Auto-PINNs：一种用于求解带有比弗斯 - 约瑟夫界面条件的耦合流体 - 多孔介质流动的强化学习框架

《Journal of Computational Physics》：Auto-PINNs: A Reinforcement Learning Framework for Solving Coupled Fluid–Porous Media Flows with Beavers–Joseph Interface Conditions

　　

摘要 求解耦合流体 - 多孔介质流，例如具有比弗斯 - 约瑟夫界面条件的斯托克斯 - 达西和纳维 - 斯托克斯 - 达西系统，由于物理异质性和刚性约束导致的系统性优化瓶颈，对物理信息神经网络 (PINNs) 提出了严峻挑战。传统的 PINNs 严重依赖超参数的人工试错调优，导致收敛次优且在复杂工程场景中的应用受限。为了克服这些局限性，本文提出了 Auto-PINNs，这是一个新颖的框架，集成了深度强化学习 (RL) 以完全自动化求解器的配置。我们将训练过程表述为马尔可夫决策过程 (MDP)，使 RL 代理能够自主地实时协调损失权重、采样策略和网络架构的端到端协同优化。此外，我们引入了一种“深度区域分解”策略，设计了从整体单网络演变为完全解耦的双网络双优化器系统的渐进式架构。该设计明确解决了自由流和多孔介质区域之间的刚度比问题。数值实验表明，与标准基准相比，Auto-PINNs 在保持高精度的同时，计算效率提高了高达 37%。值得注意的是，所提出的框架表现出强大的鲁棒性和可迁移性：相同的 RL 代理成功地从线性斯托克斯 - 达西问题泛化到非线性纳维 - 斯托克斯 - 达西系统，并无需人工重新配置即可处理复杂的曲线几何形状。

引言 耦合自由流体流动和多孔介质流动的建模是现代工程科学的基石，其关键应用范围从工业过滤和地下水修复到生理血流和石油储层工程。这些系统通常由斯托克斯（或纳维 - 斯托克斯）方程与达西方程的耦合所控制，前者描述开放通道中的流体运动，后者控制通过多孔介质的过滤。模拟此类系统的一个基本挑战在于界面条件的数学严谨处理，特别是控制异质介质之间滑移速度和应力连续性的比弗斯 - 约瑟夫界面条件。这些流体动力学原理的应用涵盖航空航天 [1], [2]、气象与海洋科学 [3], [4]、能源工程 [5], [6]、生物医学工程 [7], [8]、汽车工业 [9], [10]、化学工程 [11], [12] 以及环境生态保护 [13], [14] 等多个领域。

在过去的几十年中，使用传统的基于网格的数值方法求解耦合斯托克斯 - 达西和纳维 - 斯托克斯 - 达西系统取得了实质性进展。值得注意的方法包括有限元方法 (FEM)，如集成算法 [15], [16] 和拉格朗日乘子法 [17], [18]；区域分解方法 [19], [20], [21], [22]；间断伽辽金 (DG) 方法 [23], [24]；以及多重网格方法 [25], [26]。除了 FEM 之外，研究人员还探索了有限体积方法 [27], [28], [29]、有限差分方法 [30]、边界积分方法 [31], [32] 和谱方法 [33], [34], [35]。人们也将注意力集中在更复杂的纳维 - 斯托克斯 - 达西耦合方程 [36], [37], [38], [39], [40], [41] 上。虽然这些方法已被证明有效且鲁棒，但它们往往在复杂工程场景中面临重大挑战：为具有曲线界面的复杂几何形状生成高质量的贴合边界网格计算成本高昂，并且由于需要重复重新网格划分，处理高维参数变化或反问题仍然非常费力。

在此背景下，深度学习为解决流体方程开辟了新途径，提供了一种无网格替代方案。由 Raissi 等人 [42] 引入的物理信息神经网络 (PINNs)，通过将物理定律直接嵌入损失函数，提供了一种突破性范式。提出了各种变体以增强 PINNs 在流体动力学方面的能力：基于 ResNet 的架构 [43] 以增强表达能力；用于时变建模的 PINNsFormer [44]；以及用于湍流的 NSFnets [45]。最近，基于柯尔莫哥洛夫 - 阿诺尔德网络的物理信息方法，如 KINN [46]，通过用基于样条的柯尔莫哥洛夫 - 阿诺尔德表示替代传统多层感知器，从而提高了神经 PDE 求解器的表达能力，引起了越来越多的关注。与此同时，基于变分和能量的神经求解器，如深度能量法 (DEM) [47]，通过能量泛函的最小化重新表述 PDE 学习，这可以降低微分阶数，并提供一种对强形式残差最小化具有物理可解释性的替代方案。此外，新兴趋势包括开发神经算子以模拟复杂流动，如傅里叶神经算子 (FNO) [48]、库普曼神经算子 [49]、U 型神经算子 [50] 以及用于前向和反向问题的 DeepONet [51], [52]。基于区域分解的 PINN 方法，如 hp-VPINNs [53]，也通过将变分 PINNs 与区域分解和高阶多项式测试函数相结合而得到发展，从而在 PINN 框架内实现了 hp 细化。

然而，将标准 PINNs 应用于耦合多物理系统带来了系统性优化瓶颈。由于异质物理域梯度之间的竞争以及界面处的刚性约束，此类耦合问题的损失景观众所周知的病态。标准梯度下降往往无法收敛到物理溶液，因为训练对超参数高度敏感——具体包括损失权重、采样策略和网络架构。虽然启发式损失平衡技术，如 SoftAdapt 算法 [54]，已成功基于局部收敛率自动化损失权重，但通过贪婪规则优化这一单一维度往往不足以应对高度刚性的多物理耦合系统。仅依赖短期损失收敛统计无法解决因空间采样密度不足或网络容量不足而导致的系统性瓶颈。为了完全克服这些优化病理，需要一种协同调整权重、架构和采样的全局策略。另一方面，虽然强化学习 (RL) 的集成在从理论 HJB 方程 [55] 和多智能体游戏 [56] 到工程控制 [57], [58], [59] 的控制应用中显示出潜力，但其在优化 PINNs 求解器方面的应用仍未得到充分探索。正如 Song [60] 所指出的，RL-PINNs 成功地将采样建模为马尔可夫决策过程 (MDP)，但这仅解决了问题的一个方面。优化单一维度不足以在耦合系统中实现全局最优的训练效率。

为了解决这些系统性挑战并完全自动化耦合流体 - 多孔介质流系统的求解器，本文提出了基于 PINNs 的强化学习框架 (Auto-PINNs)。核心创新在于将 PINNs 训练格式化为马尔可夫决策过程，其中损失权重、样本分布和网络架构以端到端的方式进行协同优化。本工作的独特贡献如下：

• 端到端自动优化：我们引入了一种统一的 RL 机制，实时同时优化损失权重、采样分布和网络架构（宽度和深度）。这允许求解器自适应地将计算资源集中在高误差区域，例如比弗斯 - 约瑟夫界面和边界层。

• 深度区域分解：我们设计了三种渐进式配置——从整体单网络求解器到双网络、双优化器架构。双网络设计明确处理了斯托克斯/纳维 - 斯托克斯和达西域的异质性，有效缓解了多物理耦合中固有的刚度问题。

• 复杂几何形状下的鲁棒性：我们证明 Auto-PINNs 代理可以在不同物理（从线性斯托克斯 - 达西到非线性纳维 - 斯托克斯 - 达西）和复杂几何形状（曲线界面）之间泛化，无需人工干预。实验结果表明，与基准方法相比，我们的方法在保持高精度的同时，计算效率提高了高达 37%。

必须强调的是，本工作中的深度区域分解策略不同于 hp-VPINNs [53]，后者执行类似于 hp 细化的局部变分积分。虽然这些方法对局部特征非常有效，但它们通常不跨子域纳入网络架构和训练配置的动态、物理感知适应。当求解复杂耦合系统（例如斯托克斯 - 达西）时，极端的数学刚度要求不对称的计算资源分配。我们的框架通过引入 RL 代理来自主进化物理感知的、不对称的网络拓扑结构以及针对特定物理域的动态超参数配置，从而提升了传统的区域分解 (DD)。

尽管 PINNs 具有经验上的成功，但求解多物理耦合系统暴露了一个基本的数学瓶颈：标准均方误差 (MSE) 损失缺乏严格的强制性以及与真实解误差的等价性。正如最近的研究 [61], [62] 所示，这种差异造成了一种非鲁棒的优化景观，其中经验损失的减少并不一定保证真实数值误差成比例减少。虽然最近的理论进展通过构建具有从精心选择的内积导出的格拉姆矩阵逆的鲁棒损失函数严格解决了这一问题 [61], [62]，但这些方法通常需要针对特定 PDE 的显式函数重构。在本工作中，我们从算法和动态角度入手解决收敛病理。通过引入 Auto-PINNs 框架，我们通过 RL 驱动的动态权重预条件、目标空间细化和深度区域分解策略，减轻了优化刚度和虚假局部极小值，有效地规避了非鲁棒损失景观的陷阱，而无需对损失空间本身进行解析修改。

本文其余部分组织如下。第 2 节概述控制方程和比弗斯 - 约瑟夫界面条件。第 3 节详细说明 Auto-PINNs 框架，包括 MDP 公式化和双网络架构设计。第 4 节提供理论收敛性分析。第 5 节提供了斯托克斯 - 达西和纳维 - 斯托克斯 - 达西耦合系统的综合数值实验，以验证所提出方法的有效性和效率。最后，第 6 节总结全文并讨论未来研究方向。

章节片段

控制方程 我们考虑一个有界域 Ω?Rd (d=2,3)，由自由流区域 ΩS 和多孔介质区域 ΩD 组成，由简化界面 Γ=?ΩS∩?ΩD 分隔，见图 1。ΩS 中的流体流动由斯托克斯或纳维 - 斯托克斯方程控制，而 ΩD 中的流动由达西方程描述。

Auto-PINNs 框架 本节详细介绍所提出的自动物理信息神经网络 (Auto-PINNs) 框架。通过混合传统的物理信息神经网络 (PINNs) 和深度强化学习 (DRL)，我们建立了一个端到端机制，以自动协调求解器的配置。具体而言，我们将超参数调优问题——涵盖损失权重、采样策略和网络架构——表述为马尔可夫决策过程 (MDP)，允许求解器自适应

收敛性分析 在本节中，我们为 Auto-PINNs 框架建立理论收敛性保证。我们采用以下范数约定：‖?·?‖2 表示参数空间的欧几里得范数；∥·∥L2(Ω×[0,T]) 表示时空域上的 L2 范数；‖?·?‖ 表示矩阵的谱范数。

考虑域 Ω=ΩS∪ΩD 上的耦合流体 - 多孔介质系统。设 u 表示耦合 PDE 系统（斯托克斯 - 达西或纳维 - 斯托克斯 - 达西）的精确解。Auto-PINNs

数值实验 在本节中，我们在两个基准问题上验证了所提出的 Auto-PINNs 框架的性能：耦合斯托克斯 - 达西系统和非线性耦合纳维 - 斯托克斯 - 达西系统。两种情况都涉及物理上严谨的比弗斯 - 约瑟夫界面条件，由于耦合域的异质性，这对标准求解器构成了重大挑战。

为了量化准确性，我们采用相对 L2 误差指标，定义为：εrel(t)=∥uref(·,t)?upred(·,t)∥2∥uref(·,t)∥2,

结论 在本工作中，我们提出了 Auto-PINNs，这是一种基于强化学习的新颖框架，旨在解决求解耦合多物理系统中的系统性优化瓶颈。通过将超参数调优问题表述为马尔可夫决策过程，我们首次成功实现了损失权重平衡、采样分布和网络拓扑适应的端到端协同自动化。这种方法从根本上改变了从人工

声明 作者声明他们没有利益冲突。本研究中生成或分析的所有数据均包含在本文中。Auto-PINNs 框架的源代码可在 GitHub 上获取：https://github.com/sci-comput-nbu/Auto-PINNs。

未引用表格 表 B.24

CRediT 作者贡献声明 Menghan Guo: 写作 – 原稿，验证，方法论，调查。Changxin Qiu: 写作 – 审查 & 编辑，监督，方法论，调查，形式分析。Zhiping Mao: 写作 – 审查 & 编辑，验证，方法论。

竞争利益声明 作者声明他们没有任何已知的竞争财务利益或个人关系，这些利益或关系可能影响本文报告的工作。

Menghan Guo|Changxin Qiu|Zhiping Mao