用于拉格朗日乘子法大时间步长全局约束及能量守恒模拟的一系列计算高效技术

《Journal of Computational Physics》：A series of computationally efficient techniques for large-time-step global constraints and energy preserving simulation of Lagrange multiplier approach

　　

摘要 本文介绍了一系列高效技术，用于修改 Cheng 等人 [Comput. Method Appl. Mech. Eng. 367 (2021): 113070] 中提出的拉格朗日乘子 (LM) 方法。提出了一种基本的零因子技术，将 LM 方法的计算成本降低到与半隐式格式几乎可比的水平，我们将其命名为 LMZF 方法。特别是，对于具有双井势非线性能量的梯度流，零因子技术进一步将拉格朗日乘子的计算从非线性牛顿迭代转化为求解一元二次方程，显著降低了计算复杂度。此外，提出了一种结合交错网格离散化的松弛技术，以增强辅助变量与非线性项之间的数值一致性，这不仅提高了精度，还扩大了非线性代数方程解存在性所允许的时间步长。此外，对于具有全局约束的梯度流，我们通过修改引入的拉格朗日乘子项来重建原始系统，以保持模型的等价性。特别是，对于诸如质量或体积守恒等全局约束，我们提出了解耦格式，避免了求解耦合非线性系统，将计算减少为仅两个线性方程和一个非线性代数方程。广泛的数值实验证明了所提出方法的效率、准确性和稳定性。

引言 [1] 中引入的新型拉格朗日乘子 (LM) 方法为构建具有能量约束的一类系统的高效时间离散化提供了一个强大且广泛采用的框架。由于其简单性、原始能量保持性质和广泛的适用性，它在众多领域引起了显著的兴趣，并已成功应用于各种问题的数值处理，包括一系列梯度流模型 [2], [3], [4], [5]、纳维 - 斯托克斯方程 [6], [7], [8]、非线性薛定谔方程 [9], [10], [11]、表面扩散 [12] 等。

在设计具有能量和其他全局约束的非线性系统的数值格式时，必须在离散层面满足能量稳定原理并保持物理约束，以防止出现非物理数值解。在本文中，我们主要以具有全局约束的梯度流为例，基于拉格朗日乘子方法构建高效算法。值得注意的是，后续提出的技术不仅限于梯度流，还可以自然地扩展到一般耗散系统、表面扩散和其他非线性问题。我们关注于形式为 [13], [14] 的总自由能的最小化：

E(?)=12(?,L?)+E1(?)=∫Ω12?(L?)+F(?)dx,

在全局约束下

ddtH(?)=0,

其中

H(?)=∫Ωh(?)dx.

我们令 μ=δEδ? 表示 E(?) 的变分导数，并以以下梯度流为例：

???t=?Gμ,μ=L?+F′(?),(x,t)∈Ω×[0,T],

带有周期边界条件或齐次诺伊曼边界条件 ???n|?Ω=?μ?n|?Ω=0，其中 n 表示 ?Ω 的外法线向量。其他类型的边界条件也适用。这里 G 是正算子，L 是对称非负线性算子，而 E1(?)=∫ΩF(?)dx 是非线性自由能。F(x) 是非线性能量密度函数。通过取能量的时间导数，我们可以获得以下耗散能量律：

dEdt=(δEδ?,???t)=?(Gμ,μ)≤0.

在文献中研究的多种不同格式中，条件 E(?n+1)≤E(?n) 被认为是离散原始能量耗散律。对应的数值格式主要针对无约束梯度流，主要涉及拉格朗日乘子格式 [1]、凸分裂格式 [15], [16]、一阶稳定化格式 [17], [18]、指数时间差分 (ETD) 龙格 - 库塔格式 [19], [20], [21], [22], [23], [24]、指数或无指数龙格 - 库塔格式 [25], [26], [27] 等。还存在许多其他高效的数值方法，虽然它们无法保证原始能量稳定性，但包含一些优点，如线性、无条件能量稳定（具有修改后的能量）以及易于获得收敛性分析。这些方法主要包括二阶稳定化方法 [28], [29], [30]、不变能量二次化 (IEQ) 方法 [31], [32], [33]、标量辅助变量 (SAV) 方法 [34], [35], [36] 等。对于具有全局约束的梯度流，如果我们只考虑上述方法而没有额外技术，很难获得全局约束和能量保持格式。Cheng 和 Shen [13] 引入了两个拉格朗日乘子，为具有全局约束的梯度流构建了一种新格式，同时保持原始能量耗散律和全局约束。Ju, Li 和 Qiao [37] 结合稳定化方法与 SAV 方法构建 Allen-Cahn 方程的数值格式，该格式同时保持能量耗散律和最大界原理。Wang, Kou 和 Cai [38] 考虑了一种稳定化能量分解方法，以获得完全相同的结构保持性质。Du, Liu 和 Yang [39] 提出了一种结构保持算法，通过结合半隐式投影和 SAV 格式来解决一类具有流形约束的梯度流问题。为了解决相场囊泡膜模型，[40] 中提出了一种多重 SAV 方法，通过引入两个辅助变量来处理强制体积和表面积约束的附加惩罚项。

在本文中，对于那些无约束梯度流，我们主要考虑拉格朗日乘子方法以确保无条件能量耗散律，并提出一系列优化技术以加速计算过程，降低计算复杂度，并扩大非线性代数方程解存在性所允许的时间步长。首先，我们将两个零因子引入具有拉格朗日乘子的重构系统中，并基于 Crank-Nicolson (CN) 公式构建了一种新的离散格式。该格式通过求解 ?n+1??n 而不是直接计算 ?n+1，成功将求解线性系统的计算成本减少了一步。值得一提的是，对于具有双井势非线性自由能的梯度流模型，零因子技术允许拉格朗日乘子的数值计算从非线性牛顿迭代转移到求解一元二次方程，这显然降低了计算成本。其次，考虑了结合交错网格离散化的松弛技术，以有效地惩罚辅助变量的数值解与其非线性项 F′(?) 的连续定义之间的一致性差异。所考虑的松弛技术灵感来自 [41]，该方法首先提出以提高 SAV 方法的准确性和一致性。据作者所知，此前没有关于此主题的文献发表或展示，因为在拉格朗日乘子格式中没有修改后的能量。我们引入辅助变量 q(x,t)=F′(?) 并在 ? 的交错网格上对其进行离散化以获得 qn+12，然后结合松弛技术，通过惩罚标量辅助变量数值近似之间的差异，使离散辅助变量更接近离散非线性项 F′(?n+12)。对于一类具有全局约束的梯度流，我们引入两个拉格朗日乘子，分别保持能量耗散律和全局约束，同时考虑上述技术以降低计算成本。需要注意的是，[13] 中考虑了一个引入的拉格朗日乘子来精确执行约束。然而，当此拉格朗日乘子不为零时，模型的等价性受到挑战。我们通过修改引入的拉格朗日乘子项来重建原始系统，以保持模型的等价性。特别是，对于以体积或质量守恒作为全局约束的梯度流模型，我们将计算复杂度从求解两个线性方程组加上两个非线性代数方程降低到仅求解一个线性方程和一个非线性代数方程。本文的主要贡献总结如下：
• 提出了一种零因子技术，在保持计算准确性和能量稳定性的同时，将传统拉格朗日乘子方法的计算成本减少了大约一半；
• 对于具有双井势非线性自由能的梯度流，新构建的格式将非线性代数方程的求解转化为求解一元二次方程的根；
• 提出了一种结合交错网格离散化的松弛技术，以提高拉格朗日乘子算法的准确性，并扩展非线性代数方程解存在性所允许的时间步长；
• 对于具有质量或体积守恒约束的梯度流，提出了一种解耦拉格朗日乘子格式，避免了求解耦合非线性代数方程组。

此外，所考虑的一系列技术可以自然地应用于一般耗散系统，如纳维 - 斯托克斯方程、非线性薛定谔方程和表面扩散等。

本文的其余部分组织如下。在第 2 节中，我们回顾了无约束和约束梯度流的基线 LM 方法。之后，对于无约束梯度流，我们在第 3 节中提出了一种零因子技术以提高计算效率，并提出了一种松弛技术以提高准确性并扩大非线性代数方程解存在性所允许的时间步长。然后在第 4 节中，我们将这些技术应用于约束梯度流的高效计算，并引入新的拉格朗日乘子以保持模型的等价性。对于具有质量或体积守恒的问题，我们利用约束结构来解耦拉格朗日乘子，从而进一步简化计算成本。在第 5 节中进行了几个数值实验来验证我们的理论结果。

节选
拉格朗日乘子方法对梯度流的简要回顾
在本节中，我们简要回顾了 [1] 中考虑用于梯度流模型 (3) 的新型拉格朗日乘子方法，以便更好地介绍我们新提出的方法。

提高梯度流 (5) 计算效率的几种技术
在本节中，我们将考虑 [1] 中考虑用于梯度流 (5) 的所提出拉格朗日乘子方法的几种技术，以提高计算效率且不影响收敛率。

提高梯度流 (10) 计算效率的几种技术
在本节中，为了保持模型的等价性和全局约束，我们首先通过修改引入的拉格朗日乘子项 ?λ(t)δHδ? 来重建系统 (10)。其次，我们试图降低计算成本，以增强所提出格式 (11) 的效率（该格式带有两个拉格朗日乘子），同时在梯度流 (10) 中保持其准确性、能量保持性质和全局约束。此外，如果全局约束是质量或体积守恒，我们发现...

示例与讨论
在本节中，我们考虑了大量的数值示例，通过与原始 LM 格式的比较来说明所提出方案的高效性。我们将它们应用于几个经典的梯度流模型，包括艾伦 - 卡恩方程、Cahn-Hilliard 方程和 Cahn-Morral 方程。在所有考虑的示例中，我们考虑周期边界条件，并使用有限差分或傅里叶伽辽金方法进行空间离散化。所有算法都在 MAC 上的 MATLAB 中运行

结论
在本文中，我们考虑了几种新的高效方法来修改最近为耗散系统开发的拉格朗日乘子方法 [1]。新提出的算法增强了传统拉格朗日乘子格式的计算效率和解存在性的时间步长规模。同时，新格式保持了原始能量耗散和全局约束保持性质的优势。一系列的数值实验...

CRediT 作者贡献声明
张康平：写作 - 初稿，验证，软件，调查，数据管理。
刘正光：写作 - 审查与编辑，可视化，验证，监督，资源，项目管理，方法论，调查，资金获取，形式分析，数据管理，概念化。

竞争利益声明
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系，可能会影响本报告中的工作。

张康平 | 刘正光