基于区域指示材料不连续性捕获物理信息神经网络的混凝土重力坝温度场模拟与反演

《International Journal of Thermal Sciences》：Simulation and inversion of temperature fields in concrete gravity dams based on region-indicating material discontinuity capturing physics-informed neural network

　　

•克服了 PINN 在多材料界面中的局限性。
•避免了域分解方法中的子网络设置。
•在稀疏样本和病态条件下实现精确反演。
•减少初始偏差影响及对专家初始化的依赖。

1. 引言
作为一种广泛采用且重要的结构形式，混凝土重力坝的长期安全稳定运行至关重要。除了满足基本力学强度要求外，大体积混凝土结构在施工和运营期间由水泥水化热和环境温度变化引起的显著热应力，是导致坝体开裂的关键因素之一 [1,2]。这种热裂缝不仅损害了结构的完整性和连续性，还严重削弱了其耐久性、抗渗性和长期安全性。因此，准确模拟混凝土重力坝的温度场和热应力对于评估开裂风险、制定裂缝预防措施以及确保大坝的长期安全至关重要 [3]。然而，在实际工程应用中，如何建立能够准确反映大坝复杂热边界条件和材料热物性的模拟模型，同时有效整合施工和运营期间的实测温度数据，以实现关键材料参数的精确反演和优化，从而确保高度可靠的模拟结果，一直是持续的研究焦点和挑战 [4,5]。

目前，求解混凝土大坝温度场主要有三种方法：理论解析解 [6]、有限差分法 (FDM) [7] 和有限元法 (FEM) [8]。理论解析法适用于边界条件相对简单的一维温度场问题，通常采用拉普拉斯变换法和分离变量法。基于固体热传导理论，该方法建立实际工程边界和初始条件，推导出温度分布的解析函数表达式。然而，对于涉及复杂边界条件的实际工程问题，解析解的推导变得极具挑战性。FDM 的核心在于用不同的近似值替换导数，将控制微分方程和边界条件转化为线性代数方程组进行求解。该方法在原理直观和计算效率高方面具有优势，特别是对于边界规则的低维问题。然而，它对具有不规则边界的多维问题适应性较差；此外，解的稳定性和收敛性强烈依赖于网格大小和时间步长的选择，使得数值实现复杂化 [9]。FEM 目前是对付具有复杂边界条件的多维温度场的主流方法。它主要将计算域离散化为有限元，通过形状函数利用节点温度插值单元温度场，并求解全局线性方程组以获得全场温度分布。FEM 的优势在于其对复杂几何形状和边界条件的有效性。然而，它面临网格依赖性问题，其中解的精度受网格密度和质量的影响 [10]。尽管目前的数值方法在一定程度上能够满足实际工程对温度场模拟的需求，但仍需开发适应性更强的算法以应对日益复杂的工程需求。

除了算法本身，材料参数的准确性是影响混凝土大坝温度场数值模拟可靠性的关键因素之一 [11]。传统的参数反演方法主要依赖于优化算法与数值正演模型的耦合。通过迭代调整参数并执行正向计算，这些方法旨在实现模型预测温度与从大坝表面稀疏分布的监测点获得的实测数据之间的最佳拟合，从而实现参数识别和温度场重建。目前应用的优化算法包括直接搜索优化 [12]、差分进化 (DE) [13]、粒子群优化 (PSO) [14,15] 和遗传算法 (GA) [16,17]。尽管这些优化方法通过长期发展已证明有效，但在实际应用中仍面临重大挑战。一方面，反演过程需要重复调用计算密集的正向模拟，导致时间成本高——特别是对于大型、复杂的大坝模型。此外，在实际工程中，由于安装成本和结构限制，大坝表面的监测点通常表现出空间稀疏性和数据有限性。这往往导致约束不足和问题的病态性，致使传统反演方法失效。因此，迫切需要开发一种高效、鲁棒且融合物理的反演方法来克服这些局限性，提高温度场模拟的准确性和可靠性。

近年来，深度学习，特别是神经网络的快速发展，由于其强大的非线性映射能力和数据驱动特性，在 numerous 领域显示出巨大潜力。在此背景下，物理信息神经网络 (PINN) 被提出，为求解复杂物理问题提供了一个创新框架 [[18], [19], [20]]。PINN 的核心概念在于利用自动微分构建物理约束损失函数，从而将控制方程嵌入到神经网络训练过程中，引导网络逼近物理系统的真实解 [21,22]。与传统的基于网格的方法（如 FEM, FDM）相比，PINN 提供了一种无网格求解范式，通过消除复杂的网格生成显著简化了预处理 [23]。目前，PINN 已成功应用于求解 diverse 方程系统 [[24], [25], [26]] 和工程问题，包括固体力学 [[27], [28], [29]]、流场 [30,31]、温度场 [32,33] 和电磁场 [34,35]。关于温度场的前向和反向问题，对于均质材料已取得实质性进展。例如，He 等人 [36] 开发了一种具有跳跃连接的耦合神经网络框架，以准确反演热传导方程中的未知参数。Yang 等人 [37] 提出了一种物理信息卷积神经网络，用于拱坝温度场的时空预测，并成功重构了温度分布。然而，这些研究主要关注均质问题，因为传统的 PINN 对于系数固定的偏微分方程 (PDE) 表现良好，但在求解涉及不连续材料系数的问题时面临重大挑战——例如在实际工程中常见的非均质界面 [38]。

不连续材料界面的异质性引入了局部特征，增加了前向求解的难度并 complicating 了反演分析 [39]。对于此类不连续系数问题，主要方法涉及域分解技术 [[40], [41], [42], [43]]。例如，Wang 等人 [44] 开发了一种具有深度能量最小化的域分解方法 (DEM) 来求解涉及两种不同材料的前向异质问题。Diao 等人 [45] 将域分解嵌入到多任务学习 PINN 中，用于两种材料异质的前向分析。Zhang 等人 [46] 解决了多材料的反演分析并研究了几何参数。Zhang 等人 [47] 利用多域物理信息神经网络求解分层介质中稳态热传导的前向和反向问题。然而，域分解需要适应不连续系数或解的子网络数量，这大大增加了神经网络参数并使训练复杂化 [48]。为了解决这个问题，Hu 等人 [49] 提出了一种维度增广方法，用于求解界面问题和具有不连续系数的 PDE，有效地消除了每个子域训练单独子网络的需要并降低了训练难度。

基于混凝土重力坝温度场问题的特征和 PINN 的局限性，本文提出了一种基于 RIMDC-PINN（区域指示材料不连续捕获物理信息神经网络）的解决方案框架，旨在高效解决大坝温度场的前向和反演分析。该框架通过引入材料指示坐标来增广输入空间，将分段连续的物理场转化为单个神经网络可以学习的连续形式。在此基础上，结合 Mortar 方法来施加界面连续性边界条件，使单个网络能够有效处理材料界面问题。考虑到混凝土重力坝温度场问题的特征，进一步采用迁移学习方法以提高求解精度和效率。与传统的 PINN 及其域分解变体相比，RIMDC-PINN 可以有效避免界面处的精度损失和子网络增殖问题。更重要的是，界面处嵌入的物理约束为参数反演提供了更强的正则化，显著提高了反演鲁棒性。

本文的其余部分结构如下：第 2 节给出了温度场的控制方程和边界条件。第 3 节概述了求解多材料混凝土重力坝温度场前向和反问题问题的计算框架。第 4 节温度场前向问题和第 5 节混凝土重力坝材料参数反演识别 通过具体的数值例子验证了所提出的算法。最后，第 6 节讨论和第 7 节结论 提供了本工作的讨论和结论。

2. 温度场控制方程和边界条件
2.1. 温度场控制方程
遵循傅里叶热传导定律，热通量与温度梯度成正比，如文献 [3,50] 所示：
(1) q = -k?T
其中 k 是材料的热导率（单位：W/(m·K)），?T 是温度梯度，负号表示热流方向与温度增加方向相反。
考虑一个包含内部热源（强度 Q 为 W/m3）的物体。基于散度定理，热通量相对于内部热源的散度为：
(2) ?·q = Q
将方程 (1) 代入方程 (2) 得到稳态温度场的通用控制方程：
(3) ?·(k?T) + Q = 0
在笛卡尔坐标系 (x, y, z) 中展开为：
(4) ?/?x(kx ?T/?x) + ?/?y(ky ?T/?y) + ?/?z(kz ?T/?z) + Q = 0
其中 kx, ky, kz 分别表示材料在 x, y, z 方向上的热导率。
对于热导率 k 恒定且无内部热生成 (Q = 0) 的均质材料，方程简化为拉普拉斯方程：
(5) ?2T/?x2 + ?2T/?y2 + ?2T/?z2 = 0

2.2. 温度场边界条件
对于稳态温度场，控制微分方程的求解条件仅由边界条件组成。这些在不同边界部分指定的边界条件可表示如下 [3]：
(1) 第一类边界条件（狄利克雷条件）：
当表面上任意一点在所有时间的温度被指定时，边界条件由下式给出：
(6) T(x,y,z)|Γ = T0
其中 Γ 是物体边界。
(2) 第二类边界条件（诺伊曼条件）
当温度分布未知但边界处的法向热通量被指定时，边界条件采取以下形式：
(7) kn ?T/?n |Γ = -q(T,x,y)
其中 n 表示边界的法向外向量。对于绝热边界，条件简化为 kn ?T/?n |Γ = 0。
(3) 第三类边界条件
物体边界上任意一点在所有时间实例的对流换热条件是已知的。根据对流换热定律，单位时间内从物体表面到周围介质的热通量密度与它们之间的温差成正比，表示为：
(8) -k ?T/?n |Γ = β(T - Ta)
其中 β 表示对流换热系数，Ta 表示环境温度。
(4) 界面连续性边界条件
当由不同材料组成的固体在界面处接触时，如果表面完美结合，界面两侧的温度和热通量保持连续，即：
(9) T1 = T2
k1 ?T1/?n = k2 ?T2/?n
其中 T1 和 T2 分别表示材料 1 和材料 2 侧界面的温度，k1 和 k2 是对应的热导率。

3. 基于 RIMDC-PINN 的求解框架
3.1. 物理信息神经网络
物理信息神经网络 (PINN) 是创新的深度学习模型，将物理定律直接纳入神经网络结构中 [20]。神经网络拟合输入数据以产生预测。然后，应用自动微分技术从这些预测中计算物理方程的残差。这些残差作为正则化项被纳入损失函数。使用梯度下降优化，网络参数（权重和偏差）被不断调整以最小化包含数据误差和物理约束的复合损失函数。当物理方程的残差满足预设收敛准则时，训练终止。值得注意的是，PINN 即使在观测数据稀缺的情况下也能有效学习系统的内在物理定律，使其特别适用于求解描述各种物理现象的一般化微分方程 [51]。
(10) { ut + Nx[u] = 0, x∈Ω, t∈[0,T]
u(x,0) = h(x), x∈Ω
u(x,t) = g(x,t), x∈?Ω, t∈[0,T] }
其中 Nx 是任意线性或非线性微分算子；x∈Rd 和 t 分别表示空间和时间坐标；Ω 和?Ω 表示计算域及其边界；u(x,t) 是满足初始条件 h(x) 和边界条件 g(x,t) 的偏微分方程的解。

3.2. RIMDC-PINN
区域指示材料不连续捕获物理信息神经网络 (RIMDC-PINN) 方法的核心概念源于 Mortar 方法。

Mortar 方法是一种用于耦合涉及非匹配网格问题的数值区域分解技术，通过在其接口处施加“弱连续性条件”来实现子域间的耦合。该条件通常被表述为接口通量上的积分匹配约束 [52,53]。这种方法消除了对接口处严格匹配网格的要求，显著增强了复杂结构有限元建模的灵活性。受此原理启发，近年来出现了各种基于区域分解策略的物理信息神经网络（PINN）方法。然而，传统的区域分解 PINN 通常要求为每个子域训练一个独立的神经网络，然后进行联合优化。这不可避免地引入了众多额外的超参数，大幅增加了计算复杂度和求解难度。为了有效克服这一局限，RIMDC-PINN 引入了将 d 维分段连续函数映射到 (d+1) 维连续函数空间的概念 [49]。具体而言，该方法引入了一个额外的坐标维度作为“材料区域指示函数”，使得原本分段定义的物理场能够在扩展的高维空间中表示为全局连续函数。此后，应用核心 Mortar 原则——即在材料界面处强制施加“弱连续性条件”——来解决多材料混凝土坝温度场模拟和参数反演问题。这种创新的方法论框架（见图 1）在保持区域分解灵活性的同时，消除了对独立子区域网络的需求。此外，它在单一框架内统一了优化变量，从而避免了多网络联合优化固有的复杂性和协调挑战，并导致了有效的模型复杂度降低。

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图 1. RIMDC-PINN。

在 RIMDC-PINN 中，全域函数可以用增广函数重写为：
(11)
?(x) = { ?_aug(x, m1) 如果 x ∈ Ω1
?_aug(x, m2) 如果 x ∈ Ω2
...
?_aug(x, m3) 如果 x ∈ Ω3 ...
其中 x ∈ Ω, m_i ∈ R，且 Ω1, Ω2, Ω3 是对应的子域，因此通过标记变量 m 的作用，全域函数可以被视为定义在更高维空间中的连续函数，并限制在其各自的子域上。

3.3. 求解框架

3.3.1. 无量纲归一化与损失函数构建

基于第 3.2 节提出的 RIMDC-PINN 方法的核心原理，本节为多材料混凝土重力坝温度场的正问题和反问题建立了完整的求解框架。为了消除具有不同物理含义的损失项之间的量纲不一致性，确保加权复合损失函数的物理自洽性，并增强神经网络训练的数值稳定性，应在构建损失函数之前，将所有涉及的控制方程和边界条件中的物理量转换为无量纲形式。各物理量的无量纲形式定义如下：
(12)
x* = x / L_ref, y* = y / L_ref, z* = z / L_ref
(13)
k* = k / k_ref
(14)
T* = (T - T_ref) / ΔT_ref
(15)
q* = q · L_ref / (k_ref · ΔT_ref)

其中 L_ref 是计算域的几何参考尺度，取为模型的最大尺寸（即坝基的总长度），k_ref 是参考热导率，对于材料参数，采用坝体混凝土热导率 k1 作为参考值，T_ref 是参考温度，设为 0 °C，ΔT_ref 是特征温差，基于水温变化范围取为 20 °C。

对于对流换热边界条件，对流换热系数 β 转换为无量纲毕渥数（Biot number）。
(16)
Bi = β · L_ref / k_ref

无量纲化后，均匀各向同性材料中的稳态热传导控制方程保持其数学形式不变。
(17)
?2T*/?x*2 + ?2T*/?y*2 + ?2T*/?z*2 = 0

三种类型的边界条件转换为以下无量纲形式：
(18)
T* = T0*
-k*·?T*/?n* - q* = 0
-k*·?T*/?n* - Bi·(T* - Ta*) = 0

不同材料之间的界面连续性条件转换为以下无量纲形式：
(19)
T1* = T2*
k1*·?T1*/?n* = k2*·?T2*/?n*

为简化后续表述，本节其余部分省略无量纲上标“*”，此后所有物理量均理解为其无量纲形式。

总损失函数构建为 PDE 控制方程损失、边界条件损失、界面连续性损失和数据拟合损失的加权总和。由于所有子项在归一化后均为无量纲标量，因此加权系数 λ_i 是无量纲超参数。损失函数定义如下：
(20)
Loss = λ1·LPDE + λ2·LΓ1 + λ3·LΓ2 + λ4·LΓ3 + λ5·LΓ4 + λ6·Ldata
(21)
LPDE = (1/Np) · Σ(i=1 to Np) (?2T_pred(xi, m)/?x2 + ?2T_pred(xi, m)/?y2 + ?2T_pred(xi, m)/?z2)2
(22)
Ldata = (1/Nd) · Σ(i=1 to Nd) (T_pred(xi, m) - T_data(xi))2
(23)
LΓ1 = (1/N1) · Σ(i=1 to N1) (T_pred(xi, m) - T0(xi))2
LΓ2 = (1/N2) · Σ(i=1 to N2) (-k·?T_pred(xi, m)/?n - q(xi))2
LΓ3 = (1/N3) · Σ(i=1 to N3) (-k·?T_pred(xi, m)/?n - Bi·(T_pred(xi, m) - Ta))2
LΓ4 = (1/Na) · Σ(i=1 to Na) (T1,pred(xi, m1) - T2,pred(xi, m2))2 + (1/Nb) · Σ(i=1 to Nb) (k1·?T1,pred(xi, m1)/?n - k2·?T2,pred(xi, m2)/?n)2

其中 λ_i 表示损失项的无量纲加权系数，Ni 表示采样点数量，xi 是无量纲空间坐标向量，m 是材料指示器，T_pred(xi, m) 是无量纲网络预测温度，T_data 表示利用上述缩放公式从监测数据中得出的无量纲观测温度。

3.3.2. 温度场正问题和反问题求解框架

基于上述无量纲归一化的多约束损失函数系统，本节为混凝土重力坝的温度场正问题分析和反参数识别建立了单独的流程。关于正问题求解，传统的 PINN 方法往往面临计算效率低下和收敛困难的问题，与有限元法（FEM）等成熟的数值方法相比表现明显较差。为了克服这些局限并提高求解效率，我们开发了一种结合坝体温度场季节性演化模式与迁移学习机制的创新策略。对于物理演化呈现渐变性的时间相邻月份（例如三月和六月），将已求解的月度温度场的收敛网络参数（权重和偏置）作为先验知识迁移，以初始化后续月份的求解网络。在此过程中，在应用 RIMDC-PINN 框架之前，动态调整边界条件以反映月度环境温度变化。这种方法的物理基础在于季节性温度场的时间演化连续特性以及控制热传导方程在时间维度上的参数连续性，这共同确保了参数迁移的物理有效性。图 2 的“正问题”部分展示了完整的算法工作流。这种纯物理驱动的方法不需要监测数据进行训练，因此从损失函数中排除了 Ldata 项。通过最小化包含控制方程和边界条件的损失函数（公式 (21) 和 (23)）来获得温度场解。

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图 2. 混凝土重力坝温度场正问题和反问题求解框架。

对于多材料混凝土重力坝的热参数识别反问题，其与正温度场求解的核心区别主要体现在两个方面。首先，待识别的未知参数必须定义为神经网络内的可训练变量，以便在训练期间进行自动优化。其次，必须整合有限的现场监测数据，以建立用于参数识别的数据驱动约束。具体而言，反问题的损失函数（公式 (22)）通过在正问题损失函数基础上添加数据不匹配项（Ldata）并将材料参数嵌入联合优化空间内的变量中来扩展。图 2 的“反问题”部分详细介绍了 RIMDC-PINN 算法的反演工作流。其核心创新在于引入了额外的界面物理约束机制，即在材料界面处施加热通量连续性条件（公式 (9)），以补充传统的边界条件约束。这种基于强物理的约束服务于两个关键目的：(1) 它显著加强了对反演参数的物理约束，有效减少了可行解空间；(2) 它明确强制了不同材料参数之间的物理耦合关系（例如界面两侧材料的热导率）。这种对参数耦合的显式约束至关重要，因为它能够利用与支配界面热通量的高敏感参数之间的物理关系，有效识别低敏感参数——即使在直接参数估计具有挑战性时，也能显著提高反演精度和鲁棒性。与传统的基于 PINN 的反演方法相比，这种融合基于物理守恒定律的界面约束的方法，有效提高了参数反演的准确性和可靠性。因此，它为涉及多材料系统内界面的反问题提供了一种新的解决方案方法。

4. 温度场正问题

本节首先通过具有解析解的二维温度场基准验证 RIMDC-PINN 对多材料问题的有效性和精度。通过与传统 PINN 解的比较来建立性能，同时研究不同边界条件下迁移学习的有效性。随后，通过二维和三维混凝土重力坝的温度场求解进行验证。

4.1. 具有解析解的二维温度场问题

4.1.1. 模型配置与参数

本节采用具有解析解的基准案例，其计算域几何如图 3 所示。顶部和底部边界施加绝热边界条件。该域包含两种不同的材料，材料界面位于 x = 1 m 处。热导率满足关系 k2 = 10k1。考虑两种边界温度情况：案例 1 左边界温度 TL = 10 °C，右边界温度 TR = 2 °C；案例 2 中 TL = 5 °C，TR = 1 °C。这两种情况均存在解析解（参见公式 (24) 和 (25)）。首先对案例 1 进行求解，随后通过模型参数迁移技术，将案例 1 的参数迁移以完成案例 2 的求解。
(24)
T(x) = { 10 - 40/7·x 对于 0 ≤ x ≤ 1
34/7 - 4/7·x 对于 1 < x ≤ 5
(25)
T(x) = { 5 - 20/7·x 对于 0 ≤ x ≤ 1
17/7 - 2/7·x 对于 1 < x ≤ 5

其中 T(x) 是两层介质中无内热源的稳态热传导问题温度分布的解析解。

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图 3. 模型示意图。

本研究使用 PyTorch（版本 2.5.1）实现了该模型，训练在一台配备 Intel? Core? i9-14900K CPU 和 NVIDIA GeForce RTX 4070 GPU 的工作站上完成。所有张量计算通过 CUDA 利用 GPU 加速。本工作中的所有训练程序均采用单精度（float32）浮点运算。对于本节中的数值案例，在计算域内随机采样 1421 个配点（图 4）以构成训练数据集。由于 tanh 激活函数具有无限可微性，整个网络架构中均采用 tanh 激活函数。优化策略结合了 Adam 和 L-BFGS：使用 Adam 进行初始粗调，随后使用 L-BFGS 进行微调。初始学习率设为 0.01（迁移阶段为 0.001），并结合学习率衰减计划以加速收敛。实施梯度裁剪以防止梯度爆炸并增强训练稳定性。详细的神经网络超参数——包括层数、每层神经元数和激活函数——见表 1。网络架构根据问题的复杂度进行配置。

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图 4. 配点分布。

表 1. 神经网络参数信息。
| 神经网络参数 | 值 |
| :--- | :--- |
| 层数 | [16] × 3 |
| 优化器 | (Adam) + (L-BFGS) |
| 激活函数 | tanh |
| 初始学习率 | 0.01 / 0.001 (迁移) |
| 轮次 (Adam) | 1500 / 500 (迁移) |
| 轮次 (L-BFGS) | 500 / 100 (迁移) |

4.1.2. 结果分析

模型训练期间损失函数值的变化如图 5 所示。代表迁移学习的红色曲线在初期迅速下降（在大约前 200 轮内），在 250 轮左右收敛至 10?3 数量级，此后保持稳定。相比之下，没有迁移学习的蓝色曲线初期下降较慢且波动较大。它在 1500 轮后仅通过 L-BFGS 优化器加速收敛，最终达到相似损失值。然而，其收敛速度显著落后于迁移学习。这种比较表明，迁移学习通过利用先验知识减少优化景观的复杂性来加速收敛。没有迁移初始化的模型由于随机初始化导致了更高的探索成本，从而导致更漫长和不稳定的优化轨迹。对于改变边界条件的问题，迁移学习可以有效降低计算成本。

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图 5. 训练收敛曲线。

图 6 将 RIMDC-PINN 和传统 PINN 计算的温度场与解析解进行了比较，表明 RIMDC-PINN 预测值与真值之间具有极好的一致性，并准确捕捉了材料界面（x = 1m）处的温度梯度不连续性。相比之下，传统 PINN 无法解析界面过渡，与解析解表现出显著偏差。图 7 中的绝对误差分布确认了 RIMDC-PINN 结果、XPINN 结果和解析解在整个计算域内高度一致，普遍观察到近零绝对误差。案例 1 的最大误差为 0.024 °C，而案例 2 的最大误差为 0.0128 °C，通过迁移学习实现了 46.6% 的最大误差减少。此外，沿 y = 1m 的路径分析（图 8）显示，在关键界面区域（x = 1 m）温度分布剖面连续且无振荡，局部最大误差始终保持为 10?? °C 数量级。此外，与扩展物理信息神经网络（XPINN）相比，RIMDC-PINN 实现了略高的精度。这些结果共同验证了 RIMDC-PINN 对于涉及材料不连续性的传热问题的计算精度和鲁棒性。

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图 6. 温度场等值线图。

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图 7. 绝对误差分布等值线图。

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图 8. 沿 y = 1 路径的温度分布剖面。

4.2. 三维混凝土重力坝温度场分析

4.2.1.

模型配置与参数 本节研究了一个三维混凝土重力坝（二维模型的尺寸如图 9 所示，坝段厚度为 50m。）。坝体热导率 k1 取为 2.75 × 10?3 kJ/(m s °C)，而坝基热导率 k2 为 2.75 × 10?4 kJ/(m s °C)。对于边界条件，线段 ABCDEF 被视为暴露于空气中的热对流边界。对流换热系数 β 设为 1.372 × 10?2 kJ/(m2 s °C)，环境温度等于水库水面温度。在线段 AKJI 中，施加水库水温作为边界条件，使用经验公式（公式 (26)）确定。（注：尽管在实际工程中水库温度计算方法多样，但本研究为了模拟目的采用简化经验公式，因为这超出了本文的主要研究范围。）本研究将求解大坝四个特征月份（三月、六月、九月和十二月）的温度场分布。三月和十二月的水库水温分布相似，而六月和九月的分布也相似。因此，三月和六月的温度场使用标准 RIMDC-PINN 方法求解。基于训练好的网络，随后通过迁移学习求解了九月和十二月的温度场。随机采样策略选择了 18616 个配点（空间分布如图 10 所示），确保满足空间均匀性要求，以实现对计算域的代表性覆盖。从高密度六面体有限元网格获得的参考解作为验证基准。详细的神经网络规范见表 2。
(26)Tw(y,τ)=14.28+9.82e?0.04y+7.7e?0.018ycos[30(τ?8.85+1.3e?0.085y)]
其中 y 为水深（单位：m）；τ 为月份；Tw (y, τ) 为水深 y 和月份 τ 时的水温（单位：°C）。
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图 9. 混凝土重力坝示意图。
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图 10. 配点分布。
表 2. 神经网络参数信息。
神经网络参数 值
层数 [48] × 3
优化器 (Adam)+(L-BFGS)
激活函数 stanh
初始学习率 0.01/0.001(迁移)
轮次 (Adam) 4000/500(迁移)
轮次 (L-BFGS) 400/100(迁移)

4.2.2. 计算结果分析 图 11 展示了三维条件下不同月份的训练损失曲线。对于三月和六月，损失在初始 Adam 阶段呈指数衰减，在 500-800 次迭代中振荡，并收敛至约 10?3。通过迁移学习，九月和十二月的模型实现了更快的收敛、更高的稳定性，并在 L-BFGS 阶段损失进一步降低了约一个数量级，证实了迁移学习在三维设置中的有效性。
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图 11. 不同月份的训练收敛曲线。
图 12 展示了 RIMDC-PINN 方法获得的三维温度场分布特征。可以观察到，在材料界面区域，热导率的不连续性导致等温面出现显著的不连续变化。该结果表明，RIMDC-PINN 方法能够准确捕捉坝体与地基材料界面处温度梯度的突变，充分验证了该方法在处理三维多材料不连续问题方面的有效性。图 13 展示了 RIMDC-PINN 计算结果与 FEM 参考解之间误差分布的云图。从图中可以看出，所有月份的误差主要集中在坝体上部的几何区域和边界连接区域（如阶梯状结构的角落）。这是因为这些区域具有几何不连续性和陡峭的物理场梯度特征，构成了模型预测的“敏感区域”，难以拟合，从而导致较大的误差。尽管如此， considering the overall calculation results, the mean error between the RIMDC-PINN results and FEM reference solution for each month is close to zero; relatively low errors are also maintained at material interfaces, and the overall maximum error for each month remains within 0.1 °C, indicating a high degree of consistency between the two sets of results. (考虑到整体计算结果，每个月份的 RIMDC-PINN 结果与 FEM 参考解之间的平均误差接近于零；在材料界面处也保持了相对较低的误差，且每个月份的总体最大误差保持在 0.1 °C 以内，表明两组结果高度一致。) 此外，由于迁移学习的影响，九月和十二月的最大误差明显低于三月和六月，表现出更高的求解精度。同样，表 3 列出了 RIMDC-PINN 与 FEM 求解结果之间的 RMSE。九月的 RMSE 为 0.003175，十二月为 0.001341，与六月和三月相比分别显著降低了 70.3% 和 41.1%。
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图 12. RIMDC-PINN 模拟的温度场分布（单位：°C）。
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图 13. RIMDC-PINN 与 FEM 模拟之间的对比误差云图（单位：°C）。
表 3. RIMDC-PINN 与 FEM 的 RMSE 对比。
月份 RMSE
3 0.004518
6 0.005388
9 0.003175
12 0.001341
通过对多材料混凝土重力坝温度场的系统求解，本研究验证了 RIMDC-PINN 方法在处理材料界面方面的独特优势：该方法成功克服了传统 PINN 在材料不连续界面处精度下降的内在局限性，实现了与 FEM 参考解高度一致的计算结果（最大绝对误差 < 0.1 °C）。特别值得注意的是，通过引入迁移学习机制来解决季节性边界条件变化，不仅显著提高了求解速度，还显著改善了关键月份的计算精度，有效缓解了 PINN 在求解正问题时的效率瓶颈。然而，与传统数值方法相比，该方法在计算效率上仍存在显著差距。尽管其无网格离散特性为复杂几何建模提供了独特优势，但经典数值方法在求解正问题方面仍保持明显的性能优势。值得注意的是，PINN 的根本价值主要在于反问题求解领域——其将物理定律嵌入损失函数的内在特性为参数识别提供了自然优势。基于这一重要见解，本文第 5 节将重点探讨 RIMDC-PINN 在多材料混凝土重力坝温度场反问题方面的应用潜力，深入分析其在热物理参数识别中的创新价值。

5. 混凝土重力坝材料参数反演识别 基于此前关于混凝土重力坝温度场正问题的研究，本节将调查扩展到混凝土重力坝热物理参数识别的反问题。在工程实践中，由于部署成本和结构限制，坝体表面的监测点通常表现出空间稀疏性和数据可用性有限的双重特征。虽然传统 PINN 避免了重复调用正模型的计算效率瓶颈，但其内在架构在多材料界面处表示参数不连续性方面存在显著缺陷，导致对涉及多种材料的反演问题能力严重受限 [54]。由于 RIMDC-PINN 此前已被验证可有效解决多材料温度场问题，本节将调查其在多材料重力坝热物理参数反问题中的求解能力。

5.1. 反演实验方案 本节进行反演分析，以第 4.2 节中描述的混凝土重力坝温度场问题为研究对象，开展热物理参数的反演。具体而言，重点关注坝体和坝基热导率的反演识别。本节用于反演的数据集是通过从 FEM 模拟结果（三月温度场模拟结果）中随机选择有限数量的坐标点构建的。这些点包括其坐标 (x, y, z) 和对应的温度 T。这种数据采样策略有效地模拟了实际工程中稀疏监测点的数据特征，同时也为验证反演方法的有效性提供了可靠的基准数据。为了全面验证 RIMDC-PINN 对多材料重力坝热物理参数反演识别的有效性，本研究采用控制变量法设计了一套系统实验方案。实验重点关注三个关键因素：样本量（设为三个水平：25、50、100）、空间分布方案（每组两种采样配置，分别记为方案 1 和方案 2）和对初始条件的敏感性（分别设置高于真实值 [k1 = 0.1, k2 = 0.1] 和低于真实值 [k1 = 0.0001, k2 = 0.0001] 的两种初始状态）。通过随机采样获得的样本点分布如图 14 所示。这种多因素耦合的实验框架总共产生了 12 个对比组（3 个样本量 × 2 个空间分布 × 2 个初始条件），如表 4 所示。通过系统地改变样本量、空间配置和初始参数，该设计不仅可以定量评估数据规模对反演精度的影响，还可以深入分析 RIMDC-PINN 对采样位置波动的适应性和对初始条件的依赖性，从而为优化工程实践中监测点的布置和初始化反演参数提供理论指导。
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图 14. 样本点采样。
表 4. 实验组设置。
初始值 样本数 方案 1 方案 2
[k1 = 0.1, k2 = 0.1] 25 A1 A2
50 B1 B2
100 C1 C2
[k1 = 0.0001, k2 = 0.0001] 25 D1 D2
50 E1 E2
100 F1 F2
本研究在反问题求解中采用 L-BFGS 优化算法进行模型参数优化，设置学习率为 0.5，采用 "strong-wolfe" 线搜索策略，限制每步最大迭代次数为 50，总迭代次数设为 400。该算法通过低阶矩阵近似来近似海森矩阵信息，在保持拟牛顿法二次收敛特性的同时显著降低了计算复杂度，并且对初始学习率不敏感，特别适用于本研究解决的大规模光滑非凸优化问题 [55]。用于反演计算的神经网络架构与第 4.2 节中用于求解正问题的架构保持一致，其具体结构参数详见表 5。
表 5. 神经网络参数信息。
神经网络参数 值
层数 [48] × 3
优化器 L-BFGS
激活函数 stanh
学习率 0.5
轮次 400
图 15 展示了不同实验组的收敛曲线，证明了 L-BFGS 优化器在损失优化中的效率和稳定性。利用二阶信息，它实现了损失函数的快速初始下降，随后进入稳定收敛阶段。值得注意的是，所有组别均达到了 10?3 的最终收敛精度，且轨迹高度一致，有力地验证了反演算法的可靠性。图 16 展示了当初始值 ([k1 = 0.1, k2 = 0.1]) 高于真实值时，反演训练过程中参数的变化情况。从图中可以看出，尽管待反演参数的初始值与真实值之间存在 2-3 个数量级的显著偏差，但在训练早期（约 100 步），所有测试组的参数均迅速收敛至真实值附近，随后趋于稳定。值得注意的是，与 C 组 (N = 100) 相比，A 组 (N = 25) 和 B 组 (N = 50) 的参数收敛曲线表现出更明显的波动和相对较慢的收敛速度。相比之下，C 组的两个参数在整个过程中以相对一致和稳定的方式收敛，没有显著振荡，确认了样本量在反演稳定性中的决定性作用。尽管如此，算法的整体稳定性仍然相对较高。图 17 进一步展示了当初始值 ([k1 = 0.0001, k2 = 0.0001]) 低于真实值时，反演训练过程中参数的变化情况。在此，参数演化表现出明显的三阶段特征：由低估效应引发的初始快速上升（约 20 步），随后在中段过渡为由梯度修正的向下趋势 (20-80 步)，最后在 100 步左右稳定并收敛至真实值附近。这种非线性演化机制源于网络在低初始值条件下对梯度方向的自适应调整过程。样本量的影响模式与高初始值条件下观察到的一致，进一步确认了数据量对反演稳定性的决定性作用。通过对参数反演训练曲线变化的宏观分析，显然 RIMDC-PINN 方法在反演分析问题中表现出两个显著优势。首先，算法对初始值偏差表现出强大的适应性；即使初始值偏离真实值高达 3 个数量级，它仍能在百步以内实现快速收敛。其次，当样本量充足 (N ≥ 100) 时，它表现出卓越的数值稳定性。
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图 15. 不同组的训练收敛曲线。
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图 16.

K 参数反演的训练曲线（初始值：[k1 = 0.1, k2 = 0.1]）。下载：下载高分辨率图片 (728KB) 下载：下载全尺寸图片图 17. K 参数反演的训练曲线（初始值：[k1 = 0.0001, k2 = 0.0001]）。

表 6、表 7 进一步展示了使用 RIMDC-PINN 模型经过 400 步训练后通过反演分析获得的 k1 和 k2 值，以及它们与真实值相比的相对误差。如表 6 所示，当初始值高于真实值时，随着样本量从 25 增加到 100，k1 的相对误差呈现单调递减趋势：对于 25 个样本，误差范围为 7.72% 至 16.60%；对于 50 个样本，降至 2.58%～5.01%；对于 100 个样本，进一步收敛至 0.79%～0.95%。这一规律验证了充足的样本量在提高参数反演精度方面的关键作用，因为充足的样本为模型捕获参数特征提供了更丰富的约束信息。与 k1 相比，k2 的相对误差始终更为显著：对于 25 个样本达到 14.80%～29.05%；对于 50 个样本降至 5.85%～11.38%；对于 100 个样本仍维持在 3.27%～4.58%。其根本原因是 k2 的真实值仅为 k1 的十分之一；在相同的绝对偏差下，较小量级参数的相对误差被显著放大，揭示了低量级参数识别的内在难度。初始值与真实值之间的数量级关系对反演效率产生决定性影响。表 7 展示了当初始值（[k1 = 0.0001, k2 = 0.0001]）低于真实值时获得的计算结果。对于 k1，在 D2 组中获得了 0.29% 的超低误差，这一精度水平等同于表 6 中 100 个样本的情况。然而，在样本点较少的情况下会出现显著波动，导致 D1 组的误差较大，相对误差达到 6.18%。k2 的误差降至 8.55%～8.95% 的范围，比表 6 中相同样本量的情况低 41.2%。特别值得注意的是，k2 的误差在 50 个样本组中收敛至 4.62%，接近表 6 中 100 个样本情况的精度水平。这一现象背后的机制源于初始值与真实值之间偏差的大小。在表 6 中，初始值与真实值的偏差高达 2～3 个数量级，需要充足的样本来补偿初始偏差。相比之下，表 7 中的初始值与真实值仅相差 27.5 倍（k1）和 2.75 倍（k2），显著降低了模型对样本量的依赖。因此，在实际工程应用中，可以根据工程经验对初始参数的数量级进行合理约束，以克服现场监测数据稀缺的局限性，从而提高反演的效率和精度。

表 6. 参数反演中的相对误差（初始值：[k1 = 0.1, k2 = 0.1]）。
| 案例 | 样本数 | k1 预测值 (kJ/(m?s?°C)) | k1 真值 (kJ/(m?s?°C)) | 误差 (%) | k2 预测值 (kJ/(m?s?°C)) | k2 真值 (kJ/(m?s?°C)) | 误差 (%) |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| A1 | 25 | 0.002294 | 0.002750 | 16.60% | 0.000195 | 0.000275 | 29.05% |
| A2 | 25 | 0.002538 | | 7.72% | 0.000234 | | 14.80% |
| B1 | 50 | 0.002679 | | 2.58% | 0.000259 | | 5.85% |
| B2 | 50 | 0.002612 | | 5.01% | 0.000244 | | 11.38% |
| C1 | 100 | 0.002673 | | 2.79% | 0.000266 | | 3.27% |
| C2 | 100 | 0.002776 | | 0.95% | 0.000262 | | 4.58% |

表 7. 参数反演中的相对误差（初始值：[k1 = 0.0001, k2 = 0.0001]）。
| 案例 | 样本数 | k1 预测值 (kJ/(m?s?°C)) | k1 真值 (kJ/(m?s?°C)) | 误差 (%) | k2 预测值 (kJ/(m?s?°C)) | k2 真值 (kJ/(m?s?°C)) | 误差 (%) |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| D1 | 25 | 0.002920 | 0.002750 | 6.18% | 0.000252 | 0.000275 | 8.55% |
| D2 | 25 | 0.002758 | | 0.29% | 0.000250 | | 8.95% |
| E1 | 50 | 0.002761 | | 0.39% | 0.000292 | | 6.25% |
| E2 | 50 | 0.002772 | | 0.80% | 0.000288 | | 4.62% |
| F1 | 100 | 0.002734 | | 0.59% | 0.000269 | | 2.14% |
| F2 | 100 | 0.002728 | | 0.79% | 0.000284 | | 3.27% |

图 18、图 19 系统地展示了基于反演参数重构的温度场分布及其与有限元 (FEM) 参考解相比的相对误差分布。所有测试组均成功重构了符合物理规律的温度场结构，最大绝对误差被严格控制在 0.1 °C 以内，验证了重构结果的可靠性。表 8 列出的 RMSE 数据表明，温度场重构精度与参数反演精度之间存在显著的正相关性；当导热系数参数的反演精度提高时，温度场重构精度也随之提高。值得注意的是，在样本点稀缺的条件下（例如 25 个样本点）会出现一种特定现象。虽然参数反演误差可高达 29.05%，但重构温度场的 RMSE 仍保持在 0.009668 °C 以下的优秀水平。这种显著差异揭示了在此反演问题中，导热系数参数 k1 和 k2 对温度场的弱敏感性，这意味着参数空间中的显著扰动仅会引起物理场观测结果的微小变化。在这些挑战条件下，RIMDC-PINN 方法展现了突破性表现：即使在稀疏数据（25 个样本点）场景下，它不仅确保了一定水平的参数反演精度（k1 < 16.6%, k2 < 29.05%），还保证了温度场重构误差保持在 0.009668 °C 以下。此外，通过仅增加少量样本点（100 个样本点），即可获得较高的反演精度。

下载：下载高分辨率图片 (668KB) 下载：下载全尺寸图片图 18. 由 RIMDC-PINN 重构的温度场及误差（初始值：[k1 = 0.1, k2 = 0.1]）。
下载：下载高分辨率图片 (675KB) 下载：下载全尺寸图片图 19. 由 RIMDC-PINN 重构的温度场及误差（初始值：[k1 = 0.0001, k2 = 0.0001]）。

表 8. 由 RIMDC-PINN 重构的温度场与有限元参考解的 RMSE。
| 案例 | RMSE | 案例 | RMSE |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| A1 | 0.009668 | D1 | 0.008154 |
| A2 | 0.007274 | D2 | 0.006987 |
| B1 | 0.007446 | E1 | 0.007133 |
| B2 | 0.006111 | E2 | 0.005850 |
| C1 | 0.005502 | F1 | 0.006476 |
| C2 | 0.006362 | F2 | 0.006757 |

总体而言，RIMDC-PINN 模型即使在极端挑战条件下也展现出卓越的反演性能。当面对样本量小于 1%（基于 17570 个有限元参考节点）的情况时，它取得了优异的反演结果。具体而言，在仅 100 个样本点（占比 0.57%）的严格条件下，它达到了满足工程要求的高精度结果。此外，它克服了由显著初始值偏差引起的反演困难，并降低了参数初始化对专业知识的依赖。这些结果证实，RIMDC-PINN 通过物理约束与数据驱动方法之间的协同机制，有效克服了传统反演方法解决不适定问题的局限性，并解决了传统 PINN 固有的多材料界面处理瓶颈。这为多材料混凝土重力坝的热参数反演提供了一种新的解决方案。

5.2. 耦合热反演中的解的唯一性

同时识别两个不同区域的热导率存在固有的非唯一性问题。虽然公式 (9) 引入了显式约束，但它们对解的唯一性的具体影响需要进一步讨论。为此，本文通过逐步移除界面约束构建具有不同约束配置的逆向模型，进行了一系列对比验证实验：模型 M1（仅移除界面温度连续性约束）、模型 M2（仅移除界面热流连续性约束）和模型 M3（同时移除两种界面连续性约束）。实验保持网络架构和优化器参数与第 5.1 节相同，使用相同的 100 个测量数据点，并采用第 5.1 节中验证过的两组不同的初始迭代值（记为 IV1 [k1 = 0.1, k2 = 0.1] 和 IV2 [k1 = 0.0001, k2 = 0.0001]），最终形成六个独立的对比实验组（M1-IV1, M1-IV2, M2-IV1, M2-IV2, M3-IV1, M3-IV2），以系统研究界面约束对解唯一性的影响。

图 20、图 21 展示了不同缺失约束条件下参数收敛曲线及反演误差的统计结果。结果表明，缺乏界面连续性约束会导致多参数同时反演的严重非唯一性，且随着缺失约束数量的增加，反演精度和稳定性的恶化更为明显。关于收敛过程，所有三个模型的参数值在 400 轮后趋于稳定；然而，它们未能收敛到真实值。具体而言，模型 M1（仅移除温度连续性约束）的收敛曲线相对平滑，稳态值与真实值之间的偏差较小；模型 M2（仅移除热流连续性约束）显示出增加的收敛波动；而模型 M3 显示出最剧烈的曲线波动以及与真实值最大的偏差，表明热流连续性约束在确保反演稳定性和精度方面发挥着更关键的作用。

下载：下载高分辨率图片 (333KB) 下载：下载全尺寸图片图 20. 不同初始值下 k1 的收敛曲线。
下载：下载高分辨率图片 (383KB) 下载：下载全尺寸图片图 21. 不同初始值下 k2 的收敛曲线。

表 9 展示了反演误差的统计结果，显示当仅移除温度连续性约束时（M1），k1 的相对误差范围为 8.62% 至 13.74%，k2 为 207% 至 220%；移除热流连续性约束后（M2），k1 的误差上升至 46%–81%，k2 为 310%–355%；当同时移除两种约束时（M3），k2 的误差激增至 1646%–3598%，导致反演完全失效。此外，对 k1 和 k2 反演误差的比较显示，k2 对界面约束的缺失更为敏感，其误差增加的速度远快于 k1。表 10 展示了不同约束配置和初始迭代值组合下温度场 RMSE 的统计结果；结果显示，温度场重构误差随着缺失约束程度的增加而增加，这与参数识别误差中观察到的趋势一致。这些结果为以下观点提供了有力证据：界面温度连续性和热流连续性约束是成功解决多参数同时反演的不可或缺的前提。缺乏此类界面约束会导致反演过程发散，从而导致反演精度显著恶化。只有同时引入两种界面连续性约束，才能有效保证反演解的唯一性和物理合理性。

表 9. 不同界面约束下热导率的反演统计。
| 案例 | k1 预测值 | k1 真值 | 误差 (%) | k2 预测值 | k2 真值 | 误差 (%) |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| M1-IV1 | 0.002513 | 0.002750 | 8.62% | 0.000880 | 0.000275 | 220.11% |
| M1-IV2 | 0.002372 | | 13.74% | 0.000845 | | 207.16% |
| M2-IV1 | 0.000537 | | 80.49% | 0.001127 | | 309.85% |
| M2-IV2 | 0.001133 | | 58.81% | 0.001251 | | 354.73% |
| M3-IV1 | 0.000534 | | 80.58% | 0.004802 | | 1646.33% |
| M3-IV2 | 0.001485 | | 46.00% | 0.010171 | | 3598.44% |

表 10. 由 RIMDC-PINN 重构的温度场与有限元参考解的 RMSE。
| 案例 | RMSE | 案例 | RMSE |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| M1-IV1 | 0.006446 | M1-IV2 | 0.006438 |
| M2-IV1 | 0.010687 | M2-IV2 | 0.009924 |
| M3-IV1 | 0.018224 | M3-IV2 | 0.014739 |

5.3. 噪声对反演精度影响的分析

在实际工程传热问题中，由于传感器精度、环境干扰和测量误差等因素，温度观测数据不可避免地会受到不同程度的随机噪声影响。因此，基于第 5.1 节中的无噪数据，本节进一步引入高斯噪声（公式 (27)），以研究 RIMDC-PINN 在噪声条件下解决该反演问题的鲁棒性。测试的噪声水平设置为 2%、5% 和 10%。考虑到噪声生成的随机性，为每个噪声水平生成了 10 个不同的含噪数据样本以训练 RIMDC-PINN 模型。测量数据点数量设置为 100，初始参数值设置为 [k1 = 0.1, k2 = 0.1]。

(27) $u_n = u + L_n R_u$
其中 $u_n$ 为含噪数据；$u$ 为无噪数据；$L_n$ 为噪声污染水平；$R_u$ 为遵循标准正态分布的随机数。

图 22、图 23 展示了不同噪声水平下热导率参数的收敛曲线。从曲线可以看出，在所有噪声水平下，参数均从初始值稳定收敛至真实值附近，表明所提出的框架在噪声条件下具有基本的收敛稳定性。为了进一步量化噪声对反演精度的影响，对 10 次重复实验的结果进行了统计分析；不同噪声水平下热导率估计误差的箱线图如图 24 所示，详细统计结果见表 11。结果表明，在 2% 的低噪声条件下，k1 和 k2 的相对误差仅为 3.18% 和 4.07%，箱线图狭窄且须较短，表明反演结果精度高且离散度低，这反映了模型在低噪声环境下的优异表现。当噪声水平增加到 5% 时，k1 和 k2 的相对误差分别上升至 5.88% 和 9.56%，箱宽略有增加，表明中等噪声开始对反演精度产生一定影响。在 10% 的高噪声条件下，反演误差显著增加；k1 和 k2 的相对误差分别达到 14.20% 和 23.19%，箱宽和须的范围明显变宽，反映了高噪声下反演结果离散度的大幅增加。图 25 展示了不同噪声水平下温度场重构 RMSE 的箱线图，表 12 总结了 10 次重复实验的平均 RMSE 统计。结果显示，温度场重构误差的变化趋势与热导率参数误差一致。在 2% 的低噪声条件下，平均 RMSE 仅为 0.005288，箱体狭窄，表明重构精度高。

在 5% 中度噪声条件下，平均 RMSE 上升至 0.006162，箱线图宽度略有增加；而在 10% 高噪声条件下，平均 RMSE 激增至 0.010312，表明温度场重建的准确性和稳定性均有显著下降。基于上述综合分析，构建的耦合热传导 PINN 反演框架表现出一定的噪声鲁棒性，在 2%–5% 的测量噪声水平下有效实现了同时识别导热系数；然而，对于高噪声数据，需要在反演前进行去噪预处理。

图 22. 不同高斯噪声水平下 k1 的收敛曲线。
图 23. 不同高斯噪声水平下 k2 的收敛曲线。
图 24. 不同高斯噪声水平下导热系数估计误差的箱线图。

表 11. 不同高斯噪声水平下导热系数反演结果统计。

| 噪声水平 | k1 预测值 (均值) | k1 真值 | 误差 (%) | k2 预测值 (均值) | k2 真值 | 误差 (%) |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 2% 高斯噪声 | 0.002663 | 0.00275 | 3.18% | 0.000264 | 0.000275 | 4.07% |
| 5% 高斯噪声 | 0.002588 | - | 5.88% | 0.000301 | - | 9.56% |
| 10% 高斯噪声 | 0.002360 | - | 14.20% | 0.000339 | - | 23.19% |

图 25. 不同噪声水平下温度场重建 RMSE 的箱线图。

表 12. 不同高斯噪声水平下重建温度场的 RMSE。

| 噪声水平 | 平均 RMSE |
| :--- | :--- |
| 2% 高斯噪声 | 0.005288 |
| 5% 高斯噪声 | 0.006162 |
| 10% 高斯噪声 | 0.010312 |

6. 讨论

上述数值算例充分验证了 RIMDC-PINN 求解框架在解决多材料混凝土重力坝温度场正问题和反问题方面的卓越性能。该框架展现出显著的计算精度和数值稳定性，克服了传统 PINN 方法在处理涉及材料界面问题时的固有局限性。在正问题求解验证中（第 4.1 节），针对一个具有解析解的二维多材料温度场问题，RIMDC-PINN 解与解析解之间的相对误差达到 10?4 量级，展现出优秀的计算精度。关键在于，该方法成功捕捉到了材料界面处温度梯度的突变特征，稳健地证明了其处理界面复杂物理行为的能力。此外，本研究通过采用参数迁移策略，解决了本例中边界条件变化的场景。结果显示，与完整的训练过程相比，迁移学习显著加速了模型收敛，同时将温度场的最大误差降低了 46.6%。这表明，对于物理模型固定但边界条件更新的工程场景，迁移学习机制可以显著加快求解过程，同时提高精度。这为降低大规模数值模拟的计算成本提供了有效途径，并为将 RIMDC-PINN 应用于多材料混凝土重力坝温度场求解提供了参考。

基于上述验证，第 4.2 节进一步利用 RIMDC-PINN 框架求解和分析了典型月运行工况下三维混凝土重力坝多材料温度场的分布。数值结果表明，RIMDC-PINN 实现了与有限元参考解高度一致的计算结果（最大绝对误差 < 0.1 ℃）。同样地，通过引入迁移学习机制来处理季节性边界条件变化，求解速度和计算精度得到了显著提高，有效缓解了 RIMDC-PINN 在正问题求解中的效率瓶颈。值得注意的是，虽然 PINN 方法由于其无网格离散特性，在复杂几何建模方面具有独特优势，但在正问题求解的计算效率方面，PINN（包括 RIMDC-PINN）与经典数值方法相比仍存在显著差距，后者保持明显的性能优势 [56]。这种效率瓶颈主要源于神经网络求解偏微分方程所需的高频前向传播和梯度反向传播操作。因此，为了实现 PINN 在实际工程正问题中的大规模应用，必须通过增强算法泛化能力（例如元学习 [57]）、创新计算范式（例如采用算子学习框架 [58] 以实现“一次训练，多场景复用”）以及硬件算法协同优化，来系统地降低计算成本。这些前沿方向的综合研究努力，将为 PINN 在工程热力学领域的实际应用提供关键支持。

虽然 PINN 在正问题求解领域仍面临计算效率瓶颈，但其将物理守恒定律嵌入损失函数的内在设计原则，为参数反演问题提供了独特优势。基于此，本文第 5 节重点探讨了 RIMDC-PINN 在三维多材料混凝土重力坝温度场反问题中的应用潜力，并对其在热参数识别方面的创新价值进行了深入分析。计算结果表明，即使在极端挑战条件下，RIMDC-PINN 模型仍保持优秀的反演性能。在监测点占比不足 1% 的情况下，RIMDC-PINN 仍表现出突出的鲁棒性和反演精度。具体而言，在仅 100 个监测点（占比 0.57%）的严格条件下，该方法成功实现了关键热参数识别误差 < 5%，满足了实际工程精度要求。特别重要的是，该框架显著降低了对初始参数值的敏感性，减轻了参数初始化对专业知识的依赖。

值得注意的是，传统方法在无噪声条件下可获得接近真值的参数估计，而本文提出的方法在表 6、表 7 中显示出相对较大的误差。这表明提出的方法在理想条件下可能精度较低。然而，真实数据是含有噪声的。第 5.3 节研究了不同噪声水平下的反演性能，表明当噪声水平低于 5% 时，反演误差控制在 10% 以内。这证明了该方法的噪声鲁棒性及其对实际工程数据的适用性。必须特别指出的是，本研究在反演过程中采用随机采样策略获取监测点，尚未系统研究样本空间分布模式对参数识别精度的影响机制。然而，对表 6、表 7 的比较分析显示，在 25 个监测点的条件下，A1 的误差显著高于 A2（同样，D1 的误差显著高于 D2）。这表明当监测点稀疏（25 个监测点条件）时，不同的空间分布导致反演误差存在显著差异，采样点的分布对反演精度有重大影响。深入分析推断，采样点的空间分布与物理敏感区域之间的匹配程度可能直接影响反演精度。后续研究需要系统探索基于参数敏感性的最优采样点选择机制。这方面的研究不仅能为工程监测传感器的最优布置提供理论支持，也有望在极端数据稀缺条件下实现高精度参数反演。

本研究使用 RIMDC-PINN 框架对多材料混凝土重力坝的温度场正问题和反问题进行了系统探索。然而，目前的工作主要关注稳态温度场分析，尚未涉及瞬态温度或热 - 力耦合效应。通过引入时间作为额外的输入维度，所提出的方法可以扩展到时间相关问题。这将能够利用瞬态数据反演动态热参数（例如热扩散率）。此外，神经网络的内在“黑箱”特性导致模型可解释性不足，而其性能高度依赖于超参数的适当配置（例如学习率、网络深度、拓扑结构）。对于反问题中的正则化超参数（例如数据损失与物理约束损失之间的权重比），已有成熟的理论准则，如 Morozov 偏差原则，可以通过匹配残差水平与测量噪声的标准差来指导参数选择 [59]。然而，对于广泛的架构和训练超参数（包括层数、每层神经元数、学习率调度、激活函数），仍然没有普遍适用的理论选择框架。在实际工程应用中，这些超参数的配置仍然严重依赖经验试错。因此，神经网络架构搜索 (NAS) 技术 [[60], [61], [62]] 提供了一个有前景的研究方向，以进一步提高 PINN 在工程热力学应用中的鲁棒性。

7. 结论

本文提出了一种基于 RIMDC-PINN 的新型求解框架，用于解决多材料混凝土重力坝温度场的正问题和反问题。该框架的核心在于引入一个作为材料区域指示函数的额外坐标维度，在数学上统一了多材料区域的表示。这种方法不仅有效解决了传统 PINN 中遇到的界面物理场连续性问题，还为反分析提供了额外约束。同时，它避免了为每个子区域训练单独网络的需要，在一个框架内统一了优化变量。这消除了多网络联合优化的复杂性和协调困难，有效降低了模型复杂度。通过创新性地引入迁移学习机制，该框架在确保有效求解的同时，显著加速了混凝土重力坝温度场的求解过程，从而缓解了 PINN 固有的效率低下问题。对于反问题，利用界面物理约束与数据驱动方法的协同效应，该框架有效解决了传统反演方法在处理病态问题时的局限性，并克服了传统 PINN 在多材料参数反演中面临的界面建模瓶颈。该算法在样本点占比不足 1% 的数据且处于病态条件下，仍保持满足工程精度要求的反演性能；值得注意的是，在样本点仅占 0.57% 的严格条件下，它成功克服了由显著初值偏差引起的反演困难，大幅降低了对参数初始化专业知识的依赖。所提出的求解框架为多材料混凝土重力坝温度场求解和热物理参数反演构建了一种创新方法。

CRediT 作者贡献声明

Zhenhua Huang：数据整理、调查、方法论、软件、写作 – 初稿。Binghan Xue：数据整理、资金获取、调查、软件、写作 – 初稿。Yahao Bu：调查、软件。Manjun Li：监督、写作 – 审查与编辑。Jianwei Lei：概念化、数据整理。

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