正合范畴的分解完备化

《Journal of Pure and Applied Algebra》：The resolving completion of an exact category

　　

摘要对于精确范畴，我们提供了两种环境范畴的构造，使得初始范畴是完备的：分别在导出范畴中和加布里埃尔 - 奎伦嵌入中。对于第一种构造，我们使用不同的无环性条件描述了一个预航道及其右正交。我们提供了这对成为 t-结构的必要充分条件。

引言精确范畴出现在数学的各个领域中；例如，在表示论、代数几何、代数拓扑或泛函分析中。寻找这类范畴之间的导出等价是一个共同目标；这意味着它们的导出范畴是三角等价的。例如，这是倾斜理论的核心 [Hap88, Chapter III], [Ric89], [AHHK07, Chapter 5]。其中许多三角等价是基于 [HvR20b] 为完备子范畴获得的导出等价而建立的。

对于精确范畴 E，我们描述了 E 的完备化 R；即 E 可以被识别为 R 的一个完备子范畴，并且它具有如下普遍意义：每当 E?F 是完备的，则 F 可以被识别为 R 的一个完备子范畴。我们为 E 的环境范畴给出两种构造：
•我们将 LH(E) 构造为 D(E) 的全子范畴，推广了 [17], [33], [16] 的构造。它由在正次数上 E-无环且在负次数上满足一种较弱的无环性条件（称为左 ExtE-无环性）的复形组成。这一概念受到 [Rum21] 的启发。
•我们将 R(E) 构造为函子范畴 Mod(E) 在局部可抹消函子范畴 Eff(E) 处的局部化的全精确子范畴。即，我们在 E 的加布里埃尔 - 奎伦嵌入中扩展 E。这受到 [31], [16] 的启发。

对于这些构造，我们在命题 6.2 和 6.3 以及定理 6.4 中证明了以下结果：
定理 A 设 E 是一个弱幂等完备的小精确范畴。那么 LH(E) 和 R(E) 都是 E 的完备化，并且存在一个等价 LH(E)→R(E)。

类似于 LH(E) 和 R(E) 的构造，我们还构造了有限完备化 LHb(E) 和 Rb(E)，它们产生了有界导出范畴的等价。

在构造 LH(E) 中，我们得到一个接近成为 t-结构的对 (U,V)。事实上，当 E 有核时，这就是 [17], [33] 中描述的 t-结构。然而，我们并不预期这对在一般情况下是 t-结构，因为根据 [Nee24]，精确范畴的有界导出范畴可能不支持任何 t-结构。此外，利用这种构造及其对偶构造，我们在定理 3.19 中证明了以下结果：
定理 B 设 E 是一个弱幂等完备的精确范畴。存在 Db(E) 的全子范畴对 (U,V)，使得
(1)U 和 V 对直和项、同构和扩张封闭；
(2)ΣU?U 且 V?ΣV；以及
(3)(ΣU)⊥=V 且 ΣU=⊥V。

事实上，我们构造了两个具有这些性质的对，它们在一般情况下不相等。每对 (U,V) 产生 E 的一个极大非负扩张 H=U∩V；这意味着 HomDb(E)(H,Σ<0H)=0 且 H 具有该性质是极大的。

左 Ext-无环性的概念在 LH(E) 和 R(E) 的构造中至关重要。这并不令人惊讶，因为它在完备扩张中是保持的。左 Ext-无环性包含两个概念，即左 E-无环性和 Hom-无环性。前者是 E-无环性的轻微推广，而后者编码了应用永田函子后的无环性。

为了获得无界导出范畴之间的等价，我们为 n≥1 构造了 E 的 n-完备化。此外，这种构造保持了整体维数的有限性。1-完备化是 D(E) 中由单态射表示的二项复形的全子范畴；这个范畴已被 [33], [16] 研究。

致谢作者部分由德国研究基金会 (DFG, German Research Foundation) 资助：第一作者由项目编号 507660524 资助，第二和第三作者由项目编号 491392403 (TRR 358) 资助。作者感谢 Sven-Ake Wegner 的深刻讨论和贡献。

章节片段
无环性与完备子范畴
在阿贝尔范畴中，序列 L→fM→gN 有一个典范的无环性概念；即当 0→ker(g)→M→coker(f)→0 是一个短正合序列时。在阿贝尔范畴中，无环性有各种等价的刻画。然而，这些刻画在精确范畴中可能产生不同的概念。最常见的概念是在 [Nee90, Section 1] 中引入的。我们的兴趣在于一种不同的无环性概念，它是由 [Rum21,Ext 分解] 中引入的 Ext-核所激发的。
Ext 分解
由完备子范畴获得的 (1.8.1) 中的序列在后续内容中起着重要作用。事实上，可以将 ?→X?1→X?0 视为 M 的分解。鉴于引理 1.9，我们感兴趣的是在负次数上左 Ext-无环的此类序列。

设 E 是一个精确范畴。我们用 Ch(E) 表示 E 上的复形范畴。我们对复形使用上同调记号；即我们将复形 X 写为
?→Xn?1→dXn?1Xn→dXnXn+1→?。如果复形 X 在每一个 E 上都是 E-无环的，则称复形 X 是 E-无环的。

在导出范畴中
在前一节中，我们看到了左 Ext-无环性在复形的许多运算方面表现良好。特别是，我们可以考虑同伦范畴和导出范畴设置下的左 Ext-无环性。我们用它来定义阿贝尔范畴的导出范畴中标准 t-结构的类似物。虽然结果的对不一定是 t-结构，但它们的“心”是初始精确范畴的一个有趣扩展。

设 E 是一个具有基础函子范畴的精确范畴...
Ext 分解的函子观点
设 A 是一个小的加性范畴。右 A-模范畴是加性函子范畴 ?Mod(A)?Add(Aop,Ab)。根据 [Fre03, Theorem 5.11]，范畴 Mod(A) 是阿贝尔的，并且 (余)核正是逐点 (余)核。我们用 Y(?):A→Mod(A),M?HomA(?,M) 表示永田嵌入。函子 HomA(?,X) 称为可表示的。在函子范畴 Mod(A) 中，可表示函子是投射的。

如果存在一个...，则称 Mod(A) 中的一个对象 F∈Mod(A) 是有限表达的。

在左商范畴中
我们已经表明 eff(E) 在收缩封闭的全精确子范畴 Mb(E)?M(E)?mod(E) 中是收缩渗透的。根据引理 4.8，我们得到子范畴链 Mb(E)/eff(E)?M(E)/eff(E)?Q?(E)。我们希望为这个链中的每个局部化配备一个精确结构。

首先，我们表明永田嵌入将左 ExtE-无环序列发送到阿贝尔范畴 Mod(E)/eff(E) 中的无环序列。特别地，ExtE-分解变成了分解。
引理 5.1 设 E 是一个小精确范畴，且 L→fM→g...

完备化
设 E 是一个（小的）精确范畴。在第 3 节和第 5 节中，我们构造了环境范畴 ?LH?(E) 和 ?R?(E)，使得 E 在其中是（有限）完备的。它们的行为都像完备化运算；见推论 3.10 和 5.12。我们利用这些获得一个普遍性质。
定义 6.1 设 E→R 是一个全精确嵌入，使得 E 在 R 中是（有限）完备的。如果对于任何全精确嵌入 E→F 使得 E 在 F 中是（有限）完备的，存在一个全...

玛丽安·劳森 | 贾妮娜·C·莱茨 | 朱莉娅·绍特
汉堡大学数学系，Bundesstr. 55, 20146 汉堡，德国