基于线性化方法和高阶贝叶斯优化控制流动非定常性的形状优化

《Journal of Computational Physics》：Shape Optimization for Control of Flow Unsteadiness via Linearized Methods and Higher-Order Bayesian Optimization

　　

流体流动中的波动可能源于内在的流动不稳定性或外部扰动的放大，并会严重影响工程系统的性能。研究人员提出了一种基于物理的形状优化框架，旨在控制这些相干波动的流动结构。不可压缩Navier–Stokes方程的线性稳定性和预解分析与基于伴随的方法相结合，用于计算特征值增长率和预解增益关于几何形状的一阶和二阶敏感度。这些导数量被整合到高阶贝叶斯优化（HOBO）框架中，该框架利用梯度和曲率信息以实现数据高效的全局优化。该方法在两种代表性配置上进行了演示：具有振荡器型动力学特性的水翼尾流，以及表现出放大器型行为的后向斜坡。在这两种情况下，优化后的形状都有效抑制了不稳定性增长或减少了扰动放大。与传统的梯度跟随算法（如BFGS）相比，研究人员提出的HOBO方法显示出更快且更鲁棒的收敛性，特别是对于复杂的非凸目标景观。研究结果强调了将线性流动分析与高阶统计优化相结合，能够实现对非定常流动动力学的具有物理可解释性和计算效率的控制。

非定常流动现象在许多流体系统中普遍存在，主要由内在的流动不稳定性或外部扰动的放大所驱动，会产生空间和时间上的相干波动，引发结构振动、改变燃烧过程并产生气动噪声，严重降低工程系统性能。以往的控制策略设计常采用物理不可知的数据驱动优化方法，如贝叶斯优化，但这类方法受限于训练数据需求且缺乏物理可解释性。为解决上述问题，更高效的策略是将物理知识引入优化框架。通过将Navier-Stokes方程在稳态基础流附近线性化，可提取引发不稳定的物理机制，并据此构建基于物理的目标函数。尽管已有研究利用伴随方法分析特征值和预解增益的敏感度，但将其直接整合进全局优化过程以利用精确梯度和曲率信息的研究较为缺乏。为填补这一空白，研究人员开展了基于线性化方法和高阶贝叶斯优化的形状优化研究，提出了一种通过形状修改控制流动非定常性的全局优化框架。该研究证实了结合线性流动分析与高阶统计优化能够有效抑制流动不稳定增长，且计算效率高、物理机制清晰，对非凸目标景观下的流体系统设计具有重要价值。论文发表在《Journal of Computational Physics》上。

研究人员主要采用了以下关键技术方法：基于有限元法（FEM，求解偏微分方程的数值方法）对不可压缩Navier-Stokes方程进行空间离散，计算稳态基础流并进行线性稳定性及预解分析，以获取特征值增长率和预解增益作为目标函数。推导了目标函数关于几何参数的一阶和二阶伴随敏感度，利用有限差分法近似矩阵偏导数。将导数信息嵌入高阶贝叶斯优化框架，采用多输出高斯过程回归构建代理模型，通过预期改进获取函数指导采样。计算在FELiCS框架内进行，测试算例为水翼尾流及后向斜坡流动。

4.1. 两个控制参数的说明
研究人员对比了BO-1与L-BFGS-B算法。水翼算例目标景观简单，两者均迅速收敛；而斜坡算例景观复杂且存在多个局部极小值。BO-1凭借全局探索能力广泛采样，成功定位全局最优，而L-BFGS-B易陷入局部极小值谷地。研究表明BO-1在复杂景观下具有更高的鲁棒性。

4.2. 维度和BO阶数对收敛行为的影响
研究探讨了维度（d=2, 4, 10）和优化阶数（BO-0、BO-1、BO-2）的影响。利用梯度信息的方法均优于无梯度的BO-0。随着维度增加，利用曲率信息的BO-2在减少迭代次数方面优势愈发显著。水翼算例中HOBO在低维问题效率最高；斜坡算例中HOBO始终保持极高可靠性，而L-BFGS-B成功率显著降低。这表明在非凸问题中高阶信息仍能保持优化的鲁棒性。

4.3. HOBO的计算成本
尽管高阶贝叶斯优化包含高阶导数信息导致模型训练复杂度增长，但基础流计算及伴随敏感度评估等流场求解步骤的开销仍占主导。因此，利用高阶导数减少昂贵的流场评估次数，能显著降低总计算时间，这对计算成本极高的湍流模拟尤为有利。

4.4. HOBO对梯度噪声的鲁棒性
研究人员向梯度中注入高斯扰动模拟建模误差。结果显示，在中等噪声水平（σ_g=0.2）下，BO-1仍优于BO-0；但在严重噪声（σ_g=0.5）下，梯度信息可靠性下降，此时BO-0反而表现更好。说明梯度增强优化的有效性依赖于导数信息的质量。

在讨论部分，研究人员分析了最优解的几何特征及稳定机制。水翼算例优化后后半段变薄，缩小了尾流回流区，使全局模态被稳定化。斜坡算例最优形状形成带凹陷腔体的结构，将更多动量注入剪切层，缩短了回流区，从而降低预解增益。通过将形状敏感度分解为基流贡献和反馈贡献，发现流动稳定化主要由基流贡献驱动。进一步解析为生产机制和对流机制表明，最优形状通过减弱尾流速度梯度并加速尾流区域来共同实现流动稳定。

结论部分翻译如下：本研究引入了一个通过形状变形控制流动非定常性的全局优化框架。该方法结合了基于线性化Navier-Stokes方程的稳定性和感受性分析与高阶贝叶斯优化的全局搜索能力。通过利用伴随方法获取基于物理目标的导数信息，该框架提高了优化效率和可解释性，使其适用于计算成本高昂的流动模拟。与纯数据驱动的黑盒方法不同，基于物理的公式提供了对底层流动机制的直接物理见解，将优化的几何修改与流动的特定动力学特征联系起来。两个代表性算例表明，基于线性分析的目标函数能提供平滑且连续的优化景观，但也会出现复杂的非凸拓扑。在这种情况下，HOBO框架表现出对初始形状的较低依赖性和识别全局最优解的更高概率。在计算成本主要由流场模拟主导的情况下，即使是通过高阶导数处理带来的适度迭代次数减少，也足以抵消额外的计算开销。鉴于线性稳定性或预解框架可建模的物理现象十分广泛，研究人员认为该方法具有广泛的工程适用性，未来将进一步应用于湍流问题及实验数据同化中。