面向大纵横比域中高瑞利数瑞利-贝纳德对流的基于谱元法的大涡模拟方法

《International Journal of Thermal Sciences》：A Spectral Element Method-based Large Eddy Simulation approach toward high Rayleigh number Rayleigh–Bénard convection in large aspect ratio domains

　　

摘要高瑞利数下的瑞利 - 贝纳德对流仍然是一个计算密集的问题，对直接数值模拟（DNS）构成了严重限制。本研究提出了一种计算高效的大涡模拟（LES）框架，基于谱元代码 Nek5000，并结合带松弛项的高通滤波器（HPFRT）亚网格尺度（SGS）模型，用于探索极高 Ra 的湍流对流。基于 HPFRT 的 LES 显著减轻了高 Ra 下的分辨率和稳定性限制，使得以 DNS 计算成本的一小部分实现稳定模拟成为可能，同时保持可接受的物理保真度。与基准 DNS 数据的验证表明，平均温度剖面和高阶统计量的趋势表现优秀，且由于 LES 滤波导致了预期的偏差。基于局部努塞尔数沿水平方向空间分布的验证，对于两个高 Ra 案例也显示了与 DNS 参考（Zhou 和 Chen, Phys. Fluids, 2021）的良好一致性。经典的努塞尔 - 瑞利标度 Nu～Ra0.30 在 5×104≤Ra≤1×1010 范围内使用最少的计算资源被成功复现。Nu-Ra 标度通过幂律相关 Nu=0.13Ra0.299 建立，该相关式是从计算数据集的最小二乘回归中获得，具有优秀的决定系数（R2=0.9986）。估计的指数具有 2.80×10?3 的标准误差和 95% 的置信区间 0.2936≤β≤0.3048，证实了尽管采用了相对较粗的网格分辨率，但在整个研究 Ra 范围内仍存在稳健的近立方根依赖关系。模拟在大型长宽比域（Γ=6）中进行，这允许改进流拓扑、羽流组织和在窄域中被抑制的大尺度动力学结构的表示。对二维温度切片中观察到的湍流超结构的定量分析也显示了与 DNS 文献（Pandey 等，2018 和 Stevens 等，2018）的合理一致性。对热结构和流结构、高阶温度统计量和能谱的分析证实，尽管使用了粗网格，高 Ra 对流的占优多尺度动力学被很好地捕捉。随着长宽比的增加，计算成本迅速增加，这些结果强调了基于 HPFRT 的 LES 作为一种稳健且资源高效的方法的有效性，用于研究高 Ra、大长宽比瑞利 - 贝纳德对流。

1. 引言
瑞利 - 贝纳德对流（RBC）构成了流体动力学中的一个经典问题，并在过去几十年中吸引了持续的研究关注。它描述了受限于两个水平板之间的流体层中浮力驱动的热对流，其中底板保持较高温度，顶板冷却，存在垂直作用的引力。由于其基本性质，RBC 作为热驱动流的典型模型，见于众多工程和地球物理背景中。代表性应用包括大气和海洋对流、恒星内部对流、地球地幔和外核的热传输、建筑环境中的浮力驱动流以及化学工程和金属生产工业中的过程 [1]。

研究该系统的中心目标之一是理解热传输的标度行为，通常由努塞尔数（Nu）量化，随着对流运动强度的增加，由瑞利数（Ra）表征 [2]。在相对较低的 Ra 值下，RBC 表现出一种流结构，由一个湍流、近等温的体区域组成，被两个层流热边界层界定 [3]。Malkus [4] 的开创性分析提出了 Nu 和 Ra 之间的理论标度关系，在热边界层在渐近湍流状态下保持边际稳定的假设下，得出 Nu～Ra1/3。与此同时，Priestley [5] 通过假设热传递主要由热边界层的厚度控制，并且仅对湍流内部的延伸有弱依赖，得出了相同的标度定律。

在 Priestley 框架的基础上，Kraichnan [6] 提出，在足够大的瑞利数下，热传递标度转变为 Nu～Ra1/2，前提是热边界层在渐近高 Ra 极限下也经历了向湍流的转变。这一理论预测产生了所谓的瑞利 - 贝纳德对流的最终状态概念，其特征是在极端 Ra 下热传输的显著增强。因此，通过受控实验和高保真数值模拟验证 Kraichnan 的预测已成为高 Ra 瑞利 - 贝纳德对流研究中的一个主要目标。

在随后的几十年里，进行了广泛的各种理论分析、数值模拟和实验研究，以评估 Kraichnan 预测的有效性；然而明确的共识仍然难以捉摸。几项研究报告了在中等 Ra 范围内有效标度指数为 2/7 而不是经典的 1/3 [7], [8], [9]。值得注意的是，这些研究涵盖了跨越层流、过渡流和湍流流态的瑞利数。经典的 Nu～Ra1/3 标度是针对渐近湍流体流动推导的，因此需要足够大的瑞利数来实现。因此，在更高 Ra 下进行的调查通常得出了更接近 1/3 的标度指数。一个突出的例子是 Niemela 等人 [10] 的实验研究，他们探测了对流高达 Ra～1017，并报告了大约 0.31 的指数，这与理论值 1/3 紧密一致。

Niemela 等人的发现意味着，如果最终状态存在，其起始预期仅在瑞利数超过 Ra?1017 时发生。这强调了在更大 Ra 下探测对流的需求。然而，这些努力伴随着实验测量和数值模拟中迅速升级的挑战，因为相关的复杂性和资源需求随着 Ra 呈指数增加。迄今为止，数值研究中达到的最大瑞利数是 Iyer 等人 [11] 报告的 Ra～1015，他们使用多达 524,288 个 MPI 进程，采用谱元法（SEM）进行了瑞利 - 贝纳德对流的直接数值模拟（DNS）。他们最高 Ra 模拟的计算成本超过了 1 亿核心小时，说明了目前限制极端瑞利数下对流进一步数值探索的惊人成本。

Tiwari 等人 [12] 最近的一项数值研究通过分析局部垂直对流热通量的统计量，重新审视了瑞利 - 贝纳德对流中的热传输标度。作者认为湍流边界层与最终状态的出现之间的联系是微弱的，指出即使在可压缩对流中观察到对数边界层时，经典的 Nu～Ra0.30 标度依然存在，而所考虑的 RBC 案例中的边界层状态仍然不确定。他们将经典标度的稳健性归因于热板诱导的正负热通量的近乎抵消，并猜想这种机制可能在极端瑞利数下持续存在。同时，他们承认在渐近大 Ra 下测试这一猜想超出了当前 DNS 能力的范围，并且具有粗糙壁或内部热源的配置确实表现出最终状态标度。这些观察动机促成了使用更高效的计算方法进一步系统探索高 Ra 对流，以评估壁面限制对流中热通量不对称的渐近作用。

我们现在已经确立了与探索高 Ra RBC 相关的动机和挑战，特别是极端瑞利数下 DNS 的惊人计算成本。这促使了采用大涡模拟（LES），其中能量占优的大尺度湍流运动被显式解析，而未解析的亚网格尺度（SGS）运动的影响被建模。然而，RBC 对数值不稳定特别敏感，这对所用 SGS 模型的稳健性提出了严格要求。因此，文献中 RBC 的 LES 研究仍然相对稀少，可以被视为一个新兴的研究方向。文献中报道的一项 RBC 显著成功的 LES 研究是 Samuel 等人 [13] 进行的，他们采用了拉伸螺旋涡 SGS 模型。他们的模拟将 Nu-Ra 幂律标度扩展至 Ra～1015，并显示出与 Iyer 等人 [11] 的直接数值模拟结果的紧密一致，同时产生了显著降低的计算成本。具体来说，Iyer 等人报告了 0.331 的标度指数，而 Samuel 等人的 LES 研究得出了略低的 0.321 指数。

尽管 RBC 的数值调查已达到高达 Ra～1015 的瑞利数，重要的是要注意，此类极端模拟主要在长宽比为 0.1 的细长域中进行 [11], [13]。这反映了与扩大域水平范围相关的迅速增加的计算成本。然而，为了获得湍流热对流内在组织的物理代表性图像，分析必须在大型长宽比配置中进行。扩展的水平域允许大尺度环流模式、羽流聚集和长相干结构的发展，这些在窄单元中被人为抑制。虽然实验在大型长宽比几何中已达到 Ra～1011 [14]，此类域中的 3D 数值模拟仍然局限于显著较低的瑞利数，通常为 Ra～109 [15], [16], [17], [18]，由于惊人的计算需求。这种差异突显了计算高效的 LES 方法的必要性，能够以可接受的精度和可控的计算成本在大型长宽比域中捕捉高 Ra 对流的占优多尺度动力学。

在本工作中，我们报告了采用带松弛项的高通滤波器（HPFRT）模型的瑞利 - 贝纳德对流 LES，在谱元法框架内 [19], [20], [21]。模拟在长宽比为 6 的矩形盒几何中进行，使用 Nek5000 [22]，一个基于谱元法的高度可扩展且经过广泛验证的开源求解器。模型验证通过直接与 Kerr [9] 的 DNS 结果比较进行，以使用显著较粗的计算网格复现关键统计特征。此外，评估了 LES 方法捕捉底层流物理的能力，通过对相干结构、高阶温度矩和动能谱的分析。

2. 数学表述
首先呈现问题的数学公式，包括控制方程、数值离散和所采用的 LES 模型，接着描述用于提取能谱的理论框架。

2.1. 控制方程
瑞利 - 贝纳德对流由在布辛涅斯克近似 [3] 下制定的不可压缩纳维 - 斯托克斯方程控制，
(1)?u?t+u??u=?1ρ0?P+ν?2u+gαTTz?
连同连续性方程，
(2)??u=0
以及能量方程，
(3)?T?t+u??T=κ?2T
带有状态方程，
(4)ρ=ρ01?αTT?T0
这里，κ 表示热扩散率，ν 是运动粘度，αT 是热膨胀系数，g 代表重力加速度，假设其作用于垂直 z 方向。

控制方程使用自由落体速度 uf=αTgΔH，施加的温度差 Δ 和由域高度 H 给定的特征长度尺度进行无量纲化。
(5)?u?t+u??u=??p+Tz?+PrRa?2u
(6)?T?t+u??T=1RaPr?2T
这种无量纲化减少了控制参数的数量，得出以下两个无量纲数：瑞利数
(7)Ra=gαTΔH3κν
和普朗特数
(8)Pr=νκ
另一个表征系统的关键无量纲数是努塞尔数，它量化了归一化的热传输率，通常定义为
(9)Nu=hHk
其中 h 是传热系数，H 是特征长度尺度，k 是热导率。

在本研究中，努塞尔数从空间和时间平均的温度梯度在垂直（Z）方向上的底壁评估，使得
(10)Nub=?k?T?Zbottom,tHkΔT
其中 ΔT 是跨越域的施加温度差。
假设域内热导率均匀，方程 (10) 的无量纲形式是
(11)Nub=??T?Zbottom,t

2.2. 数值方法
控制方程使用开源求解器 Nek5000 [22], [23] 求解，它基于谱元法（SEM）[19]。SEM 是一种高阶离散技术，其中计算域被分解为有限的一组谱元，每个由高阶多项式基函数近似。这种公式允许以比传统低阶数值方法所需的显著更少的元素准确解析流场。在每个元素内，基函数在高斯 - 洛巴托 - 勒让德（GLL）点处评估，它们充当计算节点，并在低阶离散方法中起到类似于网格点的作用 [20]。

2.3. LES 亚网格模型
在本研究中，LES 中的 SGS 耗散使用带松弛项的高通滤波器（HPFRT）方法进行建模，在 Nek5000 中实现。HPFRT 模型采用基于卷积的场变量高通滤波，以隔离未解析分量，从中构造松弛项。随后，该松弛项由规定的滤波权重缩放，并作为减性贡献纳入控制方程。

由此产生的项充当耗散汇，从而在 LES 框架下提供所需的亚网格尺度耗散 [24]。修改后的控制方程以包含滤波操作的形式呈现如下。(12)?u?t+u??u=??p+1Re?2u?χu?G?u (13)?T?t+u??T=1Pe?2T?χT?G?T 这里，G 表示基于卷积的低通滤波器。

2.4. 使用 NUFFT 计算能量谱
在谱元法（SEM）中，流变量表示在 GLL 点上，这些点在每个单元内是非均匀分布的。由于该网格在全局上是非均匀的，标准 FFT 无法直接用于评估傅里叶谱。为了解决这个问题，开发了一个内部 C++ 后处理工具，该工具使用 FINUFFT 库 [25] 采用非均匀快速傅里叶变换（NUFFT）算法从 Nek5000 输出场中直接提取能量谱。

为了减少壁面限制非周期性和强垂直非均匀性的影响，流场域被分解为独立的主体区域和边界层区域，并在每个子域内独立评估谱。主体区域定义为中心层 0.40.9。此外，非均匀谱元空间坐标在谱变换前被映射到区间 [0,2π) 上。此过程对域施加了人为的周期性。

在非均匀位置 xj∈Rd 采样的速度场，具有复强度 cj，使用 1 型 NUFFT 算法直接映射到均匀傅里叶网格上。傅里叶模态定义在张量积索引集 K=KN1×?×KNd 上，其中 (14)KNi={?Ni/2,…,Ni/2?1},N 为偶数，{?(Ni?1)/2,…,(Ni?1)/2},N 为奇数。相应的模态振幅计算如下 (15)fk=∑j=1Mcje±ik?xj,k∈K，无需从非均匀谱元网格插值到均匀网格。傅里叶系数通过保留的采样点总数进行归一化，从而保持帕塞瓦尔能量等效性。最后，通过壳平均获得一维各向同性能量谱（E(k)），其中所有具有相当大小 |k| 的波矢量的模态能量在同心波数壳上进行累加。这种方法能够直接基于 SEM 数据准确且高效地评估傅里叶谱，非常适合本 LES 框架中的惯性区分析。

3. 方法
模拟在长宽比为 6 × 6 × 1 的矩形域内进行，与 Kerr [9] 采用的配置一致，如图 1 所示。本研究中考虑的瑞利数范围跨越 5×104 到 1×1010，普朗特数固定为 0.7。顶部和底部边界被视为固体壁面，而侧向边界是周期性的。壁上施加狄利克雷边界条件用于温度，规定温度差为 1。壁上施加无滑移边界条件用于速度。在参考研究中，计算域使用 288 × 288 × 96 网格进行离散化，对应约 796 万个网格点。在本 LES 中，最佳网格分辨率和 HPFRT 滤波参数通过迭代试错程序确定，其细节在第 4.1 节中讨论。采用的最高分辨率由 21 × 21 × 7 个谱元（ne）组成，多项式阶数（N）为七，并配合 HPFRT 滤波器使用。在谱元框架中，每个空间方向的有效物理网格分辨率估计为 ne×N+1。然而，HPFRT 滤波器的应用消除了最高多项式模态，使得有效多项式阶数为 Neff=N?1。因此，每个空间方向的有效物理网格分辨率变为 ne×(N?1)+1 [26]。相应地，此配置对应于 127 × 127 × 43 的有效物理网格分辨率，产生约 69 万个网格点。所有模拟均使用开源代码 Nek5000 进行，并在时间上推进直到达到统计平稳态。所得数据使用内部 C++ 代码进行后处理，随后使用 Tecplot [27] 进行可视化。

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图 1. 所用计算域示意图。

4. 结果与讨论
我们从网格收敛性研究开始讨论结果，以确定平衡精度和计算效率的最佳分辨率。随后通过参考 Kerr [9] 的 DNS 结果，对平均温度剖面、温度方差和速度梯度偏度等既定基准进行模拟验证。然后通过在高达 Ra=1×1010 的扩展努塞尔 - 瑞利幂律标度下检查模拟在更高瑞利数下的鲁棒性。

随后的各小节侧重于验证范围之外的流动统计和结构，包括更高瑞利数下的平均温度剖面、Ra=1×1010 时的瞬时和时间平均温度场的二维切片，以及阐明相干热和涡结构组织方式的三维等值面可视化。然后在 Ra=1×108 和 Ra=1×1010 时分析高阶温度矩，以评估 LES 模型捕捉细尺度特征的程度。最后，我们讨论了分别从主体和近壁区域提取的动能谱，强调这些区域中独特的标度行为与文献中报道的一致。

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图 2. 使用四个网格（576, 1125, 3087 和 8019 个谱元）的网格收敛性分析，所有网格多项式阶数 N=7。3087 和 8019 元网格表现出相当的精度。

4.1. 网格收敛性测试
使用由 576、1125、3087 和 8019 个谱元组成的四个网格进行了网格收敛性评估。所有模拟均采用 N=7 的多项式阶数，这通常被称为“最佳点”，因为它在高阶谱精度（指数收敛）与矩阵运算和平行通信相关的计算成本之间提供了最佳平衡 [26]。LES 并不表现出严格的网格无关性，因为随着网格变细，模拟接近 DNS，因为更细的网格总是解析 progressively 更小的尺度。LES 的目标不是完全解析所有尺度，而是确定一个以可承受的计算成本产生足够准确结果的网格。

HPFRT 滤波器的最优参数通过迭代程序选定。参数最初设置为 filterModes = 2 和 filterWeight = 5.0，并评估了由此产生的模拟。主要接受标准是稳定的代码执行，其次是平均温度剖面的定性行为。基于物理考虑，主体温度预计接近底部和顶部壁面温度的平均值。当主体温度超过预期值时，增加滤波器强度（filterModes、filterWeight 或两者）；反之，当低于预期时，减少滤波器强度。对于大多数情况，初始参数配置被证明是令人满意的。

图 2 总结了三种代表性诊断行为：平均温度、温度方差和高斯滤波速度导数偏度，它们分别是一阶、二阶和三阶矩。最粗的网格（576 和 1125 元）显示出与收敛行为明显的偏差。相比之下，3087 和 8019 元网格为一阶和二阶矩产生几乎无法区分的结果，尽管在三阶矩的情况下显示出偏移。

基于这些观察，选择 3087 元网格用于所有后续模拟。我们放弃了 8019 元网格提供的指标改进，因为 3087 元网格在一阶和二阶矩上实现了相当的精度，同时大幅减少了计算成本。如上一节所述，采用选定网格的 LES 配置与参考 DNS 研究相比，自由度减少了近一个数量级。此网格选择的有效性通过后续章节中详细的结构、统计和谱分析得到证明。

4.2. 验证
为了评估 LES 框架的准确性及其在降低分辨率网格上捕捉基本流动物理的能力，将一系列流量与参考研究中报道的流量进行比较。这种系统比较能够评估 LES 重现瑞利 - 贝纳德对流主要特征的有效性。分析从检查预测的 Nu–Ra 标度行为开始，随后评估跨度从一阶到三阶矩的湍流统计。

Nu-Ra 幂律
图 3 显示了底部壁面时间平均努塞尔数的变化，使用方程 (11) 评估，作为瑞利数的函数。

为了评估本 LES 结果的保真度，将 LES 数据的幂律拟合与文献中的两个既定参考标度进行比较。Kerr [9] 报告的第一个参考标度为 Nu=0.186Ra0.276，而第二个最初由 Wu 和 Libchaber [28] 提出并被 Kerr 用于验证的标度遵循 Nu=0.146Ra0.286。从本 LES 数据获得的最佳拟合幂律为 Nu=0.16Ra0.282。此关系是通过包含一系列 Ra 值及其相应底部壁面 Nu 的数据集的最小二乘回归获得的，具有极佳的决定系数（R2=0.999898）。拟合指数的标准误差为 1.08×10?3，对应于 95% 的置信区间 0.2797≤β≤0.2841。值得注意的是，尽管采用了显著较粗的空间分辨率，但 LES 预测显示出与 2/7 标度行为更接近的一致性，表明大尺度传热特征得到了合理的捕捉。

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图 3. 底部壁面时间平均努塞尔数随瑞利数的标度关系。尽管使用了显著较粗的网格，但仍显示出与 2/7 幂律的密切一致性。

平均温度场
图 4 显示了在每个 Z 平面内时间和空间平均的温度分布，作为无量纲垂直坐标 Z 的函数。作为参考，Kerr [9] 报告的相应平均温度剖面也被包含在内，归一化以跨越区间 0≤Z≤1。两个剖面之间的密切一致表明，尽管本模拟采用了显著较粗的空间分辨率，但 LES 准确重现了 DNS 中观察到的平均热结构。

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图 4. Ra=2×107 时，在每个 Z 平面内时间和空间平均的温度剖面作为无量纲垂直坐标 Z 的函数。结果显示出与参考 DNS 的良好一致性，尽管采用了显著较粗的网格。

温度场方差
前述分析已确立了 LES 框架重现时间平均温度场的能力，这对应于一阶湍流统计。我们现在评估其预测二阶湍流统计的性能。在此背景下，检查温度方差，定义为温度波动的平均平方。图 5 显示了在每个 Z 平面内时间和空间平均的温度方差剖面作为无量纲垂直坐标 Z 的函数。虽然 LES 准确捕捉了 DNS 剖面的整体形状和定性行为，但观察到了明显的系统偏移。这种行为表明，虽然 LES 为一阶统计提供了高精度，但二阶矩的精度适度降低。尽管如此，考虑到显著降低的网格分辨率和相应的计算成本节省，这种差异是可接受的。

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图 5. Ra=2×107 时，在每个 Z 平面内时间和空间平均的温度方差剖面作为无量纲垂直坐标 Z 的函数。LES 重现了整体趋势，具有明显的系统偏移，表明二阶统计存在中度偏差。

速度导数偏度
前述结果表明，尽管使用了显著较粗的空间分辨率，LES 框架仍能以合理的准确性重现一阶和二阶湍流统计。我们现在转向速度导数偏度的评估，这属于三阶湍流统计。在粗网格上使用谱元公式评估速度导数偏度具有挑战性，因为它会在导数场中引入伪振荡和非物理尖峰。为了减轻这些数值伪影，对计算的速度导数偏度剖面应用高斯滤波器以获得平滑表示。

图 6 显示了在每个水平 Z 平面内时间和空间平均的速度导数偏度作为无量纲垂直坐标 Z 的函数。LES 捕捉了偏度剖面的正确全局趋势，但相对于 DNS 结果显示出明显的偏移。此外，DNS 剖面中存在的局部变化在 LES 数据中未被解析。由于粗网格分辨率与所需平滑的结合抑制了细尺度特征，因此预计会出现这种局限性。

这些观察表明，在当前网格分辨率下，LES 模型不太适合对三阶湍流统计量进行定量准确的预测，而要提高此类高阶矩的保真度，可能需要更精细的空间分辨率。

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图 6. Ra=2×10?时水平 Z 平面内时间平均和空间平均的速度导数偏度。LES 重现了 DNS 中观察到的整体趋势，但由于分辨率较粗并应用了高斯平滑，表现出偏移且缺乏局部变化。

局部底壁努塞尔数分布

作为在之前讨论的一阶、二阶和三阶统计矩比较以及全局 Nu-Ra 幂律标度之外的额外验证练习，图 7 考察了局部底壁努塞尔数分布（z=0 处的 Nu(x)）。对于这种情况，参考数据取自 Zhou 和 Chen [29] 的较新研究，而早期的验证主要基于 Kerr [9] 的经典基准工作。尽管 Kerr 的工作仍然是高纵横比几何形状中湍流瑞利 - 贝纳德对流的奠基性参考，但 Zhou 和 Chen [29] 的数据集提供了一个更当代的基准，尽管它涉及受限的狭箱配置。

用于此比较的计算设置遵循 Zhou 和 Chen [29] 的设置。该域对应于纵横比为 x:y:z=1:16:1 的狭箱几何形状，在 y 方向施加周期边界条件，在其他两个方向施加固体壁面。所有壁面的速度均施加无滑移边界条件。x 方向的侧壁是绝热的，而垂直方向施加单位温度差（ΔT=1），并采用狄利克雷边界条件。普朗特数为 Pr=0.7。

图 7 比较了 Ra=10?和 Ra=10?时 LES 预测与 DNS 数据。在两种情况下，LES 都以非常高的精度重现了局部传热的整体空间变化。对于 Ra=10?，LES 曲线在整个水平范围内紧密跟随 DNS 点，正确捕捉了左侧壁附近 Nu 的急剧上升、x≈0.2-0.25 处的峰值以及随后向右侧壁逐渐衰减。仅在极值附近可见微小偏差，在该处 LES 略微平滑了峰值幅度，这是由于子网格尺度滤波导致的预期结果。

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图 7. 在 Pr=0.7 的狭箱配置 (x:y:z=1:1/6:1) 下，LES 和 DNS 获得的局部底壁努塞尔数分布 (z=0 处的 Nu(x)) 比较。符号表示 Zhou 和 Chen [29] 的 DNS 数据，实线代表当前的 LES 结果。

对于更高的瑞利数情况 (Ra=10?)，尽管空间非均匀性和梯度更加明显，但一致性仍然很强。LES 准确捕捉了 x≈0.2 附近升高的峰值、核心区域中的单调下降以及接近右边界时 Nu 的恢复。在陡峭变化的区域观察到一些差异，特别是在靠近侧壁的地方，DNS 在那里表现出更尖锐的局部特征。在这些区域，LES 曲线显得更平滑，并且略微偏移了极值。尽管如此，其幅值和趋势与 DNS 保持一致。

总体而言，比较表明 LES 框架不仅有能力解析全局传热指标，还有能力解析详细的局部壁面热流分布。在跨越一个数量级瑞利数范围内与 DNS 的密切对应，证实了该模型可靠地捕捉了边界层、羽流发射和主导壁面努塞尔数分布的大尺度环流结构之间的相互作用。

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图 8. 努塞尔数随瑞利数扩展至 Ra=1.0×101?的扩展标度。实线表示幂律拟合 Nu=0.13Ra?·2??。

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图 9. 局部有效传热指数，βeff=d(logNu)/d(logRa) 随瑞利数的变化。虚线和点划线水平线分别表示参考标度 β=2/7 和 β=1/3。βeff 随 Ra 的逐步增加表明从低 Ra 层流/过渡性主体状态向经典完全湍流对流状态的转变。

表 1. 通过 Nu=ARa^βw 形式的四点移动回归获得的滑动窗口幂律指数。βw 随 Ra 的逐步增加表明从低 Ra 有限瑞利数标度向经典湍流主体流状态的转变。

| 窗口范围 (Ramin--Ramax) | βw |
| :--- | :--- |
| 5.0×10?–4.0×10? | 0.298 |
| 1.0×10?–5.0×10? | 0.289 |
| 2.0×10?–1.0×10? | 0.275 |
| 4.0×10?–2.5×10? | 0.279 |
| 5.0×10?–5.0×10? | 0.281 |
| 1.0×10?–1.0×10? | 0.282 |
| 2.5×10?–2.0×10? | 0.282 |
| 5.0×10?–5.0×10? | 0.286 |
| 1.0×10?–1.0×10? | 0.289 |
| 2.0×10?–2.5×10? | 0.297 |
| 5.0×10?–5.0×10? | 0.318 |
| 1.0×10?–1.0×10? | 0.318 |
| 2.5×10?–2.5×10? | 0.336 |
| 5.0×10?–5.0×10? | 0.334 |
| 1.0×10?–1.0×101? | 0.348 |

4.3. 扩展幂律

分析进一步扩展到了参考研究中考虑的范围之外的瑞利数，本工作中调查的最大值达到 Ra=1.0×101?。所得到的扩展 Nu-Ra 标度由形式为 Nu=0.13Ra?·2??的幂律拟合表征，如图 8 所示。该关系是通过 Nu?Ra 数据集的最小二乘回归获得的，产生了优异的判定系数 (R2=0.9986)。拟合指数具有 2.80 × 10?3的标准误差，对应于 95% 的置信区间 0.2936≤β≤0.3048。这些统计数据显示出高度稳健的标度行为，与所考虑瑞利数范围内的近立方根依赖性一致。

经典的 1/3 幂律标度是针对主体中的渐近湍流流动推导出来的。作者假设，使用主体流动保持层流或过渡态的低 Ra 范围建立的幂律相关性可能会产生低于经典 1/3 值的指数。对报告 2/7 标度的文献的审查表明，所考虑的瑞利数范围足够低，以至于包含了层流和过渡性主体流制度 [7], [8], [9]。随着瑞利数范围的扩展，因此预计有效指数将逐渐接近经典值，正如 Niemela 等人 [10] 和 Iyer 等人 [11] 的高 Ra 研究中所观察到的那样。

在当前模拟中，随着 Ra 范围扩展以包含更高的瑞利数，标度指数表现出从 2/7 制度 (图 3) 向经典 1/3 值 (图 8) 的明显转变。这一趋势与上述假设一致，尽管第二种情况也包含了较低的 Ra 值。因此可以推断，当考虑的范围由渐近湍流主体流主导时，所得到的标度与经典 1/3 定律具有更好的一致性。为了进一步评估这一主张，我们分析了局部有效指数随 Ra 的变化 (图 9)，并使用每个窗口四组数据点对幂律指数进行了滑动窗口分析 (表 1)。图 9 显示，局部有效指数在较低的 Ra 值下接近 2/7 标度，而在所考虑的最高瑞利数下与经典 1/3 标度具有更好的一致性。表 1 进一步通过得出低 Ra 窗口接近 2/7 的指数和高 Ra 窗口接近 1/3 的指数强化了这一观察。

4.4. 较高 Ra 下的平均温度剖面

图 10 展示了两个较高瑞利数情况，Ra=5.0×10?和 Ra=1.0×101?的时间平均温度剖面，说明了当前 LES 框架在较高 Ra 下保持精度的能力。剖面与预期的瑞利 - 贝纳德对流物理图像一致，表现出相邻于顶部和底部壁面的两个热边界层，具有显著的温度梯度，中间由一个湍流主体区域分隔，该区域由于高效的混合而具有几乎均匀的温度。主体中的平均温度紧密对应于热壁和冷壁施加温度的平均值，进一步证实了湍流混合的有效性。此外，观察到热边界层随着瑞利数的增加而逐渐变薄，这与较高 Ra 下增强的湍流强度一致。

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图 10. Ra=5.0×10?和 Ra=1.0×101?的时间平均温度剖面。结果显示壁面附近具有明确的热边界层，以及一个近等温的湍流主体，并观察到随着 Ra 增加边界层变薄。

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图 11. 中 x 平面 (单个快照) 上的瞬时温度。快照显示了与羽流碎片相关的许多丝状结构和间歇性热/冷斑块。

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图 12. 时间平均温度场。各面板显示了持久热通道 (暖/冷囊)，表明长寿命的上升/下降区域。

4.5. Ra=1×101?时瞬时和时间平均温度的 2D 切片

为了进一步评估当前基于 HPFRT 的 LES 的保真度，我们考察了 Ra=1×101?时的瞬时和时间平均温度场。平均是在对应于 32.75 个大涡周转时间的时间窗口上进行的，使用域高度 H 和均方根速度 Urms 作为特征尺度估算。这个平均间隔足以提取高瑞利数对流特有的持久热组织。

中 x 平面上的平均温度场 (图 12(a)) 表现出交替冷暖区域的平滑模式，代表了驱动上升和下降运动的羽流的时间平均升降。单个羽流的锐度在平均后丢失，但产生的宽热通道与高 Ra 模拟中报告的大尺度热超结构 [15] 以及对羽流介导传热的系统研究 [16] 一致。平均中 z 切片 (图 12(b)) 显示出嵌入在中等温度背景中的相对较高或较低温度的囊。这些囊对应于羽流的横截面印记，并揭示了热量从边界层传输到主体的垂直相干路径，与来自高分辨率 DNS [30] 的观察一致。

相比之下，瞬时中 x 温度场 (图 11) 呈现出不平滑的分布，具有相当大的空间散射，包括丝状羽流碎片和间歇性热/冷斑块。这种结构在该瑞利数下是众所周知的，并在 DNS [31] 和实验 [32] 中得到了广泛记录。在当前 LES 中，丝状结构显得比完全解析的 DNS 更宽，界限也不那么清晰，这是 HPFRT 滤波和有效谱元分辨率的预期结果。尽管如此，LES 捕捉到了相当大一部分中间尺度羽流形态，表明尽管缺乏最细的耗散丝状结构，但主导的结构动力学仍得到良好解析。

综上所述，瞬时和平均温度场展示了高瑞利数热对流的两个标志性状态：小至中间尺度的间歇性羽流活动以及长时间平均后涌现的域尺度超结构。这些定性特征与先前的 DNS 和实验 [15], [16], [31], [32] 的一致性强化了这一结论，即当前 LES 尽管存在内在滤波，仍成功捕捉了 Ra=1×101?下热组织的物理显著尺度。这种结构上的一致性与之前的定量验证相辅相成，进一步确立了本研究中使用的 LES 方法论的可信度。

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图 13. Ra=1.0×101?时时间平均中面温度场的径向平均两点自相关函数 R(r)。相关性从零间隔处的单位值平滑衰减，并在 r/H≈2.53 处穿过零点，得出特征湍流超结构波长为 λ/H≈5.07。较大间隔处明显的负瓣表明交替的热冷大尺度热区域，与主导的近域尺度相 coherent 超结构一致。

4.6. 热超结构的定量分析

在前一节中，对流场拓扑和热超结构的组织进行了定性描述。在本节中，对热超结构进行定量分析。这些热超结构的特征尺度的定量估计来自时间平均中面温度场的径向两点自相关函数，如图 13 所示。相关性从 R(0)=1 平滑衰减，并在 r/H≈2.53 处穿过零点，通过关系 λ≈2r?得出特征超结构波长为 λ/H≈5.07。使用不同的时间平均窗口进行的独立计算产生的值在窄范围 λ/H=4.94-5.14 内，随着平均持续时间从 7.76 增加到 20.88 个涡周转时间；对应的总变化仅为 3.8%。这种弱敏感性表明测得的波长不是有限时间采样的暂时性后果，而是湍流的稳健统计特征。在广泛的平均间隔上近乎不变的横向尺度的持久性强烈支持了真正的更大尺度热超结构的存在。这一结果与早期的直接数值模拟研究完全一致。Pandey 等人 [16] 报告了 Ra=10?时约为 6H 的热超结构波长，而 Stevens 等人 [15] 识别出 2×10?≤Ra≤10?范围内约为 6H?7H 的波长，并进一步观察到热超结构尺度在该区间内对 Ra largely 不敏感。因此，当前 Ra=101?的结果与这些先前的发现属于同一数量级且 broadly 一致，尽管提取的波长略小。

相对于之前的直接数值模拟（DNS）研究 [15], [16]，波长略有减小，这可能是由两个非排他性效应引起的。首先，具有 Γ=6 的有限周期性域可能有利于与计算盒兼容的最大允许侧向模态，从而对测量的尺度产生适度偏差。其次，HPFRT 大涡模拟（LES）滤波过程可能弱化了甚至是大尺度的热结构，导致提取的基于相关性的波长略微向下偏移。相关径向两点自相关函数提取的相关长度提供了更多信息，即 Lc,int/H=1.55, Lc,e/H=1.86 和 Lc,0/H=2.53；分别对应于积分、e 折减和第一个零交叉定义 [33], [34], [35]。关系 λ≈2Lc,0 得到了良好的精度满足，证实了方法内部的一致性。Lc,int 和 Lc,e 相对于 λ/H 的较小数值表明，尽管主导的热间距接近整个侧向盒宽，但强正相干性在较短距离内衰减。从物理上讲，这意味着超结构在统计上保持持久，而局部热特征不断受到羽流间歇性、湍流混合和小尺度退相关的影响。因此，当前的流动状态更恰适当地解释为一种相干但动态演化的湍流超结构，而不是静止的层流卷曲图案。

相关曲线的形状与图 12 中的平均等值线场完全一致。R(r) 的延伸正分支直到 r/H≈2.5 意味着分离距离接近域宽一半的点倾向于属于同一暖或冷热区，这与图 12(b) 中观察到的宽阔同号口袋相匹配。零交叉之后，显著负叶瓣表明分离距离较大的点之间存在反相关，对应于具有约半波长间距的交替冷热区。这种行为直接反映在水平面上冷暖结构的偶极排列以及垂直截面中的配对上升流/下降流区中。此外，较大分离处缺乏强烈的次级正振荡表明，Γ=6 域基本上包含一个主导的大尺度温度模态，而不是多个重复单元，这与图 12(a) 中仅显示一个主要暖区和一个主要冷区的情况再次一致。

λ/H 随平均窗口增加而略微单调减小，表明最大水平结构比较小的持久组件具有较弱的时间相位稳定性。在没有侧壁来锚定环流中心或羽流脊的横向周期性几何结构中，大尺度热模态可以自由漂移、平移和蜿蜒。因此，延长的平均逐渐模糊最低波数内容并使测量的波长略微向下偏移。尽管如此，首选波长仍然接近有限周期性域允许的最大动态可持续水平尺度。该波长是代表内在湍流超结构尺度还是部分受有限域周期性影响，无法从单个宽高比得出确凿结论。因此，将本研究系统扩展至更大域（例如 Γ=8, 10 和 12）将是宝贵的未来工作：如果 λ/H 保持大致恒定，该尺度可解释为内在流动属性，而 λ/H 随 Γ 的持续增大则表明有限域模态选择或截断效应。

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图 14. 两个瑞利数下的三维温度等值面。观察到从 Ra=10^8 时的大尺度相干羽流到 Ra=10^10 时的高度间歇性细尺度热结构的明显转变。

4.7. 热结构和流动结构的 3D 等值面可视化

图 14 所示的三维温度等值面说明了中等和极高瑞利数之间羽流形态的定性转变。在 Ra=1×10^8 (图 14(a)) 时，热结构显得相对较大、相干且轮廓光滑，热（上升）和冷（下降）区域之间有清晰分离。这种形态与实验和直接数值模拟中记录的相似瑞利数下的羽流几何形状一致，其中羽流头部和柱状结构仍然可区分且碎裂有限 [32], [36]。相比之下，Ra=1×10^10 (图 14(b)) 时的温度等值面表现出纹理密集且高度碎片化的冷热结构场。强烈的丝状化、等值面的广泛折叠以及热材料的交织分布反映了剧烈的羽流破碎和混合强度增加，这是极高 Ra 下湍流的特征。这些特征在定性上与高分辨率直接数值模拟研究 [31], [37] 相符，后者报告在此条件下热结构间歇性增加、片状羽流分离以及垂直相干但碎片化的羽流。尽管当前的大涡模拟由于 HPFRT 滤波平滑了最细的丝状物，但它成功捕捉了主导两个瑞利数下热动力学的中间尺度羽流结构和大规模组织。

图 15 展示了垂直速度分量的三维等值面，揭示了随着瑞利数增加，相干上升流和下降流结构的预期演化。在 Ra=1×10^8 (图 15(a)) 时，等值面形成相对光滑、相干的正负垂直速度斑块，表明组织良好的上升和下降运动。这些结构相对宽阔且对称，与相似瑞利数下直接数值模拟中观察到的中等湍流水平和减少的羽流碎裂一致 [32], [36]。上升流和下降流区域保持清晰分离，小尺度起皱程度有限，反映了该机制较低的间歇性特征。

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图 15. 两个瑞利数下垂直速度分量的三维等值面。Ra 的增加导致从宽阔、相干的垂直运动向嵌入有组织大尺度环流中的高度间歇性碎片化结构转变。

在 Ra=1×10^10 (图 15(b)) 时，等值面场变得复杂得多。垂直速度分布形成延伸的带状和细长的斑块，表现出明显的水平组织，这是高瑞利数对流中记录的大尺度环流和热超结构的标志 [15], [16]。这些较宽的结构中穿插着显著的小尺度碎片化和不规则边缘，暴露了作用于羽流边界的强湍流混合和剪切驱动不稳定性。高间歇性水平和密集的小垂直速度结构群体与相似 Ra 下高分辨率直接数值模拟中观察到的相干运动非常相似 [31]。尽管大涡模拟滤波平滑了最细的梯度，但模拟成功捕捉了主导该瑞利数下传输的大尺度垂直相干性和中间尺度羽流诱导运动。综合来看，这些结果表明，大涡模拟重现了从 Ra=10^8 时的光滑柱状垂直运动到 Ra=10^10 时强烈碎片化、水平组织的上升流和下降流的预期转变。

图 16 所示的三维 Q 准则等值面提供了涡主导区域的结构视图，并突出了两个瑞利数之间小尺度湍流运动的演化。在 Ra=1×10^8 (图 16(a)) 时，涡场中等程度填充，具有相对较厚的涡结构和明显的空隙区域，其中旋转活动较弱。这反映了发展中的湍流机制，其中涡量产生仍然强烈依赖于羽流边缘和边界层分离事件，与相似瑞利数下直接数值模拟 Reports 的形态一致 [32], [36]。涡管较宽且丝状性较弱，表明与完全发展的高 Ra 湍流相比，应变和涡拉伸较弱。

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图 16. 两个瑞利数下的三维 Q 准则等值面。Ra 的增加导致涡密度、丝状化和小尺度间歇性急剧上升；反映了从发展到完全发展湍流对流的转变。

在 Ra=1×10^10 (图 16(b)) 时，涡场变得几乎充满空间，遍布整个域的是大量薄而碎片化的涡管和片状结构。Q 准则结构的高密度是完全发展湍流对流的特征，其中强羽流诱导剪切和剧烈的涡拉伸产生强烈的小尺度旋转运动 [31]。尽管存在大涡模拟滤波固有的平滑性，但模拟在很大程度上捕捉到了预期的多尺度间歇性以及大尺度环流对小尺度涡的调制；这种行为也在最近的高 Ra 湍流超结构研究中得到描述 [15], [16]。然而，应注意 Q 准则等值面图没有显示出直接数值模拟研究 [38] 中报告的长而连接的相干结构；相反，结构显得更碎片化和嘈杂。这表明在粗网格上执行的谱元大涡模拟的局限性。在谱元以及更一般的谱或伪谱方法中，当在粗离散化上评估梯度时，经常出现数值伪影 [39], [40]。这些虚假波动尽管被 HPFRT 大涡模拟滤波大幅衰减，但仍可能在 Q 值中引入不连续性或噪声，因为 Q 是根据速度梯度的平方计算的。平方操作进一步放大了这些误差。通过使用更细的网格来获得更好的相干 Q 结构可视化可以减轻此问题；然而，这样做会减少粗网格谱元大涡模拟提供的计算优势。因此，当前方法对于 Q 准则结构的详细可视化效用有限。

图 17 所示的涡量大小三维等值面突出了高 Ra 对流中旋转活动的高度非均匀分布。等值面形成两个集中在顶部和底部边界附近的明显水平层，表明最高涡量水平出现在发展出强剪切的粘性和热边界层内。这种行为与高分辨率直接数值模拟研究 [36] 完全一致，后者显示瑞利 - 贝纳德对流（RBC）中的涡量产生由壁面处的强速度梯度和羽流分离事件期间产生的剪切主导。因此，边界区域表现出高涡量结构的密集簇。

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图 17. Ra=1×10^10 时涡量大小的等值面。强旋转结构集中在顶部和底部边界层。

与边界层相反，体区在所选等值值下显示非常稀疏的涡量，仅可见孤立或微弱的结构。这反映了这样一个事实：即使在 Ra=1×10^10 时，体区的涡拉伸也显著弱于边界层，内部旋转运动很大程度上局限于围绕上升和下沉羽流的剪切界面。这证明了可视化中缺乏大量体区结构，并且进一步受到大涡模拟滤波的影响，后者抑制了最小和最弱的涡特征。尽管有这种平滑，等值面捕捉到了关键的物理趋势：在高 Ra 下，涡量大小仍然压倒性地由边界层主导，体区仅表现出低水平旋转活动。这种行为与实验观察和湍流对流中羽流产生剪切的直接数值模拟分析一致 [31], [32]。

表 2. Ra=1×10^8 时在三个垂直区域的高级温度矩。
区域 | 方差 | 偏度 | 平坦度
顶壁 | 0.00713 | ?0.618 | 4.32
体区 | 0.00219 | ?0.368 | 4.84
底壁 | 0.00630 | 0.754 | 3.98

表 3. Ra=1×10^10 时在三个垂直区域的高级温度矩。
区域 | 方差 | 偏度 | 平坦度
顶壁 | 0.00387 | ?0.289 | 9.25
体区 | 0.00068 | ?0.142 | 5.03
底壁 | 0.00236 | 0.933 | 7.17

4.8. Ra=1×10^8 和 1×10^10 时的高级温度矩

为了评估流动中热波动的统计特征，我们评估了三个代表性垂直区域（下部热边界层、体区和上部热边界层）的温度的方差、偏度和平坦度。Ra=1×10^8 和 Ra=1×10^10 的结果列于表 2、表 3。这些量提供了对羽流驱动间歇性、温度波动的不对称性以及统计偏离高斯行为程度的直接度量。文献提供了对这些矩的充分记录期望值：(i) 方差在边界层中最大，那里的温度梯度和羽流发射最强 [41], [42]；(ii) 偏度在热壁附近为正，在冷壁附近为负，反映了上升热羽流和下降冷羽流的主导地位 [1], [28]；(iii) 平坦度（或峰度）由于间歇性羽流爆发而在边界层中趋于升高，直接数值模拟和实验报告的值通常在 4–10 范围内 [43], [44]。

在本节的剩余部分，我们将讨论当前结果如何与先前研究中报告的定性和半定量趋势进行比较，包括矩的预期大小、符号和空间变化。未尝试直接定量比较，因为文献中不存在与当前设置相当的配置的高级温度矩（方差、偏度和平坦度）的列表或标准化参考值。相反，采用了一种基于从类似配置的先前研究中提取的近似参考值（数据通常呈现为空间分布）的半定量评估。这种方法足以评估大涡模拟捕捉湍流对流潜在物理（即温度方差的大小和分布、偏度反映的羽流诱导不对称性以及平坦度表征的非高斯间歇性）的有效性。对于 Ra=1×10^8 (表 2)，大涡模拟结果与这些期望密切吻合。

方差在两个边界层达到峰值，在主体区域减小，测量值落在普朗特数 Pr≈0.7 报告的标准直接数值模拟 (DNS) 范围内。偏度的符号和大小也与羽流驱动的不对称性一致：热壁附近为正，冷壁附近为负，中等量级的值反映了在此瑞利数下羽流脱附事件是间歇性的但并非极其尖锐。峰度值范围约为 4 到 5，表明边界层和主体区域均存在非高斯重尾行为，再次与先前的 DNS 发现 [43] 相符。总体而言，Ra=1×10^8 的统计量表现出正确的排序、量级和物理趋势。这种程度的吻合反映了在此瑞利数下小尺度间歇性的程度相对较低，其中热结构保持足够大，使得大涡模拟 (LES) 滤波器不会显著抑制相关的波动。

在 Ra=1×10^10（表 3）时，定性行为与著名的高瑞利数动力学保持一致，但与 DNS 的定量偏差变得更加明显。偏度保持了预期的符号：热壁附近为正，冷壁附近为负，主体区域较小，证实了 LES 捕捉到了羽流驱动传输的主导不对称性。两个边界层中的峰度显著增加，达到 7 和 9 以上的值，这反映了在此高瑞利数下极端羽流事件所特有的强间歇性和重尾统计特性。这些值完全落在高分辨率 DNS [31], [43] 报告的范围内。

然而，在 Ra=1×10^10 时，所有三个区域的方差值均系统性地低于典型的 DNS 值 [41], [42]。这种行为与 LES 公式中使用的 HPFRT 滤波器的作用一致。在极高瑞利数下，流场包含大量细尺度热结构，包括尖锐的羽流边缘、薄热边界层和小尺度湍流波动。这些尺度更接近耗散区，因此更容易受到数值平滑的影响。因为 LES 滤波器优先阻尼最小的已解析波动，整体方差减小，尤其是在热边界层中，陡峭的梯度本应对温度波动产生强烈贡献。相比之下，在 Ra=1×10^8 时，热结构更大且更破碎程度低，留给 LES 平滑来减小方差的空间要小得多。因此，Ra=1×10^10 时偏差的增加是小尺度间歇性程度更高以及高阶矩对滤波敏感度增加的自然结果。

尽管在最高 Ra 下方差有定量减少，但 LES 捕捉到了所有基本的定性趋势：边界层方差和峰度的主导性、符号正确的偏度、随 Ra 增加而增加的间歇性以及主体区域接近高斯的趋势。这些结果证实 LES 仍然与湍流对流中热波动的既定物理图景 [1] 保持一致，而定量偏差反映了在高水平小尺度活动下滤波的预期影响。

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图 18. Ra=1×10^10 的无量纲动能谱。在已解析的惯性子区中，主体谱符合 KO 标度，而边界层谱符合 BO 标度。

4.9. 动能谱：主体与边界层

图 18 显示了在 Ra=1×10^10 时从域的两个条件区域提取的无量纲动能谱：主体区域（绿色曲线）和近壁边界层区域（蓝色虚线曲线）。横轴是用科尔莫哥洛夫尺度无量纲化的波数 (kη)，纵轴显示了图中使用的无量纲形式的谱密度。因为现有数据是从 LES 输出获得的，所以只有形式惯性子区的受限部分被解析；尽管如此，已解析部分表现出清晰且物理一致的行为。

有两个显著特征。首先，从主体区域计算的谱在可被视为 LES 惯性区的较小已解析频段上，遵循接近科尔莫哥洛夫 - 奥布霍夫 (KO) 预测 (Eu(k)～k^?5/3) 的斜率（见图中的参考线）。这一观察与 Mishra 和 Verma [45] 的发现以及随后的分析一致，后者认为在许多 RBC 参数制度下，内部（远离热边界层）显示出近似恒定的动能通量和空间谱的 KO 类标度 [46], [47], [48]。从物理上讲，当浮力强迫主要作用于大尺度（羽流尺度）且近似保守的惯性级联将动能传递到耗散尺度时，预期主体区域会出现 KO 行为。

其次，在已解析波数范围内，近壁谱系统性地比主体谱更陡，并且在可见尺度分离的有限频段上显示出与博尔贾诺 - 奥布霍夫 (BO) 类行为 (Eu(k)～k^?11/5) 兼容的斜率。与文献中充分记录的 KO 标度以及通常在最小化或消除边界层效应时恢复的 KO 标度不同，近壁区域的谱行为受到的直接关注相对较少。许多数值研究采用无滑移边界条件或主要关注主体统计，从而避免了壁面限制的热和粘性层引入的复杂性 [45], [49]。局部 Bolgiano 长度 (lB) 提供了一个有用的物理框架，该长度 [49] 显示随壁面法向坐标 z 强烈变化，在主体区域变大，在近壁处变小。由于 [45] 将 KO 标度与尺度 llB 关联，主体区域较大的 lB 自然有利于 KO 行为，而近壁处较小的 lB 可能允许在已解析范围的一部分上出现 BO 类动力学。在我们的数据中，近壁谱在重叠波数处也位于主体谱之上，表明近壁处给定小尺度的能量含量增强，这与边界层中强烈的羽流活动和局部剪切生成一致。

然而，对近壁 BO 类区域的解释必须谨慎。虽然主体谱稳健地重现了 KO 指数 -5/3，但近壁拟合对壁面诱导的各向异性、非均匀性、直接浮力强迫以及 HPFRT LES 滤波器的作用更加敏感，后者抑制了最高已解析波数附近的能量并缩短了表观惯性间隔。虽然近壁处较小的局部 lB 支持 l>lB 的可能性，但边界层中相关的物理尺度本身也很小，因此这个不等式无需在近壁区域整个范围内均匀满足。因此，现有结果应解释为近壁处可能的 BO 类标度，而不是对 BO 惯性区的最终确认。尽管如此，相对于主体的持续变陡，结合局部 Bolgiano 长度的论证和观察到的过量小尺度能量，强烈表明浮力修改的近壁级联动力学是活跃的。更确切的评估需要更高分辨率的模拟、局部通量诊断以及专门设计用于隔离边界层谱传输机制的壁面解析研究。

5. 结论

使用开源代码 Nek5000 中实现的谱元框架内的 HPFRT 模型，进行了湍流瑞利 - 贝纳德对流的 LES 研究。这项工作的主要目标是评估这种计算高效方法捕捉高瑞利数对流基本物理的能力，同时相对于 DNS 显著降低成本。结果表明，基于 HPFRT 的 LES 为模拟高达 Ra=1×10^10 的瑞利 - 贝纳德对流提供了一个稳健且稳定的框架，在长宽比为 6 的矩形盒几何形状中具有可接受的物理保真度。这使得能够以大幅降低的计算成本表示大尺度环流、羽流组织和长相干结构；尽管高长宽比域带来了增加数值复杂性。

与基准 DNS 数据的验证显示，一阶矩（平均温度剖面）吻合极佳，二阶矩（温度方差）趋势一致，具有归因于 LES 滤波的中等定量偏移。速度导数偏度（三阶矩）在整体趋势水平上被重现，而局部变化由于在谱元方法中粗网格上进行梯度计算时不可避免地对数值伪影应用必要的高斯滤波而受到抑制。这些发现表明，现有的 LES 框架可靠地捕捉了直到二阶的湍流统计量，即使在更粗的网格上也能保持高阶矩的正确定性行为。基于沿水平方向局部努塞尔数空间分布的验证也显示与两个高 Ra 案例的 DNS 参考文献 [29] 良好吻合。Nu-Ra 标度由幂律相关 Nu=0.13Ra^0.299 建立。该标度是从计算的 Nu-Ra 数据集的最小二乘回归获得的，并产生了优秀的决定系数 (R2=0.9986)。估计的指数标准误差为 2.80×10^?3，对应于 95% 的置信区间 0.2936≤β≤0.3048。这些统计措施表明，推断的标度高度稳健，并且在所研究的瑞利数范围内保持与近立方根依赖关系一致，尽管采用了相对较粗的网格分辨率。

二维温度切片揭示了相 coherent 的热羽流组织和强烈的边界层梯度，而三维等值面可视化捕捉了片状和柱状羽流结构随瑞利数增加而演化的情况。对二维温度切片中观察到的湍流超结构的定量分析也显示与 DNS 文献合理吻合。使用速度、涡度和 Q 准则诊断识别的涡结构表现出预期在热边界层中的集中以及在主体区域微弱、间歇性的活动。然而，发现由粗网格上的梯度计算引起的数值伪影导致 Q 结构碎片化和嘈杂；表明现有方法不太适合准确可视化 Q 准则结构。分别在边界层和主体区域评估的高阶温度矩显示正确的定性行为，包括在更高瑞利数下间歇性增加，在 Ra=1×10^10 时由于细尺度结构的增强滤波导致极端事件的适度低估。

从主体和近壁区域提取的动能谱进一步证实了 LES 捕捉了湍流对流的主导级联机制。主体谱表现出科尔莫哥洛夫 - 奥布霍夫标度，而边界层谱似乎遵循更陡的博尔贾诺 - 奥布霍夫标度，这与理论预期一致。主体区域的 KO 标度得到了文献的充分支持；然而，近壁区域从谱分析的角度尚未得到广泛探索。这主要是由于近壁区域固有的壁面诱导各向异性、非均匀性、直接浮力强迫及相关效应。虽然本研究表明近壁区域恢复了 BO 标度并为这一观察提供了理论支持，但重要的是要认识到，更陡的标度也可能受到上述近壁效应以及 HPFRT LES 滤波器的影响。因此，需要进一步的调查才能得出确定的结论。

总体而言，本研究表明基于 HPFRT 的谱元 LES 为研究极端瑞利数下的瑞利 - 贝纳德对流提供了计算高效且物理可靠的 DNS 替代方案。虽然细尺度波动自然被平滑，但该方法捕捉了控制热传输和湍流动力学的主导流组织、统计行为和多尺度相互作用。这些结果确立了该方法作为探索 DNS 无法触及的高 Ra 对流制度的有价值工具，能够以大幅降低的计算成本系统地调查湍流对流物理。

CRediT 作者贡献声明
T. Ajeesh Mohan: 写作 – 初稿，可视化，验证，方法论，调查，形式分析，数据整理，概念化。Abhilash J. Chandy: 写作 – 审查与编辑，写作 – 初稿，可视化，验证，监督，软件，资源，项目管理，方法论，调查，资金获取，形式分析，概念化。

资助信息
作者衷心感谢印度政府科学技术部 (DST) 下属的 Anusandhan 国家研究基金会 (ANRF) 在核心研究资助 (CRG) 科学与工程研究委员会框架下提供的财政支持，编号 CRG/2022/002394。

T. Ajeesh Mohan|Abhilash J. Chandy