一种基于节点运动学重建用于混合维耦合的拓扑无关嵌入式单元方法

《Finite Elements in Analysis and Design》：A topology-agnostic embedded element method for mixed-dimensional coupling via node-based kinematic reconstruction

　　

•基于节点的 LWLS 方法提供了完全的混合维运动耦合。
•恢复旋转自由度克服了传统 EEM 的结构软化问题。
•与拓扑无关的采样消除了严格的网格对齐要求。
•半定量相图明确界定了操作边界。

引言

在纤维增强复合材料结构的中尺度计算建模中，准确捕捉由复杂纤维结构引起的局部应力分布对于预测损伤起始和渐进失效至关重要 [1], [2], [3], [4]。然而，为这些复杂空间几何生成高保真且协调的有限元 (FE) 网格会带来巨大的预处理负担，并经常导致严重的单元畸变 [5], [6], [7]。

为了规避这些网格划分挑战，非协调网格技术提供了一种可行的替代方案。诸如浸没边界法 (IBM) [8], [9]、嵌入域和虚拟域计算 [10] 以及切割有限元法 (CutFEM) [11], [12] 等方法，本质上将背景离散化与内部结构边界解耦。在这些方法中，界面连续性通常通过罚函数 [13], [14] 或 Nitsche 法 [15], [16], [17] 以弱形式进行强制。然而，这些边界处理往往需要局部自适应网格细化或复杂的子单元积分来保持精度。

除了界面处理技术外，将独立离散化的增强网格直接叠加到背景连续体中，提供了一种有效的多尺度耦合方法。为了强制这种非协调相互作用，开发了各种先进的耦合策略。例如，变分一致性耦合和嵌入不连续模型确保了界面条件，但通常需要修改子单元求积以消除非物理表面锁定 [18], [19]。基于能量的方法强制协调性，但为了代数稳定性施加了网格密度限制 [20]。此外，解析旋转运动学需要丰富化的 Cosserat 微极连续体 [21]。

与这些数学侵入式方法相比，传统嵌入式单元法 (EEM) 提供了一种高效的替代方案 [22], [23]。EEM 利用局部插值函数将嵌入节点 自由度 (DOFs) 约束到宿主单元，从而保持背景网格不变。因此，它在大规模分析中表现出高计算效率 [24], [25]。尽管传统 EEM 广泛用于同维 (固体 - 固体) 耦合，但在混合维构型 (梁 - 固体 或 壳 - 固体) 中会出现运动学不一致 [26]。例如，一维梁用于离散纱线建模 [27], [28], [29]，而二维壳代表薄层增强 [30]。标准的三维连续体宿主单元仅提供平动自由度。然而，约束嵌入壳或梁需要一个包含平动和旋转的广义状态向量，以传递弯矩并强制曲率连续性。这种旋转耦合的缺乏仍然是商业有限元软件的局限性，在 Abaqus 的情况下，其文档中明确承认了这一点 [31]。

在传统 EEM 实现中，缺乏梯度依赖耦合项导致嵌入壳或梁的旋转自由度不受约束。这使得非协调界面退化为离散的销接“球关节”连接，导致对弯曲和横向剪切模式下的结构刚度估计不足。因此，混合维嵌入模型现有的应用主要限于预测面内性能，正如在不连续复合材料 [32]、3D 编织结构 [33] 和连续打印碳纤维 [34] 的研究中所见。在我们之前的工作 [35] 中，我们明确量化了这种结构软化机制，并提出了一种从宿主单元边缘的局部刚体运动学推导出的运动学修正方法。虽然这种基于边缘的方法恢复了弯曲保真度，但它需要特定的几何分区和单元边缘对齐。因此，需要一种广义的、与拓扑无关的运动耦合方法。

在计算结构力学中，空间梯度重建提供了一种稳健的方法来恢复缺失的旋转运动学。与关注对称应变张量的传统应力恢复技术不同：$\varepsilon=\frac{1}{2}(\nabla u+(\nabla u)^T)$，实现嵌入元素的完全 6-DOF 运动学协调需要恢复完整空间位移梯度 $\nabla u$。完整梯度包含对称应变张量和斜对称自旋张量 $\Omega$，后者定义刚体旋转向量 $\theta$：$\theta=\frac{1}{2}\nabla\times u \longleftrightarrow \Omega=\frac{1}{2}(\nabla u-(\nabla u)^T)$。

此外，在弯曲主导的结构中传递曲率需要恢复位移场的二阶空间导数 ($\nabla^2 u$)。

在有限元梯度恢复的背景下，Zienkiewicz 和 Zhu 的超收敛补丁恢复 (SPR) 方法 [36], [37], [38] 是一种标准技术。通过利用高斯点处空间梯度的超收敛性，SPR 方法使用最小二乘拟合构建高阶多项式补丁，从而产生准确的恢复场 [39]。

然而，将这些基于积分点的方法应用于大规模模型时，由于空间离散化揭示了实际局限性。这种局限性主要源于自动网格划分和计算效率的实际需求。为了减轻近乎不可压缩状态下的体积锁定并大幅减少计算开销，工业仿真主要采用标准的低阶或减缩积分三维连续体单元 [40]。这些单元的一个主要局限性是采样信息稀缺。如图 1 所示，这些单元通常仅具有单个体积积分点，导致分段常数的单元内梯度场，这本质上无法捕捉局部曲率。

为了补偿这种信息的缺乏，SPR 方法从跨越多个单元层的邻域构建采样补丁。这一要求引入了计算成本高昂且对非结构化网格连接性敏感的复杂图搜索过程 [36], [37]。此外，这种拓扑采样将数值涂抹体积与单元连接性绑定在一起。随着背景网格相对于增强厚度进行细化，补丁的物理体积会缩小。这导致当涂抹长度偏离几何标度律时出现刚度不足。

为了解决这些局限性，本文开发了一种与拓扑无关的、基于节点的局部加权最小二乘 (LWLS) 公式，用于壳 - 固体 EEM 模型中的完全运动耦合，如图 1 所示。其创新性在于通过基于距离定义的节点支撑域重建完整位移梯度和高阶导数，通过依赖于导数阶次的正则化稳定不规则采样邻域，并建立误差模型和相图以确定可行操作范围。本文的其余部分组织如下。

第 2 节详细介绍了所提出方法的数学公式。受无网格近似方法的启发，该方法使用动态缩放的支撑域直接从离散宿主节点位移场重建空间导数，从而克服了基于积分点数据的信息稀缺问题 (2.1 至 2.3 节)。为了确保非均匀或共面节点分布的代数可解性，同时严格保持刚体模态，动态分级 Tikhonov 正则化被纳入目标函数 (2.4 节)。第 3 节通过解析推导和数值基准系统地评估了 LWLS 方法的性能和稳健操作边界。在这一节中，建立了理论误差模型和相图来明确界定这些边界，表明参数空间由几何刚度不匹配、数学截断和代数病态之间的相互作用所控制。

章节片段

广义基于节点的运动重建方法

本节详细介绍了旨在直接从离散且与拓扑无关的节点位移场重建高阶运动信息的广义数值方法。所提出的基于节点的 LWLS 方法为传统 EEM 中耦合任意单元类型提供了运动学基础。特别是，它强制混合维模型的旋转和高阶变形协调。

数值验证

为了验证所提出的基于节点的 LWLS 方法，建立了一个多材料基准测试。该基准提供了一个受控的数值环境，以研究不同网格拓扑和单元维数下的基本运动耦合行为。所有数值实现和计算均在 MATLAB R2022a 中完成。

对正则化尺度的敏感性

使用二次重建 ($n=2$, $\alpha_2=1.75$, 和 $\beta=0.5$) 重新考虑了图 4 所示的壳 - 固体基准，其中宿主离散化分别为 Str-Hex8 和 Unstr-Tet10。无量纲正则化尺度 $\eta$ 从 $10^{-16}$ 变化到 $10^8$。

图 16 显示了一个广泛的中间范围，在此范围内宏观响应几乎保持不变，本研究采用的 $\eta=10^{-6}$ 值位于此稳定区间内。极弱的正则化会导致采样不佳的高阶模态...

结论

本文提出了一种与拓扑无关的、基于节点的 LWLS 方法，用于壳 - 固体嵌入中的完全运动耦合。该方法解决了传统壳 - 固体 EEM 公式的旋转耦合缺陷以及依赖于拓扑的梯度恢复方法的局限性。得出以下主要结论：

(1) 通过无网格球形采样策略重建完整位移梯度和高阶空间导数，LWLS 方法...

CRediT 作者贡献声明

Weijie Zhang：写作 - 审查与编辑，写作 - 初稿，可视化，软件，方法论，概念化。Yiding Li：软件，数据管理。Qianqian Kou：软件。Xi Zou：写作 - 审查与编辑，验证。Xueliang Xiao：资源。Ying Yan：监督。Shibo Yan：写作 - 审查与编辑，监督，研究，概念化。

竞争利益声明

作者声明，他们没有任何已知的竞争性财务利益或个人关系可能被认为影响了本文报告的工作。

致谢

这项工作部分由中国国家重点研发计划 (2023YFB2504600) 和北京航空航天大学通过 111 中心 (B18002) 资助。

Weijie Zhang|Yiding Li|Qianqian Kou|Xi Zou|Xueliang Xiao|Ying Yan|Shibo Yan