一种用于奇异 Lane-Emden 型方程的受 DNA 启发的物理信息机器学习框架

《Astronomy and Computing》：A DNA-Inspired Physics-Informed Machine Learning Framework for Singular Lane–Emden Type Equations

　　

摘要
本文研究了一类在数学物理和天体物理学中具有重要意义的非线性奇异微分方程，具体为 Lane–Emden 型方程，此前此类方程已通过经典的半解析和数值方法进行了研究。不同于基于离散化的经典方法，我们引入了一种结合物理信息神经网络 (PINN) 的混合 DNA 基人工神经网络 (DNA-ANN) 框架，并采用拟牛顿 L-BFGS 优化方法进行训练，以提供一种计算高效且稳定 的数值求解方法。首先，我们在对非线性源项和初始数据做出适当假设的前提下，建立了解的存在性和正则性，从而使该奇异初值问题适定。微分方程在 DNA 启发的神经计算框架内进行了重构，其中反应网络概念为系统动力学提供了可解释的表示。DNA 启发的公式化并不是要取代 PINN 求解器，而是提供了一种基于生物学的动力学表示，指导控制方程的一阶重构，并为后续的 PINN 实现提供了可解释的概念框架。随后，该微分方程在物理信息神经网络 (PINN) 框架内求解，其中控制方程和奇异初始条件被纳入损失函数。基于残差的理论分析在适当假设下建立了局部适定性以及一致性、收敛性和稳定性。网络参数使用混合 Adam/L-BFGS 训练策略进行优化。数值结果表明，所提出的框架能够为代表性的奇异 Lane–Emden 型方程提供准确的无网格近似，并突显了 DNA 启发的计算抽象在物理信息科学机器学习中的潜力。

引言
Lane–Emden 方程是一类经典的非线性奇异常微分方程，在数学物理和天体物理学中具有核心重要性。该方程最早由 Jonathan Homer Lane 于 1869 年在其对太阳表面密度和温度分布的研究中提出，但正是 Robert Emden 的系统研究发展了流体静力学平衡下气体恒星的理论 (Lane, 1869, Emden, 1907)。如今，Lane–Emden 方程已成为自引力多方气体球的标准模型，其中密度的平衡分布是由压力和引力的相互作用建立的。

从数学角度来看，Lane–Emden 方程之所以具有挑战性，是因为其在原点处存在奇异性，因此只有在有限数量的多方指数下才能找到闭式解。Lane-Emden 方程的精确解仅对少量的 m 值已知，对于所有其他值，解必须是数值或近似的 (Kamarul Bahrim and Misro, 2025)。除了恒星结构领域，Lane–Emden 型方程还在等温气体球、热电子发射、辐射冷却以及最近的工程和生物医学建模等不同背景下得到了研究 (Charkrit, 2025)。

同伦摄动法 (HPM) 已被广泛用于 Lane–Emden 方程，作为一种强大的半解析技术，用于获得其非线性、奇异形式的快速收敛级数解 (Ramos, 2008, Chowdhury and Hashim, 2007)。同伦分析法 (HAM) 也被用于通过辅助参数控制收敛，为不同的多方指数提供灵活且可靠的解析解 (Liao, 2003)。

近年来，研究重点集中在基于谱和配点的数值格式上，特别是伯恩斯坦运算矩阵方法和 sinc 配点方法，以针对更广泛的多方指数范围获得更高的效率和通用性 (Kamarul Bahrim and Misro, 2025, Haji and Alipanah, 2025)。尽管如此，Lane–Emden 方程仍然是现代计算框架开发的试金石，特别是在结合鲁棒性、灵活性和物理可解释性的情况下，使该方程至今仍像过去一样相关。人工神经网络也被用于 Lane–Emden 方程的数值处理。早期的神经网络方法包括多层感知机模型和针对奇异 Lane–Emden 型方程的切比雪夫神经网络公式化 (Verma and Kumar, 2019, Verma and Kumar, 2020, Mall and Chakraverty, 2014)。最近，物理信息神经网络 (PINN) 已被直接应用于 Lane–Emden 型方程，包括标准 PINN 公式化、基于符号 GEPINN 的方法和多项式增强 PINN 模型 (Baty, 2023, Dana Mazraeh and Parand, 2024, Zheng et al., 2024, He et al., 2020)。这些研究证明了基于神经网络和物理信息的方法作为奇异 Lane–Emden 问题经典数值技术的替代方案的巨大潜力。

由于其核苷酸序列的可编程性以及锚点介导的 DSD 反应的确定性反应动力学，基于 DNA 的计算架构已成为传统基于硅的计算系统的互补范式。在基于 DNA 的 ANN 中，DNA 分子的分子浓度及其之间的人工工程反应路径实现了加权求和、激活和竞争等神经功能。更具体地说，无酶 DSD 电路可以实现乘法、加法以及胜者全取/败者全取功能，从而产生一种可扩展的基于分子的 ANN 架构，该架构可以高度并行化并且能耗极低 (Chen et al., 2023, Rodriguez and Doty, 2021)。

最近，DNA-ANN 的理论基础与化学反应网络理论和连续时间动力系统得到了严谨的关联。每个链置换反应都由非线性类型的常微分方程 (ODE) 支配，并基于质量作用动力学，因此 DNA-ANN 是等效于循环神经网络的动态系统模型。这种动态系统视角允许将 DNA-ANN 架构与微分方程模型直接关联，从而不仅将它们用于模式识别和分类问题，还用于微分方程的数值建模，甚至用于一般物理和生物系统的建模 (Chen et al., 2023, Rodriguez and Doty, 2021, Zhang and Han, 2023)。

机器学习正迅速成为科学计算和非线性微分方程数值解的关键赋能技术。具体而言，物理信息神经网络 (PINN) 提供了一种可行的替代方案，将深度学习与对动力学系统物理的理解相结合。与完全数据驱动的方法不同，底层微分方程被纳入 PINN 的损失函数中，从而在缺乏大量训练数据集的情况下实现物理信息学习 (Raissi et al., 2019)。

在 PINN 框架内，神经网络近似未知状态变量，并在需要时执行自动微分。损失函数通常源于控制方程的残差和来自初始/边界条件的约束。这提供了一个无网格的通用近似器，并已被证明在许多非线性情况下有效 (Raissi et al., 2019, Lu et al., 2021)。

然而，当仅依赖一阶方法时，训练效率仍可能受到不利影响。因此，拟牛顿方法，特别是有限内存 BFGS (Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno) 方法，被用于提高收敛性。基于随机梯度方法（如用于粗略优化的 Adam 和用于精细优化采样的 L-BFGS）的混合优化器在物理信息学习环境中是最稳定和最准确的 (Wang et al., 2022, Liu et al., 2022)。

因此，L-BFGS 优化的 PINN 已被证明对于多样的科学和工程问题是有效的。这些发展使得 PINN-L-BFGS 方法能够建立一个用于科学建模的机器学习框架，其中神经网络学习物理定律解（而不是仅从数据中学习）(Pal et al., 2025, Kopani?áková et al., 2024)。

在本文中，我们使用基于 DNA 的物理信息神经网络 (PINN) 和 L-BFGS 算法数值求解奇异 Lane–Emden 型方程。最近的研究表明，标准物理信息神经网络可以通过通过自动微分直接最小化控制微分方程残差来成功近似 Lane–Emden 型方程的解 (Baty, 2023, Dana Mazraeh and Parand, 2024, Zheng et al., 2024, He et al., 2020)。特别是，Baty (Baty, 2023) 表明 PINN 为非线性 Lane–Emden 模型提供了一个有效的无网格框架。然而，这些研究主要采用传统的 PINN 架构，并未在物理信息学习阶段之前考虑控制方程的受生物启发的动态系统表示。受这些发展的启发，本研究引入了一种 DNA 启发的计算抽象，作为 PINN 公式化之前的概念动力学层。据作者所知，之前的研究尚未将这种 DNA 启发的表示与 PINN 框架集成用于奇异 Lane–Emden 型方程的数值求解。与标准的基于离散化的数值或半解析方法不同，我们将 Lane–Emden 方程重构为一个物理信息机器学习问题，其中控制方程和奇异初始条件被编码在损失函数中。神经网络提供一个近似解的连续试验函数，而自动微分则产生必要的导数。混合 PINN–L-BFGS 算法解决了由此产生的约束优化问题，在不生成网格或级数截断的情况下，为 Lane–Emden 方程提供了精确且稳定的数值解。受这些挑战的启发，本研究开发了一种 DNA 启发的物理信息神经网络 (DNA-ANN–PINN) 框架用于求解奇异 Lane–Emden 型方程。拟议的 DNA 启发公式化并没有模仿生化 DNA 过程，而是作为一种计算抽象，激发了控制动力学的一阶反应网络表示。随后，该表示被嵌入到物理信息学习框架中，使得控制方程和奇异初始条件能够在网络训练期间直接执行。

本工作的主要贡献可总结如下：
(i) 一种受生物启发的计算抽象，将奇异 Lane–Emden 方程重构为适用于物理信息学习的一阶反应网络表示；
(ii) 一种由两阶段 Adam/L-BFGS 训练策略优化的混合 DNA-ANN–PINN 框架，用于求解奇异初值问题；
(iii) 通过在近原点处施加物理信息初始条件约束来系统地处理奇异性；
(iv) 一种基于残差的理论分析，在明确假设下建立了局部适定性以及一致性、收敛性和稳定性；
(v) 使用解析解以及独立的 DOP853 和 HPM 基准参考解进行全面的数值验证。

本文结构如下。第 2 节提供 Lane–Emden 方程及其物理动机和性质。第 3 节描述了提出的基于 DNA 的人工神经网络 (DNA-ANN) 和具有 L-BFGS 优化的物理信息神经网络 (PINN) 以及数值算法。第 4 节提供了所提出框架的理论分析，包括适定性、一致性、收敛性和稳定性结果。第 5 节提供了 Lane–Emden 方程的数值示例，并讨论了方法的准确性和效率。第 6 节总结全文。

章节片段
Lane–Emden 方程：物理动机与性质
许多数学物理和天体物理问题可以重构为一类称为 Lane–Emden 型方程的奇异初值问题 (Lane, 1869, Haji and Alipanah, 2025)。本文研究的 Lane–Emden 方程的一般形式由下式给出：
y″(x)+2xy′(x)+f(y)=0, 00 使得奇异 Lane–Emden 问题
y″+2xy′+f(y)=0, y(0)=α, y′(0)=0
存在唯一的正则解
y∈C2([0,R])。
证明。将微分方程乘以 x2 得到
(x2y′)′=?x2f(y)。
在 [0,x] 上积分并使用正则性条件 y′(0)=0 得到
y′(x)=?1/x2 ∫0x s2f(y(s))ds。
第二次积分得到等价的沃尔泰拉积分方程
y
数值验证 DNA-ANN–PINN–L-BFGS 方法用于 Lane–Emden 方程
第 3 节描述的 DNA-ANN–PINN–L-BFGS 框架应用于这些问题。精确解表示为区间 [0,1] 上的连续函数，而通过所提出方法获得的数值解在一组有限的离散配点上进行评估。

为了评估所提出的 DNA-ANN–PINN 框架，考虑了几个代表性的 Lane–Emden 型方程。根据参考解的可用性，数值结果与...进行对比 (注：原文此处截断)

结论
在本工作中，引入了一种 DNA 启发的物理信息神经网络 (DNA-ANN-PINN) 模型，采用两阶段 Adam/L-BFGS 策略进行优化，并应用于寻找奇异 Lane-Emden 型方程的数值解。该方法结合了受生物启发的概念与物理信息学习策略，同时将微分方程和初始条件纳入神经网络训练过程。

不同于传统的 PINN 模型，DNA 启发的模型... (注：原文此处截断)

CRediT 作者贡献声明
Ahmet Yildirim: 写作 – 初稿，可视化，验证，监督，软件，资源，项目管理，方法论，调查，资金获取，形式分析，数据整理，概念化。
Ahmet Yildirim