GeoPINONet：一种基于稀疏监督学习和物理信息的算子学习方法，用于预测变化多端的3D弹性介质中的全场应力场

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：GeoPINONet: Sparse-supervised physics-informed operator learning for full-field prediction in variable 3D elastic domains

　　•稀疏监督下的算子学习可以预测完整的3D弹性场。
•ActiveCSV将有限元（FEM）锚点移动到关键和高误差区域。
•零样本平均位移的R2值在0.996到0.999之间；应力p95始终低于8%。
•傅里叶特征对于局部应力重建至关重要。
•学习到的50,000个点的场更新在95百分位数下需要4.14毫秒。

引言
许多结构设计和验证工作流程的目标是确保弹性服务状态：组件在指定服务载荷下不会发生屈服，并引入安全系数以减少塑性变形的风险。在这种情况下，实际挑战是在损伤发生之前及时可靠地获取结构变形的全场信息以及应力集中的位置。有限元分析（FEA）仍然是实现这一目的的标准工具[1]、[2]；然而，每次模拟可能需要几分钟到几小时的时间，具体取决于网格分辨率和求解器设置。这一成本限制了其在交互式设计、结构健康监测和数字孪生工作流程中的直接应用，在这些流程中需要对候选几何形状或操作状态进行反复的场评估[3]、[4]、[5]、[6]。由于应力集中是使名义上具有弹性的组件变得关键的机制之一[7]，所需的替代方法不仅要预测平滑的位移场，还要预测局部应力放大。在这种背景下，需要的不仅仅是一个针对单个固定组件的更快替代方法，而是一个在可变三维域范围内仍然有效的基于几何条件的解决方案算子。这里，几何族指的是一组具有相同拓扑结构和边界条件类型但通过参数化设计空间变化的组件。在工程工作流程中，几何形状、边界布局和应力集中器从一个设计迭代到另一个设计迭代会发生变化，相关的高梯度区域在空间上并不会保持对齐——它们会随几何形状移动。传统的FEA将每个几何形状视为一个独立的边界值问题，而许多机器学习替代方法仍然局限于一个固定的域或需要在狭窄的设计类上使用大量标记的数据集[8]、[9]、[10]、[11]。因此，基于学习的替代方法必须能够解决在整个设计空间中位置和强度变化的局部应力集中问题，而不仅仅是在规定的网格上插值平滑场。

科学机器学习的最新进展为这一目标提供了有用的构建块。物理信息神经网络（PINNs）[12]将控制方程纳入训练目标，并已扩展到多个固体力学问题[13]、[14]、[15]、[16]、[17]。神经算子[18]，包括傅里叶神经算子[19]和DeepONet[20]，能够学习函数空间之间的映射，并可以提供快速的在线评估。更近期的几何感知算子，如Geom-DeepONet[21]和Point-DeepONet[22]，在参数化或点云几何形状上显著提高了场预测的速度。尽管如此，现有方法通常侧重于基于广泛标记的模拟语料库的数据驱动算子学习或在简单/固定域上的物理信息学习。这里解决的特定问题是它们的交集：在故意稀疏的FEM监督下，针对三维线性弹性问题的几何条件全场预测，其中主导的应力集中会随几何形状本身移动。与其将几何变化视为纯粹的数据缩放问题，不如将物理作为一个结构规范器，并尝试学习在从有限元参考场派生的稀疏监督锚点覆盖下的几何条件算子。在这种观点下，模型参数编码了在整个几何族中可接受的结构性响应的通用先验，因此对未见几何形状的泛化不仅仅依赖于密集的监督覆盖。因此，将框架限制在线性弹性范围内是与工程实践一致的设计选择：在这一范围内，控制方程允许线性载荷叠加，从而可以在有限组典型响应的范围内连续查询载荷组合。然而，稀疏监督本身也引入了困难：即使FEM数据可以离线获取，如果监督分配不当，仅基于少量节点训练的模型也可能永远无法学习到最重要的区域。在局部应力放大占主导地位的问题中，简单的采样可能会将过多的资源分配给信息量低的区域，而未能充分解决机械关键区域。正是这一缺陷激发了算子及其监督策略的联合设计。

在当前的线性弹性环境中，通过两个不同的层次减轻了FEM的负担。首先，每种几何形状只需要进行两次典型的FEM模拟，就可以通过线性叠加覆盖所有允许的载荷范围，从而避免对组合载荷状态进行额外的FEM运行。其次，在每次离线FEM解决方案中，只使用一小部分节点锚点进行监督，ActiveCSV将这些监督资源重新分配到机械关键且持续困难的区域。在这项工作中，我们引入了GeoPINONet，这是一种针对三维线性弹性的基于几何条件的物理信息神经算子，以及第4.5节中定义的主动关键选择性验证（ActiveCSV）策略。该框架在两个互补的几何族上进行了评估：一个用于控制组件级别的3D凸耳族，另一个用于在移动热点、光谱偏差和稀疏监督分配下控制应力集中学习的板材带孔族。这项工作的主要贡献有三方面：

板材族的范围是W=100–180毫米，H=140–240毫米，D=20–70毫米，在T=20毫米时；凸耳族的范围是W/D=2.0–3.0，e/D=1.5–2.5，t/D=0.4–0.8，在D=20毫米时。每个族使用64个训练几何形状、12个插值验证几何形状和4个受控近边界案例。每种几何形状解决两个1 kN的典型FEM载荷。尺寸输出使用国际单位制（SI）：米、帕斯卡和千牛顿。

(i) GeoPINONet，一种用于在可变域内进行三维线性弹性全场预测的基于几何条件的物理信息神经算子；
(ii) ActiveCSV，一种将稀疏监督资源集中在机械关键和持续困难区域的自适应稀疏监督策略；
(iii) 在几何族之间的验证，其中应力集中随域本身移动，证明了在故意稀疏的标记覆盖下的准确全场推断。

文章的其余部分如下发展：第2节回顾了相关的物理信息、算子学习和几何感知替代方法文献，并指出了GeoPINONet所解决的差距。第3节定义了线性弹性问题、几何族设置和载荷叠加原理。第4节描述了架构，并在图4中提供了完整的方法流程。第5节详细介绍了几何采样、FEM参考生成和评估协议。第6节结果和第7节消融研究报告了零样本结果和组件消融情况，第8节讨论了操作用途和未来的结构健康监测假设。图1总结了整篇论文中使用的工作流程。离线阶段生成允许的几何形状、典型FEM解决方案、点云输入和稀疏监督锚点。训练阶段将这些数据与物理残差和ActiveCSV更新相结合。在线阶段则在未见几何形状、载荷组合、消融和面向部署的模式上评估标准化场，无需重新运行FEM。以物理单位进行重建还需要第4.4节中定义的特定于几何的输出比例。几何资产通过计算机辅助设计（CAD）和立体光刻（STL）表示进行交换。

### 固体力学的物理信息学习
物理信息学习已成为计算固体力学中的一个活跃方向，特别是在标记数据有限且必须保持物理一致性的情况下。物理信息神经网络（PINNs）将控制方程直接纳入训练目标，通过偏微分方程（PDE）残差、边界残差以及在可用时的监督数据项[12]、[23]。它们已应用于各种弹性和

### 问题表述
我们考虑一个均匀的、各向同性的、线性弹性的固体，占据有界域Ω?R3，其边界ΓD∪ΓN是Lipschitz连续的，且ΓD∩ΓN=0?。这里，Ω是物理固体域，?Ω是其边界，ΓD表示Dirichlet（约束）边界部分，ΓN表示Neumann（加载）边界部分。材料的特性由杨氏模量E和泊松比ν决定。本构律中使用的Lamé参数在方程（1）中定义：μ=E2(1+ν)，λ=Eν(1+ν)(1?2ν)。

### GeoPINONet架构
图4展示了GeoPINONet的架构概览。该框架结合了几何编码、多尺度坐标编码、受限场组装和在单一物理信息算子学习流程中的ActiveCSV引导的稀疏监督。无网格的点云表示由PointNet风格的几何编码器处理，而标准化查询坐标通过傅里叶位置编码器处理。融合后的表示被解码为位移和应力。

### 几何族和采样协议
实验研究围绕两个互补的基准族展开。第一个是带有孔的板材族，用作在移动热点、光谱偏差和稀疏监督分配下控制应力集中学习的主要基准。第二个是三维凸耳族，用作具有加载孔和类似支架载荷路径的控制组件级别基准。尽管这两个族在几何形状和参数化方面有所不同，但它们遵循相同的

### 结果
结果分为两个互补的阶段呈现。我们首先从3D凸耳族开始作为组件级别的基准，因为它在两个主要基准中提供了更具机械结构性的情况。然后转向带有孔的板材族作为移动应力集中、光谱偏差和稀疏监督分配的控制基准。其余小节比较了数据驱动的基线、几何计数缩放、样本内拟合以及全三维和平面内

### 消融协议
消融研究围绕与文章主要主张最直接相关的组件进行：监督放置、光谱丰富度和本构一致性。所有变体都在相同的零样本基准上进行了评估，使用相同的几何族、监督预算和优化协议。目标是确定哪些因素对在未见几何形状上进行稳健的应力场重建最为重要。

### 操作模式和实际解释
GeoPINONet旨在支持多种预测场景。根据工程工作流程的不同阶段，相同的训练框架可用于快速的族内评估、未见几何形状的零样本筛选或特定于几何的校准。这些模式并不对应于不同的架构，而是同一基于几何条件的物理信息算子的不同操作用途，它们在几何来源、监督可用性和是否

### 结论
本研究介绍了GeoPINONet，这是一种在从FEM参考解决方案中提取的稀疏节点监督下，用于三维线性弹性结构中全场位移和应力预测的基于几何条件的物理信息神经算子。其主要目标不是普遍替代有限元分析，而是解决结构工程中一个实际重要的特定问题：在可变几何族上进行快速的全场评估，其中主导的

### CRediT作者贡献声明
Vicente Urrutia Valdés：写作 – 审阅与编辑、撰写原始草稿、可视化、验证、软件、项目管理、方法论、调查、形式分析、数据策划、概念化。
Iván La Fé-Perdomo：写作 – 审阅与编辑、验证、监督、资源。
Angel Rodríguez Soto：写作 – 审阅与编辑、监督。

### 生成式AI的使用声明
在准备这项工作时，作者使用了Claude（Anthropic）来辅助英语语法、可读性和LaTeX格式化。使用该工具后，作者根据需要审阅和编辑了所有内容，并对发表文章的科学内容负全责。

### 资金支持
这项工作得到了智利庞培法卡利卡天主教大学（PUCV）的支持，通过Google Colab信用提供的计算资源。

### 竞争利益声明
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

### 致谢
作者衷心感谢智利庞培法卡利卡天主教大学（PUCV）的机构支持。Vicente Urrutia Valdés还感谢Catalina Berrios Cáceres在本手稿准备过程中的个人支持和鼓励。

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