检测两水平结构方程模型中非多元正态性的降维方法

《Mathematics》：A Dimension-Reduction Method for Detecting Non-Multinormality in Two-Level Structural Equation Models

　　

在两水平结构方程模型（two-level SEMs）中检验多元正态性（multinormality）面临一个基本挑战，因为来自同一水平-2单元的观测值之间存在相关性，这违反了经典正态性检验所需的独立性假设。研究人员开发了一种新的广义Shapiro-Wilk检验（G^W test），该检验明确考虑了这种依赖性。提出的方法将相关观测值重新排列成一个随机矩阵，并采用主成分分析（PCA）将其投影到一组主方向上，实现有效的降维。在每个投影方向上，应用尺度不变的Shapiro-Wilk统计量来检验球形性（sphericity），利用球形分布（spherical distribution）保留此类统计量零分布的性质。然后使用Johnson S_B变换（Johnson S_B-transform）来近似组合检验统计量的零分布。蒙特卡洛（Monte Carlo）研究表明，所提出的G^W检验能满意地控制第I类错误率，并在多种非正态替代分布（包括重尾分布和不对称分布）下展现出强大的检验势。该方法进一步通过嵌套家庭中的真实酒精使用数据进行了说明，突显其实用性。比较评估表明，该检验相对于最近提出的方法表现良好。该程序适用于平衡的水平-1设计，并为研究人员提供了一个必要的诊断工具，用于评估两水平SEM中的多元正态性假设。

**论文解读文章**

**研究背景与问题**
在社会科学、行为科学和教育科学中，极大似然（Maximum Likelihood, ML）估计是拟合结构方程模型（Structural Equation Models, SEMs）的主流方法，其核心假设是观测变量来自连续多元正态分布。这一假设确保了似然推断的可处理性，并使标准检验统计量渐近服从卡方分布，从而为模型拟合评价和参数假设检验提供基础。然而，实际数据往往偏离多元正态性。在传统（单水平）SEM中，轻度偏离尚可容忍，但严重偏离会扭曲标准误、膨胀检验统计量，并影响模型拟合指数的结论。更关键的是，在两水平SEM中——例如学生嵌套于学校、患者嵌套于诊所、员工嵌套于组织——数据呈现层次结构：同一水平-2单元（如同一学校）内的个体比不同单元内的个体更同质，即组内相关（intraclass correlation）。经典多元正态性检验（如Mardia偏度和峰度、Henze-Zirkler检验、Doornik-Hansen综合检验、能量检验）均基于观测独立假设，无法直接应用于相关数据。尽管已有稳健ML估计（如Mplus中的MLR、lavaan中的Satorra-Bentler校正统计量）和Bootstrap方法（如Bollen-Stine Bootstrap）可缓解非正态性后果，但它们并不能提供对多元正态性假设本身的正式检验。因此，亟需一种能明确处理两水平SEM中观测依赖结构的多元正态性检验方法。

**研究内容与结论**
研究人员提出了一种新的广义Shapiro-Wilk检验（G^W test），用于评估两水平SEM中的多元正态性。该检验基于球形矩阵分布理论以及某些不变统计量（尤其是Shapiro-Wilk统计量）在球形对称下分布不变的性质。对于平衡的水平-1样本设计（每个水平-2单元包含n个个体），研究人员将观测值重排为随机矩阵，通过主成分分析（PCA）提取投影方向；在每个主方向上，投影向量在零假设下服从球形分布，从而可应用单变量Shapiro-Wilk统计量。这些方向性检验被组合成一个广义Shapiro-Wilk统计量（G^W），为全部正态性假设提供必要检验。该检验具有位置尺度不变性、降维特性，且不要求大样本。蒙特卡洛模拟表明，G^W检验能满意控制第I类错误率，并对重尾分布、不对称分布等多种非正态替代分布展示出强大势。实例分析采用嵌套家庭中的酒精使用数据（来自[25]），验证了其实用性。比较评估显示，该检验相对于Liang等人[7]提出的投影Mardia偏度和峰度检验表现良好。论文发表在《Mathematics》。

**关键技术方法**
主要技术方法包括：将两水平观测值重排为随机矩阵；利用主成分分析（PCA）提取投影方向，实现降维；在每个投影方向上应用尺度不变的Shapiro-Wilk统计量检验球形性；采用Johnson S_B变换（对于Shapiro-Wilk统计量m≤50）或Royston幂变换（对于m>50）近似组合统计量的零分布。样本队列来源：实例分析使用来自嵌套家庭（兄弟姐妹）的酒精使用数据，选取平衡设计（每个家庭5名成员，共201个家庭）。

**研究结果**
**3.1 经验第I类错误率**
通过两个人工两水平SEM模型（Model I和Model II）进行蒙特卡洛模拟，所有变量服从正态分布，设定参数后产生正态样本，计算G^W统计量并利用其近似零分布（公式（24））确定临界值。模拟重复2000次，结果表明：在平衡水平-1样本量n小至3、水平-2样本量G小至20时，G^W检验的经验第I类错误率均得到满意控制。

**3.2 检验势研究**
选取六种非正态分布（包括对称重尾的t分布（自由度5）、β-广义正态分布（β=0.5和β=1.5），以及不对称的移位卡方分布（df=1）、移位F分布（df=5,10）、移位对数正态分布），分别应用于Model I和Model II。研究分三种情况：仅残差变量非正态、仅因子变量非正态、两者均非正态。模拟重复2000次，结果显示：
- G^W检验与投影Mardia偏度（S_p）和峰度（K_p）在中等违反正态假设时具有可比性，尤其当G较大时。
- 水平-2样本量G对检验势的影响远大于平衡水平-1样本量n；在某些情况下，G翻倍可使检验势翻倍。
- 当水平-1和水平-2变量均违反正态假设时，G^W检验普遍具有高检验势。

**4 实例说明**
采用酒精使用数据（来自25个家庭，每个家庭5名成员，共201个家庭，4个水平-1观测变量，无水平-2观测变量），分别选取前50个、前100个和全部201个家庭构成三个数据集。应用G^W检验（投影维度r=4和r=2）以及投影Mardia偏度和峰度检验（投影维度r=2）。结果表明：所有三个数据集均显示非多元正态性证据；G^W检验在r=4时与投影Mardia检验结果完全一致，而r=2时未能保持一致，这可通过PCA变异系数（Coefficient of Variation, CV）解释——CV≥0.9可提供充分降维，而CV=0.8可能不足。

**总结讨论**
研究人员指出，G^W检验利用所有投影到正变异性PCA方向上的样本数据信息。在实际应用中，前几个PCA方向通常解释大部分变异，可通过变异系数（CV）选择合适投影维度（推荐CV≥0.9）。模拟结果强调，检验势和稳定性主要由水平-2样本量G决定，而非组内样本量n，因为G是S-W型统计量的有效样本量。研究人员建议当G非常小（如G<20）时需谨慎使用。与Liang等人[7]的投影Mardia检验相比，在适当投影维度下，G^W检验在中等G（G≥40）时具有可比检验势，且其降维完全数据驱动，无需预设投影维度，更具探索性实用性。
**局限性**：当前方法假设平衡的水平-1设计（所有集群n_g=n），未来需扩展至不平衡设计，例如通过重采样、EM算法或数据增广技术。此外，该方法仅适用于连续变量，若SEM包含分类变量则超出范围。
**研究结论**：总结而言，G^W检验为诊断两水平SEM中的多元正态性提供了一个理论扎实、计算可行且经验可靠的工具。研究人员希望它能成为应用研究者工具包中的有用补充，与多水平建模中现有的稳健估计器和诊断程序相辅相成。