基于滑模控制的具有脉冲效应 BAM 神经网络的固定/预定义时间稳定性分析

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Sliding mode control-based fixed/predefined-time stability analysis of BAM neural networks with impulsive effects

　　

摘要

本工作研究了具有外部干扰和脉冲效应 的双向联想记忆神经网络 (BAMNN) 的固定时间稳定性 (FXTS) 和预定义时间稳定性 (PDTS) 分析。贡献主要有两方面。首先，基于平均脉冲间隔，提出了脉冲系统在固定时间和预定义时间内稳定化的几个充分条件，其中在统一的充分条件下同时考虑了稳定脉冲和失稳脉冲。利用最优值理论，获得了优化的收敛时间 (ST) 估计，以最小化实际收敛时间与理论收敛时间上界之间的差距。其次，基于提出的 Lyapunov 不等式，为存在失稳脉冲效应和外部干扰的 BAMNN 设计了滑模控制器。研究表明，在所提出的滑模面设计下，状态轨迹在固定时间或预定义时间内到达滑模面，并在之后保持在其上。因此，系统状态在固定时间或预定义时间内收敛到平衡点。最后，给出了三个例子，包括轴对称航天器系统的稳定化和一个 BAMNN 系统，以数值验证提出的理论结果。

引言

受生物神经系统结构和功能机制的启发，人工神经网络 (NNs) 已成为现代计算科学中最重要的框架之一。由于其强大的非线性逼近能力和自适应学习特性，NNs 已被广泛应用于众多应用领域，如模式识别 [1]、联想记忆 [2]、控制和优化问题 [3]。最近，它们的应用范围进一步扩大到集成网络 [4]、未知环境中的自主导航 [5]、交通流预测 [6] 和深度感知 [7] 等领域。此类应用依赖于 NNs 的动态特性，如稳定性、一致性和同步性。鉴于其重要性，大量研究工作致力于不同神经网络模型的稳定性分析，包括 Cohen-Grossberg 神经网络 [8]、递归神经网络 [9] 和双向联想记忆 (BAM) 神经网络 [10]。在这些模型中，BAM 神经网络 (BAMNN) 自 1987 年由 Kosko 引入以来 [11]，因其在科学和工程领域的广泛适用性（包括模式识别、并行计算和联想记忆）而引起了显著关注。一个 BAMNN 由两个不同的层组成，称为 Z 层和 W 层。每层中的神经元与相反层中的神经元完全互联，而同层神经元之间没有连接。

有限时间稳定性 (FTS) 的概念近年来因其快速收敛速度和强抗扰能力而引起了广泛关注。与渐近稳定性或指数稳定性不同（后者仅当时间趋于无穷大时才收敛），FTS 确保系统状态在有限时间内收敛到原点。这些特性使得 FTS 在对快速响应和高精度有要求的工程应用中具有特别的价值。Bhat 和 Bernstein [12]、Haimo [13] 和 Roxin [14] 为连续自治系统的 FTS 做出了早期的基础性贡献。在这些开创性工作之后，FTS 理论已在机器人控制 [15], [16]、安全通信 [17]、电力系统 [18] 和神经网络 [19] 等领域得到广泛探索。此外，FTS 在医疗设备、化学过程控制、航空航天工程和先进空间系统中也找到了重要应用，在这些领域中，在有限时间内实现向平衡点的精确收敛通常比渐近接近平衡点的小邻域更为理想。尽管有其优势，FTS 的一个关键限制是收敛时间 (ST) 通常依赖于初始条件，而初始条件在实践中可能是不确定的或难以估计的。为了克服这一限制，Polyakov 在 [20] 中提出了固定时间稳定性 (FXTS) 的概念。在 FXTS 中，ST 界不依赖于初始值，而仅依赖于系统参数。这一概念激发了广泛的研究，并推动了非线性系统控制设计中的许多重大发展 [21], [22], [23], [24]。然而，虽然收敛时间是均匀有界的，但通常无法预先显式指定。在许多实际情况下，如导弹制导 [25]、机器人系统 [26] 和航天器姿态控制 [27]，根据任务要求预先指定收敛时间是理想的。为了满足这一需求，Sánchez-Torres 等人在 [28] 中引入了预定义时间稳定性 (PDTS) 的概念。该框架允许用户通过适当选择设计参数来先验地指定 ST 界。自引入以来，PDTS 获得了越来越多的关注，文献中报告了大量探索其理论发展和实际应用的结果 [29], [30], [31]。

脉冲系统代表一类混合动力系统，由两个组件组成：连续时间子系统和离散时间子系统。连续部分支配系统状态的平滑演化，而离散部分则考虑特定时刻发生的瞬时状态跳变。根据脉冲强度的大小，脉冲可表现为控制输入或干扰。一般来说，脉冲分为稳定脉冲 (|ρ| < 1) 和失稳脉冲 (|ρ| > 1)。稳定脉冲对系统稳定性起积极作用，而失稳脉冲可能会降低性能甚至破坏稳定性。由于其实际意义，脉冲系统已在众多领域得到研究，包括多智能体系统 [32]、神经网络 [33] 和复杂系统 [34]。大量的研究贡献解决了在稳定脉冲下脉冲系统的 FTS/FXTS/PDTS 问题（见 [33], [34], [35], [36] 及其中的参考文献）。此外，几项工作研究了在稳定脉冲和失稳脉冲下脉冲系统的稳定性 [23], [24], [37]。例如，[37] 通过为稳定脉冲和失稳脉冲使用特定类别的脉冲序列，建立了脉冲系统 FTS 的充分条件，而 Jamal 等人 [23] 利用平均脉冲间隔为受稳定脉冲和失稳脉冲作用的脉冲系统开发了基于 Lyapunov 的 FXTS 准则。最近，Wei 等人 [31] 通过结合混合脉冲策略和驻留时间约束，提出了具有较少保守收敛时间界的 PDTS 条件，而 Mapui 等人 [24] 基于用于稳定和失稳效应的结构化脉冲序列推导出了 FXTS/PDTS 结果。然而，据我们所知，在单一框架中考虑稳定脉冲和失稳脉冲的脉冲系统的 FXTS 和 PDTS 问题，以及减少真实收敛时间与收敛时间上界之间差距的问题，仍未得到充分探索，值得进一步研究。

滑模控制 (SMC) [38], [39], [40], [41]、比例 - 积分 - 微分 (PID) 控制 [42] 以及模型预测控制 (MPC) 和 H∞ 控制 [42] 等现代控制方法已被证明在分析和控制各种动力系统方面非常有效。在这些方法中，由 Utkin 于 1977 年提出的 SMC [39] 由于其对有界外部干扰的强韧性及其实施的相对简单性，已成为最重要的鲁棒控制技术之一。SMC 设计通常涉及两个阶段：首先，驱动系统轨迹到预定义的滑模面；其次，通过不连续控制保持在该面上的运动。一旦轨迹到达滑模面，状态变量就沿着面动力学向平衡点演化。在较早的研究中，传统 SMC 仅确保系统状态渐近收敛到滑模面。为了实现状态变量的有限时间收敛，Zak [43] 在滑模面设计中引入了分数项。随后，Venkataraman 和 Gulati [44] 提出了终端滑模 (TSM) 控制。TSM 策略通常分为有限时间滑模 (FTSM) 控制和固定时间滑模 (FXTSM) 控制。在 FTSM 中，收敛时间依赖于初始条件，但在 FXTSM 中，收敛时间上界不依赖于初始状态，如 Cruz-Zavala 等人 [45] 所述。此后，该领域取得了许多重大发展 [46], [47], [48], [49]。最近，一些研究人员为刚体机械手提出了非奇异 FTSM 控制器 [46]，而另一些人研究了存在不匹配干扰下的 FTSM 设计 [47]。此外，FXTSM 已被设计用于二阶系统 [48] 和受干扰及参数不确定性影响的欧拉 - 拉格朗日系统 [49]。尽管取得了这些进展，当系统状态因脉冲效应（特别是脉冲干扰）而经历不连续跳变时，经典 SMC 框架变得不足。这种不连续性可能导致包括不稳定和振荡在内的复杂行为。为应对这些挑战，几位研究人员将 SMC 技术扩展到脉冲系统，确保状态轨迹在有限时间内到达滑模面，并在存在脉冲效应的情况下保持在其上 [50], [51], [52], [53]。此外，Li 等人 [50] 利用平均脉冲间隔研究了具有匹配干扰的线性脉冲系统的指数稳定性，而 Chen 等人 [51] 采用了矩阵不等式方法和切换增益策略。进一步地，Hua 等人 [52] 为具有连续和脉冲干扰的递归神经网络设计了基于 SMC 的控制器，He 等人 [53] 为存在连续和脉冲干扰的二阶系统开发了 FTSM 控制。然而，据作者所知，现有文献中尚未充分解决具有脉冲和连续干扰的非线性系统的 FXTSM 和预定义时间滑模 (PDTSM) 控制设计。

基于上述讨论，作者观察到许多现有的关于 FXTS/PDTS 的工作，如 [23], [24], [31], [54]，涉及包含大量参数的 Lyapunov 不等式，且这些参数之间没有明确的依赖关系。因此，这些参数是任意选择的，这可能限制了所提出方法的实际适用性。对于这种情况，系统状态的实际收敛时间显著小于理论上限，导致保守的结果。为了解决这一限制，通过引入一个新参数 c 来修改 Lyapunov 不等式，用于 FXTS，给定由 `?(z(t)) ≤ aW(z(t)) ? b(W(z(t)))^γ + sign(W(z(t)) ? c), t ≠ sl` 且 `W(z(sl)) ≤ ρW(z(sl?)), t = sl`，其中 `a ∈ R, b, c, ρ` 是某些正常数，`1 ≤ γ < 2`，且 `a < min{?lnρτb, bcγ?2, bcγ}`。这里，`{sl}l∈N` 表示脉冲时间序列。这一公式建立了设计参数之间的关系，导致了较少保守的稳定性条件。因此，它能够实现不确定系统更有效的 FXTS/PDTS 结果。此外，提出的框架促进了具有改进实际性能的 FXTSM/PDTSM 控制器的设计。

本工作的贡献总结如下：

1. 开发了一种新的基于 Lyapunov 的脉冲系统 FXTS/PDTS 充分条件，其中涉及的参数更少，且获得了更小的 ST 界。此外，基于最优值理论，推导出了参数 c 的最优条件，以实现 ST 估计的优化上界。表明参数 c 依赖于连续系统的其他参数。
2. 与现有文章 [23], [24], [33], [34], [36], [54] 不同，其中实际收敛时间与理论 ST 之间的差距仍然相对较大，提出的 c 的最优选择与 c=1 的情况相比显著减少了这一差异。与文章 [23], [33], [36], [54] 相比，本工作提供了准确的 ST 估计，并减少了真实收敛时间与理论上界之间的差距。
3. 基于提出的用于 FXTS/PDTS 的 Lyapunov 不等式，为存在有界干扰的 BAMNN 设计了非奇异 FXTSM/PDTSM 面及相应的控制器。与先前的研究 [55], [56] 不同，提出的方法将脉冲效应纳入滑模面，由于控制在离散点激活，从而减少了控制工作量。
4. 讨论了三个数值仿真以验证提出的 Lyapunov 不等式。其中一个例子是轴对称航天器的稳定化。开发了一种由连续控制器和脉冲控制器组成的混合控制策略，以实现 FXTS/PDTS，并对 ST 界进行优化估计。

本文的结构如下。第 2 节定义了预备知识，如对本文重要的引理、定义和模型描述。在第 3 节中，研究了脉冲系统 FXTS 和 PDTS 的基于 Lyapunov 的充分条件。它还提供了固定时间和预定义时间内 BAMNN 的滑模面及相应的控制器。第 4 节讨论了所提出理论结果的数值仿真。

最后，第 5 节总结了本文并概述了未来工作的重点。

符号说明：在本文中，$\mathbb{R}$ 表示实数集，$\mathbb{R}^+$ 表示非负实数集，$\mathbb{R}^n$ 表示 n 维实数集，$\mathbb{N}$ 表示正整数集。$\text{sign}(x)$ 表示符号函数，其中 $x \in \mathbb{R}$。

章节片段

预备知识与模型描述

考虑定义如下形式的带有脉冲的双向联想记忆神经网络 (BAMNN)：
{
$\dot{z}_\nu(t) = -\alpha_\nu z_\nu(t) + \sum_{\ell=1}^{j_2} a_{\nu\ell} f_\ell(w_\ell(t)) + \Phi_\nu(t) + u_\nu(t), \quad t \neq s_l, t \in \mathbb{R}^+$,
$\dot{w}_\ell(t) = -\beta_\ell w_\ell(t) + \sum_{\nu=1}^{j_1} b_{\ell\nu} g_\nu(z_\nu(t)) + \Psi_\ell(t) + v_\ell(t), \quad t \neq s_l, t \in \mathbb{R}^+$,
$z_\nu(s_l) = \xi z_\nu(s_l^-), \quad l \in \mathbb{N}$,
$w_\ell(s_l) = \eta w_\ell(s_l^-), \quad l \in \mathbb{N}$,
}
其中 $\nu=1,2,\dots,j_1$ 和 $\ell=1,2,\dots,j_2$ 分别是 Z 层和 W 层中的神经元数量；$z_\nu(t)$ 和 $w_\ell(t)$ 表示神经元状态；$\alpha_\nu > 0$ 和 $\beta_\ell > 0$ 表示神经元自抑制率；$f_\ell(\cdot)$ 和 $g_\nu(\cdot)$ 表示 Z 层中第 $\ell$ 个神经元的激活函数。

主要结果

本节建立了关于脉冲系统 FXTS/PDTS 的理论结果。为 FXTS/PDTS 开发了新类型的 Lyapunov 不等式，与现有的 Lyapunov 不等式相比，涉及的参数数量更少。基于最优值理论估计了优化的稳定时间 (ST) 界，与文献 [23], [33], [34], [36], [54], [57], [58], [59] 中的现有结果相比，给出了更不保守的 ST 界。此外，基于所提出的 Lyapunov 不等式，

应用与数值仿真

本节提供了三个数值例子来验证前一节中开发的稳定性结果。此外，还提供了比较讨论，以证明所提出结果相对于现有结果的优势和改进性能。

例 1

本例考虑轴对称航天器的自旋稳定问题 [62], [63]。由欧拉方程控制的旋转动力学可表示为
{
$N_0 \dot{w}_0 = 0$,
$N_1 \dot{w}_1 = (N_2 - N_0)w_2 w_0 + P_1 + \Delta_1$,
$N_2 \dot{w}_2 = (N_0 - N_1)w_0 w_1 + P_2 + \Delta_2$,
}
其中 $w_i \in$

结论

在本研究中，我们开发了脉冲系统 FXTS 和 PDTS 的充分条件，并利用 FXTSM/PDTSM 控制将所提出的理论结果应用于存在扰动的 BAMNN。首先，推导了同时考虑稳定和不稳定脉冲的脉冲系统 FXTS 和 PDTS 的基于 Lyapunov 的条件，并获得了优化的稳定时间界。通过采用最优值理论，得出了关于参数 c 的最优条件，该条件取决于

CRediT 作者贡献声明

Md Arzoo Jamal：撰写 – 初稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，形式分析，概念化。Dipak Kumar Giri：撰写 – 审阅与编辑，指导，方法论。

竞争利益声明

作者声明，他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

Md Arzoo Jamal | Dipak Kumar Giri
印度理工学院坎普尔分校航空航天工程系，印度