连续时间系统非均匀输入时滞状态预测控制的一种直接方法

《Systems & Control Letters》：A straightforward approach to state predictive control for continuous-time systems with nonuniform input delays

　　

本文重新审视了利用Backstepping方法通过延迟补偿针对具有不同非均匀输入时滞的系统导出的控制律。作为本文的主要主题之一，研究人员通过一个非常基础的视角提供对其控制理念的解释，以更好地理解和阐释该控制律。然而，这种解释的过程涉及使用一些“隐含理想化假设”，并且关于这些假设的使用，研究人员的论证进一步扩展到对闭环系统有限谱分配（FSA）性质的简单证明。该性质直接意味着闭环系统的稳定性，但本文中的论证是通过频域中特征方程的处理进行的，因此与现有研究中导出该控制律时使用的Lyapunov泛函的时域稳定性证明形成鲜明对比。此外，研究人员进一步研究了系统无时滞部分的状态不可测且为其引入状态观测器的情况，并研究了基于状态反馈的控制律与状态观测器的联合使用。通过对状态反馈情形下闭环稳定性频域证明的简单修改，进一步建立了该背景下的分离原理。还通过数值例子确认了闭环系统在存在包括输入时滞失配在内的被控对象不确定性时的鲁棒性。

论文解读

**研究背景与问题**

在时滞系统控制领域，有限谱分配（FSA）及其相关的基于预测器的控制技术已被广泛研究。早期研究通过补偿输入时滞导出了一类镇定控制律，但这些控制律并不具备直接利用“基础状态反馈增益”（即针对移除所有输入时滞后的虚构无时滞被控对象确定的有益增益）的特征。相比之下，更近期的研究通过Backstepping方法成功导出了具有该特征的控制律，使得控制律仅需关注无时滞部分未来状态的预测机制，该机制与实际被控对象输入时滞中存储的过去输入值密切相关。对于均匀输入时滞情形，该控制律的基本思想易于理解，称为状态预测控制。然而，对于非均匀输入时滞情形，由于输入时滞的非均匀性，预测未来状态所需的部分未来输入尚未存储在时滞中，导致控制策略变得高度复杂。现有研究[13,14]通过Backstepping方法成功导出了广义控制律，但其推导过程涉及偏微分方程（PDE）、Lyapunov泛函、H¹空间等高级概念，理解难度较大。因此，研究人员旨在从基础视角重新审视该控制律，提供直观解释，并给出关于闭环系统有限谱分配性质的简单证明，以弥补现有研究在透明性方面的不足。

**研究内容与结论**

本文针对具有不同非均匀输入时滞的连续时间线性时不变被控对象P，重新审视了由Backstepping方法导出并已在[13,14]中报道的延迟补偿控制律。研究人员首先通过一个非常基础的观点（仅需状态方程解的常数变易公式）对该控制律的控制理念进行了直观解释，揭示了其背后的等效控制策略。然而，该解释过程引入了“隐含理想化假设”。为证明这些假设的合理性，研究人员通过频域中的特征方程方法，给出了闭环系统有限谱分配性质的简单证明，从而直接得出闭环稳定性。该证明与现有研究中基于Lyapunov泛函的时域证明形成鲜明对比，仅需基本的矩阵运算和Laplace变换。此外，研究人员还考虑了无时滞部分状态不可测的情况，引入状态观测器，并通过频域证明的简单修改建立了分离原理。最后，通过数值例子验证了闭环系统在存在被控对象不确定性（包括输入时滞失配）时的鲁棒性。论文发表在《Systems》。

**主要关键技术方法**

研究人员采用的主要关键技术方法包括：1) 基于常数变易公式的状态预测方法，用于解释控制律的等效控制策略；2) 频域特征方程方法，通过矩阵运算证明闭环系统的有限谱分配性质；3) 状态观测器设计，用于处理无时滞部分状态不可测的情况，并基于频域证明建立分离原理。数值例子中，被控对象为三个子系统级联的系统，其输入时滞非均匀，且存在参数摄动和时滞失配。

**研究结果**

**2.1 具有不同非均匀输入时滞的系统及本文研究方向**：本节描述了被控对象P的结构，包括无时滞部分P₀的状态方程和输入时滞关系，并假设状态x(t)可测，但初始输入未知。研究人员指出，状态预测控制的思想是将控制输入u_i(t)=F_ix(t+h_i)应用于实际被控对象，但需要因果实现。对于p>1的情形，预测变得复杂。

**2.2 现有控制律及其直观解释/重新推导**：本节通过命题1给出了控制律的迭代形式，其中ξ_i(t)通过递推计算得到，控制输入u_i(t)=F_iξ_i(t)是因果可实现的。研究人员指出，该过程可解释为广义状态预测控制：逐步假设前i-1个输入已实现理想反馈，然后对剩余输入应用均匀时滞状态预测控制，仅取对应部分作为实际控制输入。然而，该解释依赖于“隐含理想化假设”，即假设前几步已精确实现，但实际上初始输入未知使得这些假设不成立。

**3. 有限谱性质及通过特征方程方法的稳定性证明**：本节证明了定理1，即闭环系统的特征方程等价于det(sI-A-BF)=0，从而闭环系统具有有限谱且稳定。证明分为两步：首先通过Laplace变换得到闭环系统的特征矩阵S(s)；然后通过左乘和右乘非奇异矩阵T₁(s)和T₂(s)，将S(s)变换为对角块形式，其中左上块为sI-A-BF，其余块为单位阵，从而得到特征方程。对于p=2和一般p的情形分别给出了证明。特别地，引理中关键等式(32)和(33)用于证明S₃₁′′(s)=0。

**3.3 分离原理**：本节考虑状态观测器，当无时滞部分状态不可测时，用估计状态x?(t)代替x(t)进行预测。通过定理2证明，引入观测器后闭环系统的特征方程为det(sI-A-BF)det(sI-?)=0，其中?为观测器系统矩阵，从而分离原理成立。

**4. 数值例子**：本节以三个非均匀输入时滞（h₁=2, h₂=3, h₃=10）的级联系统为例，被控对象包含积分器、振荡环节等，并考虑了实际参数摄动和时滞失配（h₁′=2.5, h₂′=2.7, h₃′=12）。仿真结果表明，在存在被控对象不确定性和初始输入未知的情况下，本文研究的控制律仍能使输出响应接近理想虚构状态反馈系统的响应，验证了延迟补偿的有效性和鲁棒性。此外，还考虑了外部正弦激励下的扰动抑制情况，进一步展示了控制律在持续激励下的性能。

**总结与讨论**

本文重新审视了针对非均匀输入时滞系统的延迟补偿控制律，通过基础观点提供了直观解释，并基于频域特征方程方法给出了有限谱分配性质的简单证明，证明了闭环稳定性。此外，还建立了状态观测器下的分离原理。数值例子验证了控制律的有效性和鲁棒性。研究结论表明，尽管在解释过程中引入了隐含理想化假设，但闭环系统仍能实现有限谱分配，且该控制律在处理输入时滞失配等不确定性时具有良好性能。本文的工作为理解Backstepping方法导出的控制律提供了更透明的视角，并具有教学和理论价值。