分数阶伪抛物 Burgers–Volterra 积分微分方程的 Haar 小波运算矩阵方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：A Haar wavelet operational matrix method for fractional pseudo-parabolic Burgers–Volterra integro-differential equations

　　

摘要
分数阶伪抛物 Burgers–Volterra 积分微分方程涉及非线性传输、混合导数和记忆效应，使得其解析处理变得困难。本工作开发了一种 Haar 小波运算矩阵方法，用于求解涉及 Caputo 分数阶导数和 Riemann–Liouville 分数阶积分算子的此类方程的广义类别。所提出方法的主要创新之处在于，它在单一运算矩阵框架内统一处理了非线性 Burgers 型耦合、混合时空分数阶导数和 Volterra 记忆项。控制方程被转化为一组非线性代数方程，可以使用标准数值技术求解。给出了严格的误差分析。在一维情况下，N 项 Haar 展开的截断误差被证明满足 ?‖?N‖22≤M2(b?a)3/(3N2)，其中 N=2J 表示使用的 Haar 函数数量，M 界定了一阶导数。分析进一步扩展到多维问题，表明在所有坐标方向上的同时细化确保了收敛性，而仅在选定方向上的细化可能导致非零极限误差。还提供了一步一步的计算算法以便于实现。通过涉及不同分数阶参数的三个数值例子检查了该方法的准确性和计算性能。数值结果与可用的精确解非常吻合，并支持理论误差估计。计算解在配点处达到接近二的经验阶，这与通过积分运算矩阵恢复解是一致的。这些发现证明了所提出框架对于具有记忆效应的非线性分数阶模型的有效性。

引言
智能交通、自动驾驶控制、多尺度遥感应用和数据驱动决策系统的最新进展表明，复杂工程问题对准确高效的计算框架的重要性日益增长 [1], [2], [3], [4], [5]。尽管这些研究涉及不同的应用领域，但它们共同强调了对能够处理复杂、数据密集和多尺度现象的可靠数学和计算方法的需求。
在这个更广泛的计算背景下，分数阶微分方程已作为一种强大的数学工具出现，用于建模涉及记忆、遗传效应、反常扩散和非局部相互作用的過程。与传统的整数阶模型不同，分数阶公式纳入了记忆和遗传效应，使其能够更真实地描述反常扩散、粘弹性材料、多孔介质中的流体传输、生物系统和信号传播。分数阶导数的非局部特性使其特别适合那些当前状态不仅取决于瞬时条件，还取决于系统整个历史的的过程。关于分数阶微积分及其在物理、工程、控制理论和生物医学工程中的应用——包括建模生物过程、医疗数据分析和使用 Caputo 型算子求解分数阶微分方程——的全面概述可见于 [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13]。
与此同时，积分微分方程在描述具有累积或延迟效应的系统中发挥了核心作用。Volterra 型积分算子通常用于建模过去状态影响系统当前行为的情况。因此，此类算子被用于种群动态、具有记忆的热传导、遗传力学和反应扩散系统。这些积分算子连同分数阶导数构成了分数阶积分微分方程，为建模涉及扩散、记忆效应和非线性相互作用的复杂现象提供了稳健的框架。
在非线性演化方程中，伪抛物和 Burgers 型方程尤为重要。伪抛物方程，也称为 Sobolev 型方程，是一类偏微分方程，其特征是存在最高阶混合时空导数项。伪抛物方程用于建模诸如具有记忆材料中的热传导、地下水流动和粘弹性行为等过程。它们最早由 Barenblatt 等人 [14] 和 Showalter 及 Ting [15] 在裂隙岩石中的流体流动和粘土固结的背景下进行系统研究。自那以后，伪抛物方程已应用于土壤中的水分传输 [16]、小振幅长波的传播 [17] 以及二阶流体的单向流动 [18]。伪抛物方程的数学理论，包括适定性、正则性和长期行为，已被广泛研究；参见 [19], [20] 及其中参考文献。最近，分数阶伪抛物方程引起了越来越多的关注，因为它们提供了对反常扩散和依赖记忆的传输过程更真实的描述。分数阶伪抛物方程的数值方法包括有限差分、有限元和样条配点方法 [21], [22], [23]。另一方面，由 Bateman [24] 引入并由 Burgers [25] 后来广泛研究的 Burgers 方程，是应用数学中最基本的非线性偏微分方程之一。Burgers 方程被广泛应用于研究湍流、激波、非线性波运动甚至交通流量。关于 Burgers 型方程数值方法的文献，可参见 [26], [27], [28], [29] 及其中参考文献。当这些模型中加入分数阶算子时，它们变得更加强大，because 它们可以更真实地描述亚扩散和超扩散效应。如果同时包含具有时间和空间记忆核的 Volterra 积分项，则得到本工作所考虑的分数阶伪抛物 Burgers–Volterra 积分微分方程。该方程捕捉了非线性传输、波状色散传播和累积记忆效应同时相互作用的系统——这种组合特别适用于粘弹性多孔介质中的非线性波传播 [30]、具有非线性对流的多相异质材料中的反常传输 [31] 以及具有反应、扩散和记忆的生物系统 [32]。尽管这些方程很有用，但它们提出了重大的分析挑战。非线性项、分数阶导数和积分核的存在使数学分析变得复杂。精确解很少见，其推导通常非常复杂。因此，开发准确高效的数值方法不仅有帮助，而且是必要的。据我们所知，本工作是首次开发并分析专门针对分数阶伪抛物 Burgers–Volterra 积分微分方程的数值方法，涉及其完全一般性，包括时间和空间中多个分数阶的 Caputo 导数以及 Riemann–Liouville 分数阶积分算子和非线性 Burgers 型耦合。
尽管少数分数阶微分和积分微分方程可以解析求解，但大多数需要数值或半解析方法才能达到令人满意的精度。多年来，研究人员开发了各种技术来处理此类问题。最近的研究提出了 sinc-配点、混合函数和运算矩阵方法，用于求解奇异、非线性、变阶和多维积分及积分微分方程。其中几项研究也为产生的近似提供了误差估计和收敛性分析 [33], [34], [35], [36], [37], [38], [39]。这些技术还包括基于小波的方法，如 Chebyshev 基小波、Müntz–Legendre 小波、CAS 小波、Chebyshev 小波、Legendre 小波和有理化 Haar 小波 [40], [41], [42], [43], [44], [45], [46]。其他流行的方法包括分数阶微分变换法 [47]、基于多项式样条函数、Jacobi 多项式、Lagrange 多项式的配点方法 [48], [49], [50], [51]、Taylor 展开法 [52] 和同伦分析法 (HAM) [53]。此外，还提出了混合配点技术 [54]、使用移位 Legendre 多项式的正交基函数方法 [55] 和分数阶分解法 [56]。诸如有限差分法 (FDM) [57], [58]、有限元法 [59], [60]、ADI 有限元方案 [61] 和紧格式 FDM 方案 [62] 等经典数值方法在求解分数阶问题中继续发挥重要作用。随着该领域的进步，引入许多新的数值策略，经典微积分中的传统思想已成功扩展并适应分数阶微积分框架。
最近，基于小波的方法因具有紧支集和强逼近特性而在求解复杂问题中受到欢迎。其中，Haar 小波具有最简单的结构，是分片常数，并构成正交归一族。它们的正交性确保了数值稳定性，其紧支集导致稀疏矩阵，有助于降低计算成本。此外，Haar 小波的多级结构使得解的局部细化和非线性项的高效处理成为可能。将运算矩阵技术与小波基结合已引起许多研究人员的关注。其思想是构建微分和积分算子的运算矩阵，从而产生一组代数方程。产生的代数方程组可以使用标准数值线性代数工具高效处理。
受 Haar 小波优势的启发，本工作提出开发一种基于 Haar 小波积分运算矩阵的高效数值技术，以求解分数阶伪抛物 Burgers–Volterra 积分微分方程。进行了严格的误差分析以推导理论误差界并确立方法的收敛性。还表明，如果仅在某些方向上进行分辨率细化，而保持其他方向固定，误差最终可能接近有限的非零极限。相反，如果在所有方向上同时增加分辨率，误差会稳步一致地减少，接近零。这一见解对于该方法在更高维问题中的实际应用特别有用。本研究的主要贡献总结如下：
•新型数值公式化：开发了一种 Haar 小波运算矩阵方法，用于求解涉及非线性耦合、混合导数和记忆项的广义类别分数阶伪抛物 Burgers–Volterra 积分微分方程。
•严格误差分析：提出了理论收敛性分析，确立了一维情况下 L2-逼近误差单调递减。
•多维误差分析：误差估计扩展到多维设置。分析表明，所有坐标方向上的同时细化确保了近似的收敛性，而仅在选定方向上的细化可能导致非零极限误差。
•计算实现：提供了一步一步的计算算法，以促进所提出数值方法的实际实现和可重现性。
论文的其余部分组织如下。下一节，第 2 节，介绍了关于分数阶算子和 Haar 小波的必要预备知识。运算矩阵的构建和数值方案的公式化随后在第 3 节 积分运算矩阵 和第 4 节 数值方法 中呈现。误差分析和收敛性结果随后在第 5 节中建立。数值例子和结论分别在第 6 节 数值例子 和第 7 节 结论 中呈现。

章节片段
一些定义和预备知识
在本节中，我们简要介绍分数阶积分和微分算子的基本定义和关键性质，以及将在全文中使用的 Haar 小波 (HW) 的简要概述。

积分运算矩阵
在本节中，我们介绍积分运算矩阵。n 变量 HW 向量的积分可以通过向量与称为积分运算矩阵的矩阵的乘积来近似。此近似表达如下：
IaνH(∏k=1nNk)(χ)=1∏k=1n(Γ(νxk))∫anxn...∫a1x1∏k=1n(xk?sk)νxk?1H(∏k=1nNk)(Sn)ds1...dsn=1∏k=1n(Γ(νxk))∫anxn...∫a1x1∏k=1n(xk?sk)νxk?1?k=1n(HNk(sk))ds1...dsn=1(Γ(νx1))∫a1x1(xk?sk)νxk?1HN1(sk)ds1?…?1(Γ(νxn))∫anxn(xn?sn)νxn?1HNn(sn)dsn。
现在对于

数值方法
在本节中，我们提出一种基于 Haar 小波的运算矩阵方法，并解释其应用于求解多维分数阶伪抛物 Burgers 积分微分方程。
我们考虑形式的分数阶积分微分方程：
D0αtu(t,x)+A(t,x)Dx0βxD0βtu(t,x)?B(t,x)Dx0γxu(t,x)?C(t,x)u(t,x)Dx0δxu(t,x)?D(t,x)I0σtKt(t,τ)u(τ,x)?E(t,x)Ix0σxKx(x,s)u(t,s)=S(t,x),(t,x)∈[0,T]×[x0,xe]，
条件为 u(0,x)=Ic(x),?x∈(x0,xe),u(t,x0)=B1(t),?t∈[0,T],?u(t,x)?

误差估计
在本节中，我们推导所提出的基于 Haar 小波数值方案的截断误差并建立收敛性结果。

数值例子
在本节中，我们通过几个数值例子评估所提出方法的准确性和计算性能。据我们所知，此前尚未开发针对本研究中考虑的完全一般性的分数阶伪抛物 Burgers–Volterra 积分微分方程的数值方法。因此，目前无法与现有方法对完整模型进行直接比较。所提出 Haar 小波方法的准确性

结论
在本工作中，开发并分析了一种基于 Haar 小波的数值框架，用于求解分数阶伪抛物 Burgers–Volterra 积分微分方程。所提出的方法采用截断的 Haar 小波展开以及分数阶微分和积分的运算矩阵，从而将控制问题转化为一组非线性代数方程。这种公式化提供了一种系统且计算方便的程序用于

CRediT 作者贡献声明
Ajay Kumar: 写作 – 初稿，可视化，验证，软件，形式分析，概念化。
Dia Zeidan: 写作 – 审查与编辑，验证，监督，项目管理，方法论。
Vikas Gupta: 写作 – 审查与编辑，监督，项目管理，概念化。

Saurabh Kumar：写作——审阅与编辑，监督，调查，形式分析。
生成式人工智能技术声明
作者声明在准备本手稿时未使用任何生成式人工智能技术。
利益冲突声明
作者声明，他们没有已知的可能影响本文报告工作的竞争性财务利益或个人关系。
致谢
作者感谢印度斋浦尔 LNM 信息技术学院、约旦安曼德国约旦大学、印度 Kattankulathur SRM 科学与技术学院的支持。
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