通过群对称化的多凸各向异性超弹性

《Journal of the Mechanics and Physics of Solids》：Polyconvex anisotropic hyperelasticity via group symmetrization

　　

材料理论中的一个关键挑战是构建满足所有常见力学本构条件同时保持足够灵活性的模型。在此背景下，多凸各向异性超弹性的几个重要建模方面仍未解决。研究人员解决了其中一些挑战，并将研究结果应用于物理增强神经网络 (PANN) 本构建模。本文的主要贡献如下：(1) 研究人员提出了一种基于三斜不变量和群对称化的多凸各向异性超弹性新本构建模框架，并将其应用于 PANN 模型。对于有限对称群，该 PANN 模型先验地满足所有常见力学本构条件。(2) 研究人员提出了一种新的基于群对称化的方法，用于为有限对称群构建多凸不变量。基于此，研究人员推导了四方对称群的新完整性基和立方对称群的新函数基。据研究人员所知，这是首次为需要高于二阶的结构张量表征的对称群建立多凸完整性基或函数基。(3) 研究人员使用立方超材料的强非线性均匀化数据对不同多凸 PANN 本构模型进行了基准测试。(4) 研究人员介绍了多凸不变量、完整性基和函数基的构建，并回顾了已有的多凸基以及新推导的基。

在连续介质固体力学中，本构模型需满足热力学一致性、客观性、材料对称性及多凸性（polyconvexity）等条件，以确保稳定性与泛化能力。然而，多凸各向异性超弹性建模面临关键挑战：对于需高于二阶结构张量（structural tensors）表征的对称群（如四方群D₄和立方群O），缺乏多凸完整性基（integrity basis）或函数基（functional basis）；现有物理增强神经网络（PANN）模型虽灵活，但常无法同时满足所有本构条件。为此，研究人员提出基于三斜不变量（triclinic invariants）和群对称化（group symmetrization）的新框架，推导了四方群D₄的多凸完整性基与立方群O的多凸函数基，并应用于PANN模型。通过立方超材料均质化数据基准测试，新框架的PANN模型（PANN-C）在稀疏数据下保持椭圆性（ellipticity），优于基于结构张量不变量的PANN模型（PANN-I）。论文发表于《Journal of the Mechanics and Physics of Solids》。

主要技术方法包括：（1）群对称化操作，用于构造多凸不变量并精确满足有限对称群的材料对称性；（2）输入凸神经网络（ICNN）和凸-单调神经网络（CMNN），构建满足凸性与单调性的势函数；（3）基于三斜不变量（14个，含C、G、J）的完整性基；（4）基于结构张量的不变量方法作为对比。数据来源：BCC晶格超材料数据来自Fernández et al. (2021)的数值均质化，SPH（球形夹杂）复合材料数据来自Kalina et al. (2025)的数值均质化，均包含有限变形下的应力-应变数据。

研究结果保留如下小标题：

**3.1 Group symmetrization**：通过定理3.1证明，对于有限对称群G?O(3)，函数f(C)=1/|G|∑_Q∈Gf?(c?(Q★C))（其中f?为多凸函数）提供多凸且客观的函数，并先验满足材料对称性。

**3.2 Polyconvex constitutive modeling for finite symmetry groups based on triclinic invariants and group symmetrization**：提出基于14个三斜不变量（I^tri）和群对称化的新框架，势函数ψ(?C)=1/|G|∑_Q∈Gψ(I^tri(Q★C))，通过CMNN确保多凸性，并添加应力归一化项与体积增长项以满足所有本构条件。

**3.3 Construction of polyconvex invariants via group symmetrization**：提出基于群对称化构造多凸不变量的新方法。

**3.3.1 Tetragonal material behavior**：推导了四方群D₄的多凸完整性基，包括5个新不变量I_1-5^tet（基于式14）与各向同性不变量I_1-3^iso，可多项式表示所有四方不变量。

**3.3.2 Cubic material behavior**：推导了立方群O的多凸函数基，包括6个新不变量I_1-6^cub（基于式20）与I_1-3^iso，但I₆^cub的表示涉及除法，故仅构成函数基。

**5.1 Data and PANN model preparation**：准备两种立方超材料数据：BCC（体心立方晶格，来自Fernández et al.）和SPH（软基体含球形夹杂，来自Kalina et al.），均经数值均质化获得有限变形下的应力-应变数据。定义四种PANN模型：PANN-C（多凸，基于三斜不变量与群对称化）、PANN-I（多凸，基于结构张量不变量）、PANN-C*（非多凸，坐标基）、PANN-I*（非多凸，结构张量基）。训练采用MSE损失，ADAM优化器，SPH额外用SLSQP。

**5.2 PANN model evaluation**：应用至BCC数据，PANN-C在训练和测试中表现优异，且保持椭圆性；PANN-I在测试中失败；非多凸模型虽准确但失去椭圆性。应用至SPH数据，PANN-C性能中等，PANN-I最差；非多凸模型准确且保持椭圆性（因数据充足）。讨论表明，多凸模型的具体选择（PANN-C vs PANN-I）对性能影响显著，稀疏数据下多凸模型提供稳定性，非多凸模型需谨慎使用。

总结讨论部分：研究结果表明，基于三斜不变量与群对称化的多凸PANN模型（PANN-C）在稀疏数据下优于基于结构张量不变量的模型（PANN-I），并能保持椭圆性，而后者在测试中失效。对于数据充足的情况，非多凸模型也可准确学习，但失去椭圆性保证。因此，多凸模型的选择对性能至关重要，PANN-C提供了更稳健的替代方案。研究结论翻译如下：在本工作中，研究人员解决了多凸各向异性超弹性和物理增强神经网络（PANN）本构建模中的一些开放挑战。研究人员提出了一种基于三斜不变量和群对称化的多凸各向异性超弹性新本构建模框架，并将其应用于PANN模型。对于有限对称群（如立方群），该PANN模型先验地满足所有常见力学本构条件。此外，研究人员对多凸不变量理论做出了贡献，提出了基于群对称化的多凸不变量构造方法，并推导了四方群D₄的多凸完整性基和立方群O的多凸函数基。研究人员还比较了基于结构张量不变量的多凸PANN模型和基于三斜不变量与群对称化的多凸PANN模型在立方超材料均质化数据上的性能，发现后者优于前者，表明多凸模型的具体选择对性能有显著影响。未来工作应将该框架扩展到多物理场行为，并建立所有对称群的多凸完整性/函数基。