物理模型复杂性的降低：一种基于尺度变换的无方程方法

《Physica D: Nonlinear Phenomena》：Complexity reduction of physical models: an equation-free approach by means of scaling

　　摘要
描述复杂的物理现象通常涉及复杂的模型，这些模型依赖于大量的参数，具有不同的维度和尺度。简化这类模型的一种实际方法是丢弃一些参数或基础方程中的项，从而得到简化的模型。在这里，我们提出了一种获得此类简化模型的通用方法。该方法不依赖于所使用的具体模型（即无需方程），仅取决于描述现象时涉及的尺度和量级之间的相互作用，并能够控制过度参数化问题。该方法还通过提供可明确计算的参数值阈值来量化渐近模型的条件，这些阈值可以在保持模型基本预测性能的同时减少模型的复杂性。尽管我们的重点是简化复杂性，但这种方法还可以通过降低过度参数化和参数估计不稳定的风险来帮助校准。我们在经典抛体模型的背景下讨论了这种方法的好处。

引言
在处理复杂模型时，通常有必要进行渐近分析以简化所考虑的模型。这种分析方法会确定一个参数 ε > 0，并研究当 ε → 0 时给定方程解的极限行为。当 ε 很小的时候，最初考虑的模型的解可以通过将 ε 形式上设为 0（即忽略某些项）的相同方程的解来准确复现。然而，一般来说，很难确定 ε 需要小到什么程度才能被认为是“足够小”，从而允许使用简化后的模型解。
特别是对于涉及非常不同尺度或过度参数化的模型，降低复杂性和应用适当的缩放对于防止校准过程中的不稳定性至关重要 [1]、[2]、[3]、[4]。当将物理模型生成的合成数据输入机器学习模型时，这一点变得更加关键 [5]，因为数据中的不平衡或错误校准会显著影响模型性能 [6]。正确的缩放可以确保合成数据反映真实的参数分布，有助于减轻过拟合和参数估计的不稳定性 [1]。最终，缩放可以提高校准质量，稳定预测结果，并即使在使用合成数据的情况下也能实现更可靠的机器学习模型训练。

几种用于物理模型无量纲化和缩放的方法已经存在。传统的量纲分析使用白金汉π定理来推导出独立的无量纲组 [7]，而特征尺度归一化则为控制变量引入了参考尺度，以获得无量纲方程并识别主要的物理参数 [9]。最近，自动符号方法将量纲一致性检查与方程归一化相结合，实现了自动缩放、无量纲组的识别以及偏微分方程（PDE）公式的数值稳定性的改进 [10]。
我们的方法基于已经引入的方法论，我们分别称之为最优缩放（OS）[11] 和带约束的最优缩放（OSC）[12]。与传统无量纲化方法类似，它们允许将量纲方程转换为无量纲形式。然而，与现有技术不同的是，这些方法不需要对所考虑的现象有特定的了解。此外，它们还能大幅减少方程系数所假设的量级范围，准确估计系统的特征参数，并减少舍入和数值误差。
这些方法已在 [11]、[12] 中应用于 latex 粒子形态形成（LPMF PBM）[14] 的预测性种群平衡模型 [13]。首先，在 [11] 中，我们获得了相关量变化最小化的无量纲缩放方程。这一特征有助于减少数值误差，并避免计算解出现非物理行为。其次，在 [12] 中，引入了一个定量标准来定位快速和缓慢聚集区域，从而推导出简化后的低复杂度 LPMF PBM 系列。此外，在 [11] 中，最优缩放还应用于液晶和量子模型，有助于减小涉及量的量级范围，而不影响系统特征参数的准确性 [16]、[17]。
本研究的目的是将这些已经引入的方法论推广，并以透明的方式展示该方法在经典标度理论中的应用和优势。特别是，我们提出了一种高级的最优缩放变体，它继承了前者的优点，并且还能控制过度参数化。我们将这种方法称为广义最优缩放（GOS）。所提出的方法可以提供一个定量标准，用于识别那些可以在不显著改变方程解的情况下丢弃部分参数值的物理参数。这种方法不依赖于特定模型，因此其应用于任何具体模型时产生的结果都将在一定程度上依赖于该模型，需要进行数值验证。为了具体说明我们的推导和发现，我们考虑了经典抛体模型。
本文的结构如下：第2节阐明了所用符号，并总结了我们在本工作中作为案例研究的抛体模型。第3节概述了本研究中为支持所提出的缩放方法而制定的假设和证明。此外，第3节总结了 [11]、[12] 中提出方法论的主要成果，并将之前在 LPMF PBM 背景下制定的 OSC 方法纳入了一个通用框架。第4节通过扩展其功能（即将模型中使用的参数数量减少到最低）进一步改进了广义 OSC。表1 中详细介绍了结果 GOS 方法与原始 OSC 方法的比较。第5节我们在抛体模型上测试了最优缩放方法。第6节提供了结论并讨论了所提技术的能力。

符号说明
在整个工作中，使用了以下符号：
• 我们用 q? := q/q? 表示任何标量量，其中 [q?] 是 q? 的量纲（即它的计量单位），q 是在选定单位 [q?] 下与 q? 相关联的数值。
• 我们用 λi（i ∈ N）表示无量纲方程项中的乘法常数因子。
• 符号 ? 表示一个严格正数 a 至少比另一个严格正数 b 小一个数量级，即 a ? b ? a/b ≤ 10^-1。

最优缩放：概述
我们考虑可以表示为以下形式的模型：
F?(x?1,?,x?Nx, p?1,?,p?Np) = 0 [F?]，
其中 F? 是一个函数（具有量纲 [F?]），它依赖于未知变量 x?1,?,x?Nx 和物理参数 p?1,?,p?Np，其数值 F?,x1,?,xNx ∈ C, p1,?,pNp ∈ (0,∞)。
为了将 (9) 重写为无量纲形式，我们定义 x?1,?,x?Nx 的无量纲对应量：
ξ1 := x?1/θ?1, ?, ξNx := x?Nx/θ?Nx，
其中 [θ?j] = [x?j]，θj ∈ (0,∞)，?j = 1,?,Nx，θ?1,?,θ?Nx 是特征常数。

接下来，我们打算为 OSC 方法添加一个额外功能，即能够将模型中使用的参数数量减少到最低。通过这一改进，OSC 可以控制过度参数化，这对具有大量物理参数的实际模型特别有益。这可以通过应用与量纲分析相关的方法和概念（特别是白金汉π定理 [7]）来实现。从现在开始，我们将带有这种功能的 OSC 称为...

案例研究：经典抛体模型
为了测试上述缩放技术，我们将它们应用于第2.2节中介绍的抛体模型。首先，我们使用第3.1.1节中的方法来用最少的参数数量表述抛体模型。假设4至6被 Np=4 个物理参数 p?1, p?2, p?3, p?4 满足（6），其中 [p?1] = [g?] = ms^-2，[p?2] = [R?] = m，[p?3] = [h?0] = m，[p?4] = [v?0] = ms^-1，m 为单位长度，s 为单位时间。然后，定理2保证了只有 N0 = Np ? rank(M) = 2 个独立参数存在。

结论与讨论
我们回顾了量纲模型的缩放方法，并提出了一种新方法，称为广义最优缩放（GOS）。GOS 继承了其前身的所有特性，即最优缩放（OS）和带约束的最优缩放（OSC），包括量化渐近模型条件的能力，并且还提供了对过度参数化的控制——这对于复杂的多尺度模型非常有益。OS 和 OSC 均可以从 GOS 中恢复出来。

作者贡献声明
Simone Rusconi：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原始草稿、可视化、验证、监督、软件、项目管理、方法论、研究、形式分析、数据整理、概念化。
Christina Schenk：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原始草稿、方法论、研究、形式分析、概念化。
Razvan Ceuca：验证。
Arghir Zarnescu：撰写 – 审稿与编辑、研究、资金获取、概念化。

利益冲突声明
作者声明没有已知的竞争性财务利益或可能影响本文工作的个人关系。