数据驱动的超弹性理论——第三部分：可压缩聚合物泡沫的典型各向同性建模方法

《Journal of the Mechanics and Physics of Solids》：Data-Driven Hyperelasticity – Part III: A Canonical Isotropic Formulation for Compressible Polymeric Foams

　　摘要：可压缩聚合物泡沫表现出高度非线性的力学行为，这种行为主要由其孔隙率和细胞结构决定。传统的本构模型受到预定义解析形式的限制，往往无法足够准确地捕捉这种复杂性。在这项研究中，我们通过采用基于加性可分不变量的超弹性公式，将基于B样条的数据驱动本构框架扩展到可压缩材料。该方法自适应地更新控制点，以最小化实验观测与模型预测之间的差异，同时确保热力学一致性，并通过约束优化满足归一化和生长条件。该框架使用一个新的实验数据集进行了验证，这些数据集是首次报告的，来源于具有三种不同密度的闭孔EPDM泡沫，通过单轴拉伸、受限压缩和单轴压缩测试进行了表征。此外，还结合了EPDM橡胶的实验数据，以进一步评估所提出方法在不同可压缩聚合物材料中的通用性。有限元模拟验证了模型的预测准确性。与经典本构模型的比较分析表明，数据驱动框架在捕捉可压缩聚合物泡沫和橡胶的复杂力学响应方面具有优越性能。

引言：由于可压缩材料在涉及大体积变形的应用中广泛使用，因此对其力学行为的建模在计算固体力学中变得越来越重要。与通常被视为几乎不可压缩的传统橡胶状材料不同，聚合物泡沫和凝胶等材料在机械载荷下可能会经历显著的体积变化。这种行为在缓冲和能量吸收系统中尤其相关，因为机械响应受到可压缩性的强烈影响。然而，文献中的大多数经典超弹性模型（参见例如Alexander (1968)；Arruda和Boyce (1993)；Carroll (2011)；Dal等人 (2021)；Gent (1996)；Hossain和Steinmann (2013)；Ogden (1972c)；Ricker和Wriggers (2023)；Shariff (2000)；Steinmann等人 (2012)；Yeoh (1993)；Yeoh和Fleming (1997)）都是基于不可压缩性或近似不可压缩性假设构建的。虽然这些框架对于固体弹性体来说是稳健的，但它们往往无法建立宏观可压缩性与微观孔隙率之间的物理联系，从而在应用于高度可压缩的蜂窝系统时导致预测不准确。不可压缩性公式无法充分捕捉体积应变能、压力依赖性响应或在可压缩材料中观察到的硬化行为。因此，开发稳健且灵活的可压缩超弹性本构模型仍然是一个关键任务。为了准确描述这些系统，本构模型必须以热力学一致和数值稳定的方式纳入体积变形效应。这导致了各种建模策略，通常涉及在不可压缩模型中加入体积惩罚项或构建明确考虑可压缩性的自由能函数。

可压缩聚合物泡沫，如开孔和闭孔弹性体泡沫，由于其内在的微观结构和大的变形能力，表现出高度复杂的力学行为。这些材料经常发生显著的体积变化，并表现出明显的拉伸-压缩不对称性，即在拉伸时的力学响应与压缩时显著不同（Landauer等人，2019）。这种不对称性源于压缩时蜂窝结构的坍塌和屈曲，而拉伸时则以拉伸为主。标准的超弹性模型通常无法解释这种双重行为，限制了它们在现实世界应用中的预测能力。已经提出了多种经典本构模型来描述可压缩超弹性材料的行为，特别是使用基于右Cauchy-Green变形张量主不变量的公式。一个著名的例子是Blatz-Ko模型（Blatz和Ko，1962），最初是为聚氨酯泡沫开发的，它提供了一种紧凑且物理上可解释的形式，适用于中等可压缩性和拉伸水平。在该框架的基础上，Anani和Alizadeh（Anani和Alizadeh，2011）以及Yang和Shim（Yang和Shim，2004）提出了模型，引入了额外的灵活性，以更好地捕捉可压缩加载条件下的非线性效应。这些基于不变量的方法已应用于各种软材料，并因其分析上的可行性和实现的便利性而保持价值。同时，还开发了现象学模型，如Ogden Hyperfoam模型（Ogden，1972b；Stor?kers，1986），通过包括偏应力和体积行为的单独贡献来处理更广泛的变形谱，这使得它们特别适用于建模具有更复杂应力-应变响应的泡沫。最近，Moerman等人（Moerman等人，2020）和Pelliciari等人（Pelliciari等人，2023）引入了一个可压缩超弹性模型，通过定制的体积能量函数公式捕捉拉伸-压缩不对称性。这种方法能够准确表示弹性体泡沫的实验数据，并突显了在现代公式中捕捉非对称力学响应的日益重视。这些模型代表了可压缩超弹性理论发展的关键里程碑，为不同材料系统和加载条件提供了重要的见解和建模策略。

对可压缩材料力学行为的建模在计算固体力学中变得越来越重要，因为它们在涉及大体积变形的应用中得到广泛应用。与通常被建模为几乎不可压缩的传统橡胶状材料不同，聚合物泡沫和凝胶等材料在机械载荷下可能会经历显著的体积变化。这种行为在缓冲和能量吸收系统中特别相关，因为机械响应受到可压缩性的严重影响。然而，文献中大多数经典超弹性模型（例如，Alexander (1968)；Arruda和Boyce (1993)；Carroll (2011)；Dal等人 (2021)；Gent (1996)；Hossain和Steinmann (2013)；Ogden (1972c)；Ricker和Wriggers (2023)；Shariff (2000)；Steinmann等人 (2012)；Yeoh (1993)；Yeoh和Fleming (1997)）都是基于不可压缩性或近似不可压缩性假设构建的。尽管这些框架对于固体弹性体来说是稳健的，但它们往往无法建立宏观可压缩性与微观孔隙率之间的物理联系，导致在应用于高度可压缩的蜂窝系统时预测不准确。不可压缩性公式无法充分捕捉体积应变能、压力依赖性响应或在可压缩材料中观察到的硬化行为。因此，开发稳健且灵活的可压缩超弹性本构模型仍然是一个关键任务。为了准确描述这些系统，本构模型必须以热力学一致和数值稳定的方式纳入体积变形效应。这一要求导致了各种建模策略，通常涉及在不可压缩模型中加入体积惩罚项或构建明确考虑可压缩性的自由能函数。

可压缩聚合物泡沫，如开孔和闭孔弹性体泡沫，由于其内在的微观结构和大变形能力，表现出高度复杂的力学行为。这些材料经常发生显著的体积变化，并表现出明显的拉伸-压缩不对称性，即在拉伸时的机械响应与压缩时显著不同（Landauer等人，2019）。这种不对称性源于压缩时蜂窝结构的坍塌和屈曲，与拉伸时的拉伸主导响应形成对比。标准超弹性模型通常无法解释这种双重行为，限制了它们在现实世界应用中的预测能力。已经提出了多种经典本构模型来描述可压缩超弹性材料的行为，特别是使用基于右Cauchy-Green变形张量主不变量的公式。一个著名的例子是Blatz-Ko模型（Blatz和Ko，1962），最初是为聚氨酯泡沫开发的，它提供了一种紧凑且物理上可解释的形式，适用于中等可压缩性和拉伸水平。这一公式已被广泛用作闭孔泡沫和类似材料的基准模型。在此基础上，Anani和Alizadeh（Anani和Alizadeh，2011）以及Yang和Shim（Yang和Shim，2004）提出了模型，引入了额外的灵活性，以更好地捕捉可压缩加载条件下的非线性效应。这些基于不变量的方法已应用于各种软材料，并因其分析上的可行性和实现的便利性而保持价值。同时，还开发了现象学模型，如Ogden Hyperfoam模型（Ogden，1972b；Stor?kers，1986），通过包括偏应力和体积行为的单独贡献来处理更广泛的变形谱，使其特别适用于建模具有更复杂应力-应变响应的泡沫。最近，Moerman等人（Moerman等人，2020）和Pelliciari等人（Pelliciari等人，2023）引入了一个可压缩超弹性模型，通过定制的体积能量函数公式捕捉拉伸-压缩不对称性。这种方法能够准确表示弹性体泡沫的实验数据，并突显了在现代公式中捕捉非对称力学响应的日益重视。总体而言，这些模型代表了可压缩超弹性理论发展的关键里程碑。它们为不同的材料系统和加载条件提供了必要的见解和建模策略。

常见的建模可压缩超弹性材料的方法是将自由能函数表示为等容（偏应力）组分和体积组分之和。这种加法分解允许分别控制材料的畸变和体积响应，提供了物理上的可解释性和数值上的便利性。总应变能密度函数通常表示为：ψ(C)=ψiso(Cˉ)+ψvol(J)，其中Cˉ是右Cauchy-Green变形张量C的偏应力部分，J=det(C)表示体积比。等容部分控制形状变化，而体积项惩罚体积偏差；见表1中的代表性体积自由能贡献公式。这种公式在接近不可压缩材料的背景下特别有用，因为它可以通过体积惩罚有效地实施不可压缩性约束。例如，Miehe（Miehe，1994）强调了其在有限元实现中的优势，特别是在防止体积锁定方面。然而，将其应用于高度可压缩材料则更具争议性。Penn（Penn，1970）、Ehlers和Eipper（Ehlers和Eipper，1998）已经表明，在简单的单轴拉伸或压缩情况下，加法分解可能会产生非物理结果，特别是当体积项占主导地位或与等容部分引入非物理耦合时。这些问题源于公式的解耦性质，可能无法充分表征可压缩泡沫中体积和偏应力机制之间的复杂相互作用。尽管存在这些已知缺点，但由于其模块性和实现的便利性，加法分解仍然是许多商业和学术公式中的主流建模策略。然而，这些经典框架依赖于不可压缩性或近似不可压缩性（Ogden，1976）的假设，通常限制了它们的适用性。正如Horgan和Murphy（Horgan和Murphy，2009a；Horgan和Murphy，2009b）所强调的，这样的方法主要限于孔隙体积分数可以忽略的准不可压缩区域，从而未能建立宏观可压缩性与微观孔隙率之间的稳健物理联系。这种纯宏观模型的固有局限性推动了向多尺度视角的转变。多孔弹性体的微观结构与宏观力学响应之间的联系仍然是一个研究的关键领域，主要通过分析框架和基于FE2的计算均质化技术来解决。现有的分析解通常是现象学性质的，或者是从均质化概念中得出的。在这方面，我们参考了Gibson和Ashby（Gibson和Ashby，1997）关于低密度泡沫在有限变形下的力学行为的专著。对于孔隙率恒定的弹性体，Blatz和Ko（Blatz和Ko，1962）的现象学模型和Ogden（Ogden，1978）提出的基于均质化的可压缩超弹性模型提供了替代方法。更复杂的策略包括Lopez-Pamies和Ponte（Pamies和Castaneda，2006a；Pamies和Castaneda，2006b）开发的二阶均质化技术，该技术已有效应用于表征各向同性Gent型矩阵（Gent，1996），如Pamies和Castaneda（Pamies和Castaneda，2007a；Pamies和Castaneda，2007b）所概述的。Hou和Abeyaratne（Hou和Abeyaratne，1992）关于具有预先存在孔隙的球形介观结构的分析工作为满足detF=1的不可压缩介质提供了精确解。通过利用这种变形场，可以通过将孔隙率作为控制参数来推导出可压缩neo-Hookean对应物的封闭形式解，正如Danielsson等人（Danielsson等人，2004）所演示的。这种假设依赖于对介观球体的第一不变量的均质化。最终，许多当前的分析模型仍然过于简化或针对特定的材料定律，将其扩展到广义非线性超弹性涉及繁琐的推导，阻碍了实际的有限元实现。相反，尽管计算均质化方法（如Miehe（Miehe，1993）和Geers等人（Geers等人，2010）为先驱）为随机微结构提供了高保真度，但它们在计算上仍然昂贵且不适用于大规模模拟。因此，需要在分析均质化的效率和高保真度多尺度建模的精度之间找到方法上的折中。在这种情况下，Dal等人（Dal等人，2018）提出了用于多孔超弹性材料的半数值均质化方法，能够从代表性多孔微观结构推导出宏观应力和模量。尽管做出了这些努力，但在可压缩泡沫中捕捉完整的变形谱仍然是一个重大挑战。这种困难源于双重约束：首先，尽管在高保真度模拟方面取得了进展，计算均质化技术在实际工程应用中仍然计算上成本高昂。其次，材料微观结构的固有复杂性——特别是开孔和闭孔蜂窝结构之间的区别以及孔隙模式的可变性——引入了进一步非线性，分析模型往往难以涵盖。因此，迫切需要一个理论框架，以平衡微观结构的忠实性和计算效率，准确表征聚合物泡沫的力学行为。许多模型依赖于启发式修改或额外的拟合参数，这通常会损害物理可解释性并限制在不同泡沫密度和加载模式下的通用性。此外，泡沫变形的微观结构驱动特性经常在多轴或非均匀加载下引入非仿射行为，给经典本构框架带来了重大挑战。

近年来，数据驱动建模作为一种强大的替代方案出现，它提供了更大的灵活性，能够在不依赖于预先假设的解析形式的情况下捕捉复杂的非线性材料行为。这些方法直接从实验数据推断应力-应变或基于能量的关系，使其特别适用于表现出异质性、各向异性和不对称性的材料（Tasdemir等人，2022）。相关的非参数本构方法包括Marlow模型（Marlow，2003），它通过从实验数据中识别出的第一不变量的广义多项式函数来表示本构响应。基于人工神经网络（ANNs）的机器学习方法在近似本构定律方面显示出显著的前景（Linka等人，2021；Linka和Kuhl（2023）；Ta?等人（2024；Ta?等人，2022a；Ta?等人，2022b）。这些模型可以表示多轴加载下的复杂材料响应，最近的进展在训练期间整合了热力学约束，如框架无关性和能量一致性（Linden等人，2023）。基于B样条的模型（Amores等人，2019；Dal等人，2023；Durna等人，2024；Latorre和Montáns，2013；Latorre和Montáns，2014；Sussman和Bathe（2009）；Tikeno?ullar?等人，2023；Wiesheier等人，2024）提供了另一条有前途的途径，提供了局部控制、平滑插值和易于强制执行凸性条件的能力。这些模型在具有局部非线性的材料中特别有利，并已被证明对于不可压缩超弹性表现良好。此外，它们的数学结构使得能够强制执行物理可接受性条件，如单调性和多凸性。尽管有这些进展，但将数据驱动本构模型应用于完全可压缩材料（如低密度泡沫或高孔隙聚合物）的应用仍然较少。现有研究主要集中在不可压缩或略微可压缩的材料上，很少考虑拉伸-压缩不对称性。此外，通常忽略了在非均匀变形下的验证，限制了当前模型对实际加载场景的通用性。这些差距激发了本研究，它将一个热力学一致、基于B样条的数据驱动框架扩展到广泛加载状态下的可压缩聚合物泡沫建模。

本研究是我们关于数据驱动超弹性系列研究的第三项贡献。在第一部分（Dal等人，2023）中，我们通过保持经典的基于不变量的本构结构，同时直接从实验数据构建本构响应，建立了一个用于准不可压缩各向同性超弹性的规范数据驱动框架。在第二部分（Tikeno?ullar?等人，2023）中，同一框架通过考虑纤维分散的广义结构张量公式系统地扩展到各向异性软生物组织。在当前工作中，该框架进一步扩展到可压缩聚合物泡沫。因此，我们提出了一种基于数据的规范框架，用于描述聚合物泡沫的可压缩超弹性响应，以克服这些长期存在的限制。1 该方法旨在同时提高灵活性和准确性，从而解决多孔材料固有的复杂变形机制和本构响应问题。与依赖预定义解析应变-能量函数的传统本构模型不同，所提出的框架直接从实验数据构建本构响应，同时完全遵循超弹性的既定不变量框架。采用了一种加性可分离的基于不变量的公式，其中自由能函数的导数由B样条插值表示，其控制点会自动更新，以最小化实验观测值与模型预测之间的差异。在识别过程中，通过约束优化来确保热力学一致性、归一化、凸性和生长条件。

本文的结构如下：第2节介绍可变形固体的运动学框架；第3节介绍B样条插值的基础知识；第4节描述基于修正不变量的数据驱动超弹性公式的基本原理；第5节讨论了用于比较的两种经典本构模型；第6节概述了对不同密度EPDM泡沫样品进行的实验研究；第7节利用内部实验数据集和Pelliciari等人（2023年）发布的EPDM橡胶数据集来评估模型性能；第7.5节通过一个典型的边界值问题展示了所提公式在隐式有限元设置中的适用性；最后，第8节总结了主要发现并展望了未来的工作。

**可变形固体的运动学**
设变形映射φ(X, t)表示可变形固体的运动。它将材料点的参考/拉格朗日配置X∈B0映射到时间t∈T?R+下的当前/欧拉配置x=φt(X)。变形梯度F=?φ将参考配置的单位法线映射到空间对应的位置。变形梯度F=?φt(X)、其伴随矩阵cof[F]以及行列式J:=detF分别将无穷小拉格朗日线dX、面积dA和体积...

**计算几何：B样条的概念**
B样条本质上是端到端连接的贝塞尔曲线。通过这种方式，可以增加控制点的数量来提高B样条的拟合能力，而无需增加曲线的多项式阶数。B样条C(ξ)及其导数可以表示为求和形式：
C(ξ)=∑k=1^n Nkp(ξ)Pk
和
C′(ξ)=∑k=1^n Nkp′(ξ)Pk，
其中Nkp(ξ)和Nkp′(ξ)是Bernstein基函数及其导数；p是基函数的多项式阶数，Pk是控制点...

**数据驱动的超弹性**
接下来，我们概述了一个符合以下条件的自由能函数的一般结构：(i) 热力学；(ii) 物质客观性原理（或物质框架无关性原理）；(iii) 物质对称性原理；(iv) 物理上可接受的条件。

**一些用于可压缩材料的本构模型**
本节概述了常用于有限元应用中的可压缩超弹性材料的选定的本构模型。特别是Ogden超泡沫模型（Ogden，1972b）；Stor?kers（1986）以及Pelliciari等人（2023年）最近提出的模型。Ogden超泡沫模型（Ogden，1972b；Stor?kers，1986）是对经典Ogden公式（Ogden，1972a）的扩展...

**EPDM泡沫的机械特性**
在这项研究中，进行了单轴拉伸、非均匀单轴压缩和受限压缩测试，以表征三种标称表观密度的可压缩EPDM基聚合物泡沫的机械性能：EPDM100、EPDM130和EPDM180，分别对应100 kg/m3、130 kg/m3和180 kg/m3。所有测试的速度均为10 mm/min，每种密度有三个试样。

实验装置使用了Zwick/Roell Z010通用试验机。

**EPDM泡沫的研究**
第6节中介绍的实验数据集用于评估所提出的可压缩数据驱动本构模型的性能。对于表现出均匀变形模式的单轴拉伸和受限压缩实验，直接使用名义拉伸-应力结果进行数据拟合以计算材料数据点。然而，单轴压缩实验涉及非均匀变形，因此需要FEM模拟来分析材料行为...

**结论性评论**
在这项研究中，我们将先前开发的数据驱动超弹性框架扩展到了可压缩材料，并置于规范的各向同性环境中。所提出的方法不是规定一个固定的解析体积自由能贡献，而是通过B样条插值来表示自由能关于纵向拉伸和体积比的导数。这样，本构响应可以在保持物理一致性的同时局部适应实验趋势...

**未引用的参考文献**
表C1、表C2、表C3、表C4和图9。

**作者贡献声明**
Alp Ka?an A?an：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件、方法论、形式分析、概念化。
Yasin Garg?：可视化、软件、调查、数据管理。
Sel?uk Ba?demir：数据管理。
Hüsnü Dal：撰写——审稿与编辑、撰写——原始草稿、监督、方法论、概念化。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能会影响本文所述的工作。
Alp Ka?an A?an | Yasin Garg? | Sel?uk Ba?demir | Hüsnü Dal