: 非线性多频电阻抗断层成像：一种展开优化方法

《Journal of Computational Physics》：Nonlinear multi-frequency electrical impedance tomography: An unfolded optimization approach

　　

多频电阻抗断层成像代表了一种极具前景的生物医学成像模态，它能够估算一系列频率下的组织电导率。为了应对这一挑战，研究人员提出了一种新颖的变分网络，这是一种基于模型的学习范式，它战略性地将经典迭代重建的优势与可解释性以及深度学习的强大能力相结合。该方法在迭代近端正则化高斯-牛顿框架中集成了图神经网络。通过展开PRGN算法，其中每次迭代对应一个网络层，研究人员利用了非线性模型拟合的物理洞察力以及GNN捕获频率间相关性的能力。值得注意的是，GNN架构保留了解决非线性正向模型时所使用的不规则三角网格结构，从而能够准确重建重叠的组织分数浓度。

电阻抗断层成像是一种非侵入性医学成像技术，通过放置在体表的电极注入低幅交流电并测量产生的电压，重建体内电阻抗分布的图像。这种阻抗分布反映了组织特性的变化。然而，从表面电压测量中重建内部阻抗是一个复杂的逆问题，它本质上是高度非线性的且严重不适定，这意味着它对建模不准确、测量噪声甚至电极放置的轻微误差极为敏感，且需要大量计算资源。多频电阻抗断层成像利用了生物组织依赖于频率的电学特性，其生物阻抗特性表现出与组织类型相关的频率依赖性变化，从而能够更有效地区分组织并检测微小的生物学变化。多频数据允许使用多测量向量方法，通过多任务优化在所有频率上同时进行重建，利用频率间相关性识别共享结构特征。相比之下，单测量向量方法将多频EIT重建分解为独立的单频问题，忽略了测量数据中的频率间相关性，且无法解释同一区域内的重叠电导率，只能重建非重叠的包含体。在组织工程应用，特别是细胞培养中成骨分化的研究中，微观尺度上钙和磷酸盐离子的沉积导致矿物沉积物的形成，从而宏观上改变组织的电导率特性。因此，研究人员采用分数模型范式，假设在每个感兴趣区域的点上共存几种基本组织类型，每种组织的相对浓度由空间依赖的分数表示。通过预先表征每种基本组织的频率依赖电导率谱，逆问题的范式发生转变，目标不再是恢复任意点的电导率值，而是重建每种组织类型的分数。该研究发表在《Journal of Computational Physics》上。

为解决上述逆问题，研究人员提出了一种分数近端正则化高斯-牛顿变分框架。该方法的核心创新在于将物理单位单纯形约束无缝集成到为多频问题的MMV特性量身定制的高斯-牛顿框架中。通过在算法的近端步骤中利用基于熵距离的非线性梯度下降法——熵镜像下降算法（EMDA），严格施加组织分数的非负性和和为一的约束。此外，研究人员引入了mf-Net，这是一种将FR-PRGN算法的迭代展开为可训练深度网络的混合框架，专门用于恢复整个频谱域内相互依赖的组织分数。在该框架中，通过图神经网络（GU-Net）实现去噪，并随后通过softmax层将网络输出投影到物理约束空间，保证估计分数满足物理约束。样本队列来源于包含重叠和非重叠圆形包含体的模拟数据集，背景为盐水溶液，内含胡萝卜、马铃薯和黄瓜组织，使用32电极圆形EIT传感器，参考频率ω₀为1kHz，并在M=2个频率下进行测量。此外，还使用了来自组织工程研究的真实测量电导率谱，涉及盐水溶液（PBS）、2%海藻酸盐和含120 mM钙的2%海藻酸盐。

Example 1 Fraction Reconstruction
研究人员在包含非重叠和重叠样本的测试数据集上，比较了FR-PRGN方法、mf-Net模型与现有迭代方法的分数重建性能。结果显示，所有方法都能大致捕获活动区域的总体形状和存在，但mf-Net取得了最佳结果，准确恢复了分数的形状和分布。mf-Net的关键优势在于能够消歧同一区域内的共存组织分数。mf-Net不仅在分数重建误差上显著低于其他方法，还优于变分FR-PRGN模型，避免了后者对多参数的精细调整，在计算效率上也显著优于变分方法。

Example 2 Conductivity reconstruction, MMV versus SMV
在此研究中，由于受限于SMV方法无法处理重叠包含体，研究人员仅在无重叠数据集上将mf-Net与即插即用（PnP）策略进行电导率重建对比。结果表明，mf-Net在重建电导率方面始终优于PnP方法，提供了更清晰的边界和更准确的结构表示，而PnP产生的重建结果模糊且准确性较差。在鲁棒性测试中，向电压测量中添加高斯白噪声后，mf-Net对噪声表现出显著更强的鲁棒性，这部分归因于其利用了频率依赖测量中的相关性，有效降低了噪声对重建结果的干扰。

Example 3 Numerical stability under noisy conditions
研究人员对模型在噪声条件下的数值稳定性进行了进一步实验，对比了在无噪声数据与含噪数据（δ=5×10^-3）上训练的mf-Net模型。在无噪声情况下，无噪声训练的模型实现了更低的误差，证实了在理想条件下的卓越准确性。随着噪声增加，两个模型均表现出相似的退化趋势。虽然含噪数据训练在低噪声水平下提供了轻微改善，但这种优势并不一致，无噪声训练模型在更高噪声水平下依然保持竞争力甚至表现更优。这表明所提出的展开架构在合理噪声水平下具有明显的数值稳定性和泛化能力。

Example 4 Spectral Profiles from Tissue Engineering (TE)
使用来自组织工程研究的真实测量电导率谱进行了测试，其中包含T=3种组织和M=2个频率，且电导率值部分重叠，增加了重建难度。尽管mf-Net模型最初是在特定电导率谱范围的模拟重叠数据集上训练的，面对复杂且真实的组织工程领域光谱分布，该模型通过非线性指数映射对齐数据后，仍成功泛化并准确重建了特定于组织工程研究的电导率和分数，展示了其出色的鲁棒性和适应性，验证了其在分布外数据上的泛化潜力。

Ablation studies
为了确定最佳网络架构，研究人员进行了消融研究，重点关注迭代块数量以及GU-Net架构的隐藏特征数和深度。研究表明，增加迭代块数量K的值通常能通过降低误差来提高模型性能，这表明展开的高斯-牛顿迭代需要足够的步骤来充分补偿mfEIT逆问题的不适定性。然而，在K=9之后出现的饱和现象表明模型达到了稳定的收敛点。对于GU-Net超参数，选择64个隐藏特征在表达能力和泛化之间提供了鲁棒的平衡，防止网络学习虚假噪声模式。将编码器深度从3+3增加到5+5层并未显著降低误差，这归因于数据集包含体形态相对简单。

Computational complexity and scalability analysis
研究人员分析了模型在不同网格分辨率、展开迭代次数和隐藏特征维度下的计算复杂度和可扩展性。可训练参数的数量随展开深度线性增加，但与网格分辨率无关，因为图卷积权重在所有网格节点上共享。训练阶段的内存复杂度与展开深度成线性关系，而推理内存开销几乎与展开深度无关。然而，物理GPU内存占用对空间维度N高度敏感，物理高斯-牛顿步骤的内存需求大约以O((TN)²)规模增长。这表明网格分辨率是内存消耗的主要驱动因素，在扩展到超精细网格时需要大容量内存硬件。

Conclusion
研究人员总结了所提出的mf-Net方法，该方法通过分数模型捕获复杂的频率内相关性和重叠包含体，提供了一种高效的近似最小化变分模型手段，并具有高度的结构可解释性。数值实验表明，将不适定问题的物理模型整合到学习阶段中，对于约束可接受的正则化解空间至关重要，这使得网络能够在样本数量有限的情况下高效学习重建任务，且在超过一定阈值后，其性能更多受模型设计而非数据集大小的影响。尽管结果颇具前景，但当前方法存在一定局限性：分数模型依赖于对组成组织精确电导率谱的先验知识，而实际临床或组织工程场景中光谱可能会有变化；且当前数值实现仅限于2D几何，这是对真实EIT测量的简化。未来，研究人员计划使用真实世界实验数据验证该方法，并将其扩展至3D多频EIT成像。