Th}，其中 P1(K) 表示 K 上的线性多项式空间。具有齐次狄利克雷条件的子空间为 Vh0={vh∈

完全离散格式

设 0=t0< />
寻找 un∈vh0 (1≤n≤m)，使得对所有 vh∈vh0,{(?tun,vh)+13

数值结果

本节展示了数值实验，以验证理论分析并评估所提方法的性能。

结论

我们提出了一种基于恢复的 c0 有限元方法，用于求解具有二阶和四阶耗散的二维广义 burgers 方程。梯度恢复算子规避了对 c1 连续性的需求，而非线性对流项的斜对称分裂保证了离散能量稳定性。对于半离散和完全离散的后向欧拉格式，都证明了最优的 h1 和次优的 l2 误差估计，以及存在性和唯一性。

credit 作者贡献声明

yanli chen：写作 – 审阅与编辑，监督，方法论，概念化。qiqi song：写作 – 原稿撰写，可视化，软件，数据整理。

利益冲突声明

作者声明，他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文中报告的工作。

yanli chen|qiqi song

东北大学数学系，中国沈阳，110819 为时间区间 [0, t] 的一个分割，具有均匀时间步长 τ=T/M，即 tn=nτ (n=0,1,?,M)。记 un=u(·,tn) 为精确解，un∈vh0 为完全离散近似，fn=f(·,tn) 为时间 tn 处的源项。利用后向差商 ?tun=Un?Un?1τ 来近似半离散形式中的时间导数 (uh)t，我们得到以下完全离散有限元格式。 寻找 un∈vh0 (1≤n≤m)，使得对所有 vh∈vh0,{(?tun,vh)+13 数值结果 本节展示了数值实验，以验证理论分析并评估所提方法的性能。 结论 我们提出了一种基于恢复的 c0 有限元方法，用于求解具有二阶和四阶耗散的二维广义 burgers 方程。梯度恢复算子规避了对 c1 连续性的需求，而非线性对流项的斜对称分裂保证了离散能量稳定性。对于半离散和完全离散的后向欧拉格式，都证明了最优的 h1 和次优的 l2 误差估计，以及存在性和唯一性。 credit 作者贡献声明 yanli chen：写作 – 审阅与编辑，监督，方法论，概念化。qiqi song：写作 – 原稿撰写，可视化，软件，数据整理。 利益冲突声明 作者声明，他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文中报告的工作。 yanli chen|qiqi song>
寻找 un∈vh0 (1≤n≤m)，使得对所有 vh∈vh0,{(?tun,vh)+13

数值结果

本节展示了数值实验，以验证理论分析并评估所提方法的性能。

结论

我们提出了一种基于恢复的 c0 有限元方法，用于求解具有二阶和四阶耗散的二维广义 burgers 方程。梯度恢复算子规避了对 c1 连续性的需求，而非线性对流项的斜对称分裂保证了离散能量稳定性。对于半离散和完全离散的后向欧拉格式，都证明了最优的 h1 和次优的 l2 误差估计，以及存在性和唯一性。

credit 作者贡献声明

yanli chen：写作 – 审阅与编辑，监督，方法论，概念化。qiqi song：写作 – 原稿撰写，可视化，软件，数据整理。

利益冲突声明

作者声明，他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文中报告的工作。

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东北大学数学系，中国沈阳，110819>