分层主动学习概率积分方法在一线性序贯串联系统可靠性分析中的应用

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Hierarchical active learning probabilistic integration for reliability analysis of first-order sequential series systems

　　•研究了一阶序贯串联系统的可靠性分析。•一个主动学习框架用于估计逐级失效概率。•新的获取和停止准则考虑了两个不确定性来源。•主动-被动学习平衡了预测准确性和计算成本。•示例表明该方法在准确性、鲁棒性和效率方面都有所提高。

引言
在概率框架中，结构组件或系统的不确定输入由随机向量 X=[X1,X2,…,Xn]?∈DX?Rn 建模。性能函数 s(x):Rn→R 是一个确定性的映射，其中 s(x)<0 表示失效，s(x)=0 表示极限状态，s(x)>0 表示安全状态。按照惯例，失效概率可以表示为：PF=Ps(X)≤0=∫DX IF(x)f(x)dx，其中 P[?] 是概率运算符；IF(x) 是指示函数：当 s(x)<0 时 IF(x) 等于 1，否则为 0；f(x) 是输入随机向量 X 的联合概率密度函数（PDF）。在大多数实际情况下，上述积分无法以封闭形式求解，因此需要使用解析或数值近似方法。现有方法大致可分为三类：渐近近似、随机模拟和替代辅助方法。渐近近似技术，如一阶可靠性方法 [1]、[2] 和二阶可靠性方法 [3]、[4]，通过使用一阶和二阶泰勒展开来估计最可能的失效点附近的极限状态表面来估计失效概率。然而，当底层极限状态函数表现出强非线性或涉及高维输入时，其准确性会降低。另一类解决方案依赖于随机模拟。最经典的技术是蒙特卡洛模拟（MCS）[5]、[6]，它通过随机抽样来估计失效概率。MCS 具有很强的鲁棒性且应用广泛，但其高计算成本促使人们开发了方差降低技术，如线采样 [7]、[8]、重要性抽样 [9]、[10]、子集抽样 [11]、[12]。尽管这些方法提高了效率，但对于评估成本较高的性能函数来说，它们仍然计算要求很高，这在实际工程中很常见。为了进一步提高计算效率，已经开发了多种替代辅助方法，并将其与传统可靠性分析方法相结合。常见的方法包括支持向量机/回归 [13]、[14]、克里金模型的 [15]、多项式混沌展开 [16] 和响应面 [17] 等，这些方法在降低计算成本的同时展示了良好的失效概率估计能力。为了进一步提高抽样效率，配备主动学习策略的替代模型越来越受到关注 [18]、[19]。最近，Dang 等人引入了一种贝叶斯失效概率估计方法，称为贝叶斯失效概率推断（BFPI）[20]。在 BFPI 框架中，假设性能函数遵循高斯过程（GP）模型。该先验在离散位置对性能函数进行评估后得到更新为 GP 后验。这种后验反过来会诱导出指示函数的后验分布，最终得到失效概率。基于量化的不确定性，可以制定停止准则和学习函数，从而实现贝叶斯主动学习方法，例如主动学习概率积分（ALPI）[21]、部分贝叶斯主动学习积分 [22]、半贝叶斯主动学习积分 [23]、弱贝叶斯主动学习积分 [24] 等。虽然上述方法主要集中在组件可靠性分析上，但实际工程系统通常需要涉及多个相互作用的组件或子系统以及可能的多种失效模式的系统可靠性分析。在实际工程中，系统可以以多种形式配置，由于多个子系统之间的相互作用，它们的失效行为往往非常复杂。典型的配置包括串联系统 [25]、并联系统 [26] 和混合串联-并联系统 [27]、[28]。已经开发了多种系统可靠性分析方法并应用于这些系统配置，包括一阶可靠性方法 [29]、二阶可靠性方法 [30]、重要性抽样 [31]、子集抽样 [32] 以及多种主动学习辅助技术 [33]、[34]。在这些配置中，有一种称为序贯系统的特殊类别，其中子系统通过连接变量以级联方式连接，这些变量同时作为上游子系统的输出和后续子系统的输入。这种系统出现在许多实际工程应用中，包括过程链、多学科仿真工作流和分阶段的物理模型，在这些系统中，每个子系统的输出向前传播并影响下游子系统。尽管这类系统在工程应用中很常见，但与组件和系统可靠性问题相比，针对序贯系统的可靠性分析研究相对有限。Constant 等人 [35] 提出了一种用于序贯模型的主动学习克里金方法（AK-SM）。该方法采用基于高维模型表示的功能分解和插补准则，以避免不必要地评估成本较高的上游模型，从而显著降低计算成本，同时保持高失效概率估计的准确性。Ye 等人 [36] 开发了一种协作式自适应克里金算法，该算法引入了嵌套 U 函数、基于并行重要性抽样的精度增强策略和模型选择机制，为嵌套工程系统的可靠性分析提供了高效可靠的框架。Xu 等人 [37] 提出了一种基于葡萄藤 copula 的分层多尺度不确定性分析框架，该框架通过 R-葡萄藤 copula、Rosenblatt 变换和稀疏多项式混沌展开（SPCE）[38] 准确地模拟了多维依赖性，并通过最小化的系统评估实现了高保真度不确定性量化。Liu 等人 [39] 将基于 [38] 的分层分解和葡萄藤 copula/SPCE 策略应用于不确定性驱动的多级设计优化。Zhang 等人 [40] 将这种分层不确定性分析框架进一步扩展到了混合铝碳纤维增强塑料接头。尽管这些方法理论上适用于多级系统，但报告的示例仅考虑了两阶段配置，并且只处理了由单个极限状态函数描述的单一失效模式。这表明这些方法还不适用于涉及两个以上阶段或由多个性能函数描述的多种失效模式的系统。

在这项工作中，我们考虑了一阶序贯串联系统。这里的序贯串联是指多个失效模式的配置，其中子系统按顺序排列，如果任何极限状态被违反，则系统发生失效。“一阶”一词表示相邻子系统通过单个标量连接变量耦合，该变量既是一个子系统的输出，也是后续子系统的输入。在这种设置下，我们提出了一个分层主动学习概率积分（HALPI）框架，该框架明确考虑了每个 GP 替代模型的内在预测不确定性以及通过连接变量从所有上游 GP 模型传播的预测不确定性。需要澄清的是，本文考虑的传播预测不确定性是指由上游 GP 模型（从第 1 阶到第 i?1 阶）提供的链接变量的不确定估计引起的第 i 个 GP 模型的认知不确定性。这种不确定性源于用于构建 GP 模仿器的有限训练数据，因此与概率目标级联（PTC）[41]、[42] 中考虑的不确定性传播不同。在 PTC 中，与连接变量相关的不确定性通常被视为参数/随机不确定性，其概率特性（例如前两个矩）通过具有规定公差的目标-响应一致性约束在相邻层级之间协调。

本研究的主要贡献可以总结如下。首先，基于贝叶斯失效概率推断（BFPI）[20]，提出了一个分层 BFPI（HBFPI）框架。需要注意的是，这一贡献在于将 BFPI 扩展到用于估计一阶序贯串联系统的逐级失效概率，而不仅仅是提出级联分解结构本身。其次，引入了一种增强的输入公式，以明确分析和分解预测不确定性为两个组成部分：从上游子系统传播的不确定性和每个子系统替代模型的内在不确定性。第三，基于每个 GP 模型的量化预测不确定性，开发了一种新的停止准则，以确保方法的可靠收敛。第四，开发了一种新的获取函数，以指导在停止准则不满足时选择下一个评估点和下一个子系统，从而将计算努力集中在最能有效提高可靠性估计精度的地方。所提出的 HALPI 可以看作是 ALPI 方法 [21] 在一阶序贯串联系统上的扩展。

本文的其余部分组织如下。第 2 节提出了第一阶序贯串联系统的可靠性问题，并概述了适用于这些系统的 MCS 和一体化替代解决方案。第 3 节将 BFPI 框架扩展到一阶序贯系统。第 4 节介绍了所提出的 HALPI 方法，包括新的停止准则、新的学习函数和主动-被动更新机制。第 5 节提供了五个数值和工程示例，以证明所提方法与现有方法相比在准确性、鲁棒性和计算效率方面的优势。第 6 节总结了本研究并讨论了未来的研究方向。

问题表述
本小节首先定义了一阶序贯串联系统，然后扩展了方程 (1) 中的通用失效概率定义，以推导出与此类系统的序列失效事件相关的逐级失效概率。

提出的分层 BFPI 框架
所提出的分层贝叶斯失效概率推断（HBFPI）框架将 BFPI [20] 扩展到一阶序贯串联系统。HBFPI 不是为系统级性能功能构建一个单一的替代模型，而是为每个逐级性能功能构建一个单独的 GP 替代模型。然后通过递归传播 GP 模型的链接变量预测并评估这些预测来估计逐级失效概率。

获取函数
基于第 3.3 节中的后验分布和第 3.4 节中的传播预测不确定性量化（这些措施量化了 GP 模型的预测不确定性），开发了一个用于一阶序贯串联系统可靠性分析的分层主动学习概率积分（HALPI）框架。针对子系统 i，目标是获得稳定的、准确的逐级失效概率估计。因此，需要同时考虑内在不确定性和...

示例
本节介绍了五个案例研究，包括一个涉及铝型材加热和弯曲的有限元仿真，以证明所提方法的有效性。蒙特卡洛仿真结果被用作评估所有比较方法准确性的参考值。比较的方法在表 1 中总结，其中 AK-MCS 表示 [19] 中结合了克里金和蒙特卡洛仿真的主动学习可靠性方法。

结论
本研究提出了一种用于一阶序贯串联系统可靠性分析的分层主动学习概率积分（HALPI）框架。该方法为每个子系统构建了单独的高斯过程（GP）替代模型，并明确考虑了局部 GP 模型的内在预测不确定性和从上游预测传播的预测不确定性。通过引入增强的输入公式和基于方差的不确定性...

作者贡献声明
Zheng Weiming：撰写 – 原稿撰写、可视化、验证、软件开发、方法论、研究、形式分析、概念化。
Dang Chao：撰写 – 审稿与编辑、监督、方法论、研究、概念化。
Yuan Xiukai：撰写 – 审稿与编辑、验证、研究。
Valdebenito Marcos A.：撰写 – 审稿与编辑、验证、监督、项目管理。
Faes Matthias G.R.：撰写 – 审稿与编辑、监督、项目管理。

利益冲突声明
作者声明没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢
本研究由德国研究基金会（DFG）资助 - 项目编号 558590357, 530326817。
Zheng Weiming | Dang Chao | Yuan Xiukai | Valdebenito Marcos A. | Faes Matthias G.R.