一种基于双向混合抽样引导的新型分层重要性抽样方法，用于高效失效概率函数估计

《Engineering Structures》：A novel hierarchical importance sampling method guided by bidirectional hybrid sampling for efficient failure probability function estimation

　　

摘要失效概率函数（FPF）将关注设计区域内的随机输入分布参数映射到结构失效概率，对于基于可靠性的设计优化至关重要。然而，现有的 FPF 估计方法在高维稀有事件场景下存在计算效率有限和精度降低的问题。为解决这些问题，本文提出了一种由双向混合采样指导的分层重要性采样方法，该方法建立在环形 - 径向 von Mises-Fisher-Nakagami (CR-vMFN) 混合密度模型之上。在提出的方法中，首先将随机输入空间与分布参数向量增广，并建立一个增广标准正态空间以消除量级和维度效应。其次，采用分层策略来降低逐步构建 CR-vMFN 混合密度模型的计算复杂度，全面最小化 FPF 估计的方差。最后，带有自适应径向基函数神经网络实现的逆变换实现了高效的 FPF 估计。通过创新地设计增广标准正态变换及其逆变换，并整合适用于高维稀有失效场景下标准正态空间的 CR-vMFN 混合密度模型的方差缩减能力，所提方法在保持精度的同时，实现了优于现有方法的计算效率，这一点已通过四个算例得到验证。

引言在工程设计中，几何模型误差、材料参数波动、载荷变化、边界条件模糊性以及结构系统中的固有物理不确定性[[1], [2], [3]]共同构成了一个复杂且显著的不确定性环境。这些不确定性凸显了传统确定性优化在满足现代工程对高精度和高可靠性双重需求方面的局限性，从而促使范式向基于可靠性的设计优化（RBDO）转变，后者明确包含了不确定性分析[[4], [5], [6]]。RBDO 在最优参数搜索过程中本质上涉及嵌套的可靠性约束分析，导致不可避免地高计算复杂度。为解决这一问题，研究人员提出了失效概率函数（FPF），它将关注设计区域内失效概率相对于随机输入分布参数的变化进行映射 [7]。如果在优化前获得完整的 FPF 信息，它不仅提供了对随机输入分布参数如何影响失效概率的更深刻理解，而且能够将双循环 RBDO 框架解耦为单循环确定性框架 [8]。这种转换可以显著降低 RBDO 的计算复杂度和成本。

对于实际工程问题，性能函数通常是隐式的，这使得在解析上难以推导其显式形式。现有的 FPF 估计方法主要分为双循环法和单循环法。双循环方法首先使用各种评估技术（如近似解析方法 [9,10]、数值模拟方法 [11,12] 或代理建模方法 [[13], [14], [15]]）评估分布参数向量离散实现下的失效概率。然后，使用预定义的插值模型 [16,17] 对这些离散结果进行积分以获得完整的 FPF。尽管概念上简单直接，但对于隐式性能函数，双循环方法在计算上变得难以承受，尤其是那些涉及昂贵的有限元分析模型或计算流体力学模型的情况。

为了消除 FPF 分析中计算成本对离散分布参数实现数量的依赖，Au [18] 提出了一种基于增广可靠性的单循环方法。在该方法中，任意分布参数实现下的失效概率可以通过一次增广可靠性分析获得。然而，该方法需要计算密集的概率密度函数（PDF）估计。现有的 PDF 估计器，包括直方图 [18]、核密度 [19]、最大熵 [20] 和基于支持向量机 [21] 的估计方法，在高维问题中往往效率下降且精度降低。为了拓宽单循环方法的适用性，已开发出各种改进方案，包括加权采样策略 [8,22]、自适应空间划分策略 [23]、微分近似策略 [24]、辅助密度构建 [25]、链式分解策略 [26]、等价积分变换 [[27], [28], [29]]、样本再生技术 [30]、统一重要性采样密度（ISD）构建 [31,32]、结合逆近似策略的自适应分层采样策略 [33]、概率再分析策略 [34]。

然而，在实际工程场景中，现有的 FPF 估计单循环方法在高维输入和稀有失效事件的双重挑战下，在计算效率和精度方面仍遇到巨大瓶颈。为解决这些问题，基于双向混合采样模型提出了一种分层重要性采样（IS）方法。双向混合采样由两个正交分量定义，即由单位超球面上的 von Mises-Fisher 分布定义的环形分量，以及由 Nakagami 分布定义的径向分量。采用双向混合采样模型的原因是，该模型确定其涉及参数具有相对较低的计算复杂度，这些参数随维度线性增长。为了确保对关注设计区域的充分覆盖并全面减少 FPF 估计的方差，采用用于估计期望 FPF 的最优 ISD [33] 来解耦 FPF 估计的双循环分析框架。然后将随机输入空间与分布参数向量增广，并转换为增广标准正态空间，消除量级和维度效应。在该空间中，采用自适应学习策略构建径向基函数神经网络（RBFNN）。ISD 被逐步逼近，相应的重样本在两个连续阶段中分层提取。在第一阶段，基于 RBFNN 构建准 ISD，迭代更新直至收敛。为降低探索稀有失效域的计算复杂度，逐步构建环形 - 径向 von Mises-Fisher-Nakagami (CR-vMFN) 混合密度模型 [35]。因此，与高维输入空间和依赖于维度的计算负担相关的挑战得到有效解决。在第二阶段，进一步更新 RBFNN 以将第一阶段的重样本分类为失效或安全状态。然后通过逆变换将这些重样本映射回原始输入空间。最后，采用高斯混合密度模型（GMDM）逆向重构 ISD，实现高效准确的 FPF 估计。通过逐步逼近 ISD 并通过 CR-vMFN 混合密度模型提取重样本，所提方法高效地处理了低维和高维问题。此外，RBFNN [14,36] 通过强大的非线性近似能力、快速收敛以及对高维空间的适应性，提高了 FPF 估计的效率。

所提方法的主要贡献包括四个方面。
(1) 本文提出的方法基于用于估计期望 FPF 的推导最优 ISD。由于推导出的 ISD 独立于分布参数向量，它可以避免直接的双循环分析框架，并全面减少分布参数向量整个关注设计区域内 FPF 估计的方差。
(2) 所提方法将增广随机输入空间转换为增广标准正态空间，通过消除变量量级和维度对使用 CR-vMFN 混合密度模型逐步逼近 ISD 的影响，增强了数值鲁棒性。
(3) 通过结合 RBFNN 与 CR-vMFN 混合密度模型建立了一个自适应框架。在该框架中，由于 CR-vMFN 混合密度模型确定其涉及参数具有相对较低的计算复杂度，且这些参数随维度线性增长，因此采用它来减轻逐步逼近和采样 ISD 的计算负担。同时，RBFNN 经过自适应训练，以减少 CR 双向混合采样和样本状态识别中的性能函数评估。
(4) 基于增广标准正态空间中收敛的 CR-vMFN 混合密度模型的 ISD 样本，逆向重构 GMDM 以估计最终 FPF。通过这种用于估计 FPF 的逆向重构，增广标准正态空间中 CR-vMFN 混合密度模型的高效性与原始增广随机输入空间中 GMDM 的便利性可以无缝连接。

本文其余部分结构如下。第 2 节简要概述了三个组成部分，包括 FPF 的定义、用于 FPF 估计的单循环 IS 策略以及 RBFNN 的原理。第 3 节概述了所提方法的核心原理。第 4 节通过四个算例验证了所提方法的效率和精度。第 5 节总结了本文。

章节片段
FPF 的定义
设结构的性能函数为 g(X)，具有 nx 维随机输入向量 X=[X1,X2,…,Xnx]T。假设 X 的 nθ 维分布参数向量 θ=[θ1,θ2,…,θnθ]T 在关注设计区域 Ωθ=[θL,θU] 内变化，其中 θL 和 θU 分别表示 θ 的下界和上界。设 θ 给定实现下 X 的 PDF 为 fX(x|θ)，则 FPF Pf(θ) 可表示如下，
Pf(θ)=∫FxfX(x|θ)dx=∫xIFx(x)fX(x|θ)dx
其中 IFx(x) 表示指示函数

基本原理
将 nx 维随机输入 X 及其 nθ 维分布参数 θ 映射到由独立标准正态变量组成的空间 U 中，可以消除量级和维度效应，并增强数值模拟稳定性。基于增广标准正态变换 Tx→ux(ux,θ) 和 Tθ→uθ(uθ) [39]，随机输入向量 X 及其分布参数向量 θ 分别转换为 nx 维标准正态向量 ux

算例分析
在本节中，通过四个不同的算例验证了所提方法的精度和效率，其中由 DLMCS 获得的 FPF 结果作为参考解。表 1 列出了六种比较方法及相应的缩写。所列方法是在不同的 IS 框架下构建的。对于给定方法（例如 SL-WIS、SL-CE-IS 或所提 H-IS），算法程序、理论基础和参数设置保持相同。

结论为解决在高维输入和稀有失效场景下高效且稳健地估计失效概率函数的问题，本文创新地提出了一种由双向混合采样模型指导的分层重要性采样方法，该方法建立在环形 - 径向 von Mises-Fisher-Nakagami (CR-vMFN) 混合密度模型之上。所提方法逐步逼近推导出的重要性采样密度并通过 CR-vMFN 提取其样本

CRediT 作者贡献声明
陈奕舟：概念化，数据整理，形式分析，软件，可视化，写作 – 初稿，写作 – 审查 & 编辑。陆振宙：概念化，形式分析，资金获取，项目管理，资源，监督，写作 – 初稿，写作 – 审查 & 编辑。张海鹏：数据整理，软件，可视化。郭逸帆：软件，监督，可视化。

利益冲突声明
我们声明，我们与其他人或组织没有可能不当影响我们工作的财务和个人关系，我们没有任何产品、服务和/或公司的任何性质或种类的职业或其他个人利益，这些利益可被解释为影响题为“一种由双向混合采样指导的用于高效失效概率函数的新型分层重要性采样方法”的手稿中提出的立场或对手稿的审查。

致谢
本工作得到了国家自然科学基金（批准号：NSFC 12272300, 12572141）和西北工业大学 1-0 专项博士生创新基金（批准号：ZX2026001）的支持。

陈奕舟 | 陆振宙 | 张海鹏 | 郭逸帆
西北工业大学航空学院，清洁高效透平动力装备国家重点实验室，陕西西安，710072，中国