用于指数分布机械载荷作用下轴向非均匀纳米梁非局部弯曲分析的物理信息基于核的科学机器学习方法

《Mechanics Research Communications》：Physics-Informed Kernel-Based Scientific Machine Learning Method for Nonlocal Bending Analysis of Axially Nonhomogeneous Nanobeams under Exponentially Distributed Mechanical Loading

　　

摘要非均匀纳米梁的弯曲分析对于确保纳米尺度设备（如传感器、执行器和纳米谐振器）的结构可靠性和功能效率至关重要，在这些设备中，即使微小的变形也可能显著影响性能。当这些纳米梁承受指数变化载荷时，由于材料属性的空间依赖性和显著的纳米尺度效应，它们表现出复杂的机械行为。假设沿轴向方向抗弯刚度呈指数变化，进一步影响了变形特征。在本工作中，我们开发了一种基于核的物理信息科学机器学习框架，采用物理信息最小二乘支持向量机 (PI-LSSVM) 对承受指数变化载荷的非均匀纳米梁进行弯曲分析。PI-LSSVM 方法将控制物理定律和边界条件直接集成到机器学习架构中，从而确保物理一致性和数据高效的预测。这种混合范式结合了基于物理建模和数据驱动学习的优势，以高精度近似位移场、应力分布和挠度轮廓。对比分析表明，所提出的模型具有高预测精度和强物理一致性。本研究强调了物理信息机器学习在解决复杂纳米尺度结构力学问题方面的潜力，并为下一代纳米结构的智能设计和优化做出了贡献。

引言纳米梁已成为纳米机电系统 (NEMS) 开发中不可或缺的结构组件，如纳米传感器、纳米执行器和纳米谐振器。它们卓越的刚重比、高灵敏度以及可扩展的机械响应使其成为纳米尺度精密传感、柔性电子和能量收集应用的理想选择 [1]。准确预测它们的弯曲和变形行为非常重要，因为即使是微小的挠度也可能显著改变它们的共振频率和功能特性 [2]。因此，了解纳米梁的弯曲响应对于确保现代纳米尺度设备的机械可靠性、功能稳定性和性能优化仍然至关重要。

在许多实际纳米结构中，由于有意的材料梯度、制造引起的变化或热扩散效应，材料属性往往在空间上变化，导致非均匀纳米梁 [3]。这种非均匀性，特别是材料属性的轴向变化，提供了一种强大的手段来定制纳米梁的刚度、质量和阻尼特性。通过引入受控的空间梯度，设计者可以实现增强的机械适应性、改善的振动抑制和更优越的承载效率。然而，这种非均匀性也引入了复杂的机械相互作用，显著影响纳米梁的弯曲响应，使得解析建模和预测具有挑战性 [4],[5]。因此，对轴向非均匀纳米梁的研究对于功能梯度纳米系统的设计和优化具有重大意义，在这些系统中，空间变化的材料属性被谨慎地用于实现所需的机械性能。

除了材料梯度外，实际应用中纳米梁经常遇到指数变化载荷，这可能源于不均匀的静电力、温度梯度或磁场分布。与均匀或线性分布载荷不同，指数变化载荷产生高度非线性的挠度和应力模式，放大了系统机械响应的复杂性。因此，了解在这种指数变化加载条件下的弯曲行为对于准确预测纳米梁的挠度轮廓、应力分布和整体结构完整性至关重要。此类分析不仅提供了对纳米尺度组件性能极限和可靠性的见解，还有助于校准传感器、优化谐振器并防止纳米器件中的结构失效 [6],[7]。

在这方面，Li 等 [8] 研究了 Winkler-Pasternak 基础上承受随动轴向载荷的轴向加载 Timoshenko 微/纳米梁的自由振动、屈曲和动力学稳定性，利用差分求积法突出了载荷方向和边界条件的影响。Uzun 等 [9] 开发了基于 Stokes 变换的分析解，用于研究轴向点载荷下具有可变形的边界条件的纳米梁振动，突出了纳米尺度效应、边界条件和轴向力的作用。Ghazwani 等 [10] 通过应用 Eringen 的非局部弹性和高阶剪切变形理论，分析了 Winkler-Pasternak 基础上指数梯度纳米梁的高频自由振动，使用 Navier 技术推导闭式解并展示了非局部效应、材料梯度和基础参数对动态响应的强烈影响。Boulahbal 等 [3] 通过提出准 3D 非局部解析模型并应用 Navier 求解技术，研究了耦合湿热机械载荷下幂律梯度非均匀纳米梁的非线性弯曲响应，揭示了显著的小尺度和多物理场相互作用效应对应力和位移的影响。Arda 和 Balci [11] 采用 Timoshenko-Ehrenfest 梁理论和 Eringen 的非局部弹性，研究了部分热载荷下轴向功能梯度碳纳米管的振动行为，并使用 Ritz 法展示了材料梯度、非局部性、边界条件和温度对振动频率的显著影响。Alhasan 和 Noori [12] 使用欧拉 - 伯努利和 Timoshenko 梁理论研究了功能梯度纳米梁的静态挠度，将互补函数法应用于非局部公式，表明材料梯度、非局部效应和梁几何形状强烈影响响应。Uzun [13] 通过开发基于修正应变梯度和 Rayleigh 梁理论的解析模型，研究了孤立蛋白质微管的尺度依赖横向振动，通过横向弹簧整合任意可变形的边界条件。Civalek 等 [14] 使用修正应变梯度理论对碳纳米管增强复合微梁进行了微结构依赖的静态弯曲分析，检查了尺寸依赖性、加载条件和增强体体积分数对梁挠度的影响。此外，Thai 等 [15] 对用于捕捉微纳米尺度结构尺寸依赖效应的高阶连续体模型进行了全面综述，特别强调了非局部弹性、修正偶应力和应变梯度理论。Uzun 等 [16] 使用 Eringen 的非局部弹性理论和有限元公式，研究了 Winkler 弹性基础上的功能梯度纳米梁的自由振动行为，以检查材料梯度、非局部参数、基础刚度和边界条件的影响。在 [17] 中，考虑了材料梯度、Pasternak 基础和小尺度参数对屈曲响应的影响，研究了刚性和可变形边界条件下功能梯度纳米梁的横向稳定性。

传统的解析和数值方法已被广泛应用于分析纳米梁的弯曲行为。然而，当处理高度非线性、非均匀和依赖纳米尺度的效应时，这些方法往往变得计算密集或不够充分。为了应对这些挑战，机器学习方法已作为建模复杂结构系统的强大替代品出现。其中，物理信息机器学习技术 [18] 将控制物理定律集成到学习架构中，确保预测保持物理一致性，同时需要显著更少的训练数据 [19],[20]。具体而言，物理信息最小二乘支持向量机 (PI-LSSVM) [21],[22] 将支持向量机的可解释性和稳定性与嵌入的物理约束相结合，允许准确且数据高效地建模复杂纳米梁行为。这种混合范式弥合了传统连续介质力学和现代数据驱动建模之间的差距，为下一代纳米结构的智能设计、优化和控制铺平了道路。

随后，Tariq 等 [23] 开发了一种半解析非局部 Levinson 梁公式，整合横向端弹簧以分析各种边界和热条件下多孔功能梯度纳米梁的自由振动行为，并表明机器学习模型，特别是支持向量回归和人工神经网络 (ANN)，可以高精度预测固有频率。Zheng 等 [24] 基于非局部应力 - 应变梯度理论研究了旋转纳米尺度梁的振动行为，并通过基于 Galerkin 的特征值分析和使用 ANN 和高斯支持向量机的预测表明，尺度依赖性、几何参数和环境场显著影响振动频率。Garg 等 [25] 进行了比较机器学习研究，使用高斯过程回归和随机森林模型来预测功能梯度纳米梁的弯曲和屈曲响应，得出结论高斯过程回归模型在估计各种几何、材料和非局部参数下的挠度和临界屈曲载荷方面具有优越的准确性。Kianian 等 [26] 应用物理信息神经网络框架分析三参数非线性弹性基础上的非局部欧拉 - 伯努利纳米梁的静态弯曲，展示了在各种加载和边界条件下弯曲响应和非局部参数的前向和反向预测。Al-Dahidi 等 [27] 采用机器学习模型，包括 ANN、支持向量机和随机森林，来估计具有非局部弹性的锥形轴向功能梯度纳米梁的前五个固有频率，展示了 ANN 的优越准确性和鲁棒性，特别是对于高阶模态。Mazari 等 [28] 使用精细化高阶梁理论和 Galerkin 法分析了热环境中纳米复合梁的振动行为，并通过基于回归的机器学习模型表明多项式回归最准确地预测固有频率，同时揭示了石墨烯含量、温度和长宽比对动态响应的强烈影响。

尽管对纳米梁机械行为的研究广泛，但大多数现有研究仅限于承受均匀或线性变化载荷的均匀或简单梯度结构。这些方法通常无法捕捉纳米尺度非局部性、材料非均匀性和非线性加载条件的组合效应，而这些是实际纳米器件固有的。此外，传统的解析和数值方法虽然严谨，但往往计算密集且数据需求量大，使得它们对于复杂纳米结构的快速分析和优化不切实际。这一差距凸显了对高效、物理一致且数据驱动的建模框架的需求，该框架能够准确预测复杂加载场景下非均匀纳米梁的弯曲响应。

尽管物理信息机器学习框架已成功应用于几个工程和科学问题，但将其应用于承受指数变化机械载荷的非局部非均匀纳米梁弯曲问题仍然 largely 未被探索。现有的 PI-LSSVM 研究主要关注金融建模和微分方程基准，而目前的工作将该框架扩展至由非局部弹性理论控制的纳米尺度结构力学。本研究的创新之处在于将控制非局部纳米梁方程及相关边界条件直接嵌入到基于核的科学机器学习框架中，以预测指数分布载荷下轴向非均匀纳米梁的弯曲响应。这种集成在保持计算效率的同时实现了物理一致的预测，并消除了对网格离散化的需求。

本工作的具体目标是 (i) 开发一种用于建模非均匀纳米梁弯曲的混合机器学习框架，(ii) 将提出的模型与基准解析结果进行验证，(iii) 评估其在不同材料梯度和加载条件下的准确性和效率。本研究的意义在于其对纳米力学中新兴的物理信息机器学习领域的贡献。通过结合基于物理建模的可解释性和数据驱动学习的适应性，提出的 PI-LSSVM 框架为分析复杂纳米尺度结构提供了一种稳健且可扩展的方法论。本研究的成果预计将增强预测建模能力，加速实际 NEMS 应用中纳米梁的设计和优化，并为智能、仿真驱动的纳米结构工程奠定基础。

章节片段
最小二乘支持向量机 (LSSVM)
最小二乘支持向量机 (LSSVM) [29] 是经典支持向量机的修改公式，用等式约束和二次损失替换了不等式约束和铰链损失。这种修改将优化转化为线性方程组，在保持正则化学习基本结构的同时允许解析简洁性。

设 D={(ξi,ηi)}i=1N 表示一组训练样本，其中 ξi∈Rd 表示输入向量，ηi∈R。

弯曲分析的数学模型
在本工作中，考虑了承受指数变化载荷的非均匀欧拉 - 伯努利纳米梁模型。假设纳米梁的抗弯刚度和外部载荷沿轴向方向根据指数函数变化。纳米梁长度为 L，宽度为 b，高度为 h，并放置在笛卡尔坐标系中，如图 1 所示。

纳米梁的抗弯刚度 (EI) 假设为 [31]：
EI(x)=E0IeαxL，
其中 E0 表示杨氏...

结果与讨论
本节展示了所提出的 PI-LSSVM 框架的数值模拟和解析验证，用于建模承受指数变化载荷的非均匀纳米梁的弯曲行为。目标是证明 PI-LSSVM 模型在重现纳米梁挠度响应方面的效率和准确性，并评估其对材料、非局部和载荷相关参数的参数敏感性。

结论
本工作证明了物理信息最小二乘支持向量机 (PI-LSSVM) 框架在建模承受指数变化载荷的非均匀纳米梁弯曲响应方面的有效性。控制方程和边界条件被直接嵌入到学习公式中，允许模型捕捉物理行为，而无需依赖大量训练数据或网格离散化。

结果表明，所提出的框架 CRediT 作者贡献声明 Bhubaneswari Mishra：写作 – 审查与编辑，写作 – 初稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，形式分析，概念化。Akash Kumar Gartia：写作 – 审查与编辑，写作 – 初稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，形式分析，概念化。Snehashish Chakraverty：写作 – 审查与编辑，监督，方法论，概念化。Bhubaneswari Mishra|Akash Kumar Gartia|Snehashish Chakraverty 印度卢尔凯拉国立理工学院数学系