基于平方根缩放球面单纯形无迹卡尔曼滤波器的结构识别

《Journal of Sound and Vibration》：Structural identification via a square-root scaled spherical simplex unscented Kalman filter

　　

•通过 UD 分解获得了有前景的数值稳定性改进。
•一种新颖的采样策略显著提高了算法的计算效率。
•实现了具有可接受精度的输入 - 参数 - 状态联合估计。
•提出的方法经过了数值和实验验证。

引言
在长期服役过程中，土木工程结构不可避免地受到环境侵蚀和复杂动态载荷（如风、地震和交通）的影响，从而导致累积性退化或突然损坏。因此，通过结构健康监测（SHM）技术对这种损坏进行实时识别和精确定位，对于结构风险评估、科学维护和寿命预测至关重要 [[1], [2], [3], [4]]。通常，SHM 技术可分为时域方法 [[5], [6], [7]]、频域方法 [[8], [9], [10]] 以及时频域方法 [11,12]。在上述方法中，基于卡尔曼滤波（KF）的时域方法 [[13], [14], [15]] 因其最小方差无偏估计的理论优势而被广泛用于系统识别。然而，经典 KF 仅适用于线性系统。为了克服这一限制，KF 的非线性扩展，如扩展卡尔曼滤波（EKF）[16] 和无迹卡尔曼滤波（UKF）[17,18]，已被相继开发出来。

EKF 通过将结构参数增广到状态向量中并将非线性方程线性化至一阶，能够实现结构参数和状态的联合识别。然而，对于强非线性系统，线性化获得的一阶精度往往无法满足估计要求。此外，对于涉及高维状态向量和复杂运动方程的大型复杂结构系统，雅可比矩阵的推导和计算并非易事，这限制了 EKF 的工程应用 [19]。与 EKF 相比，UKF 通过生成一组确定性的 sigma 点来重构先验估计的均值和方差。因此，可以直接计算卡尔曼增益和后验估计，而无需对非线性函数进行线性化。对于非高斯输入，它可以实现二阶非线性近似精度，而对于高斯输入则可达三阶，同时避免了雅可比矩阵的计算 [20]。然而，对于实际工程应用，经典 UKF 仍受限于三个局限：（i）对输入先验知识的高度依赖：经典 UKF 要求系统输入完全已知。然而，对于土木工程结构，这些动态激励的完整且准确的测量通常具有挑战性且成本高昂。（ii）数值稳定性不足：在滤波过程中，每个递归步骤都需要对误差协方差（EC）矩阵进行乔雷斯基分解。受计算机舍入误差的影响，EC 矩阵可能失去对称正定性，从而导致滤波发散。（iii）计算效率有限：在传统的无迹变换（UT）中，必须生成 2n+1 个 sigma 点（其中 n 表示状态向量维度）以近似状态相关统计矩。因此，当处理高维系统时，算法面临严重的计算负担。

为了解决 UKF 在结构系统识别中对输入先验信息的依赖问题，现有研究主要致力于两个主要方向：输入估计和输入的等效建模重构。从载荷估计的角度来看，Dertimanis 等人 [21] 提出了一种通过集成双卡尔曼滤波和 UKF 来对承受未知载荷的钢结构进行疲劳预测的方法。Al-Hussein 和 Haldar [22,23] 通过利用 UKF 结合迭代最小二乘法（ILS），提出了一种大规模结构在未测量激励下的损伤评估方法。Impraimakis 等人 [24] 和 Yuan 等人 [25] 构建了嵌入 UKF 内的两步估计机制，实现了输入 - 参数 - 状态的同步识别。此外，Lei 等人 [26] 通过采用非线性最小二乘技术来最小化后验测量残差，有效地估计了未知输入。基于该方法，Yang 等人 [27] 进一步结合小波多分辨率分析识别了时变结构参数。在输入建模和重构方面，Guo 等人 [28] 将未知输入公式化为随机游走过程进行识别。此外，Ding 等人 [29]、Castiglione 等人 [30] 和 Song 等人 [31] 分别采用切比雪夫正交多项式、时变自回归模型和重叠窗口来分解和重构未知外部激励，从而完成结构系统的联合输入 - 参数 - 状态估计。

为了解解决经典 UKF 中的数值不稳定性问题，Van der Merwe 和 Wan [32] 通过应用 QR 分解和乔雷斯基因子更新引入了平方根 UKF（SR-UKF）。随后，该方法已被广泛应用于各个领域，包括锂离子电池荷电状态估计 [33,34]、动态系统控制 [35,36] 和结构参数识别 [37,38]。然而，在单个递归步骤中，SR-UKF 需要进行两次 QR 分解和三次乔雷斯基因子更新，这显著增加了计算开销。与传统的乔雷斯基分解和 QR 分解相比，UD 分解无需进行平方根运算，使其更适合 EC 矩阵的稳定更新 [[39], [40], [41]]。因此，UD 分解长期以来一直是卡尔曼滤波在航空航天领域最受欢迎的工程实现之一 [42]。

虽然经典无迹变换（UT）可以通过 2n+1 个 sigma 点获得任意对称分布的前三个统计矩，但滤波过程的学习开销随着 sigma 点数量的增加而增加。因此，大量的研究工作致力于探索最小采样策略。Julier 提出了单纯形无迹变换 [43] 和球形单纯形无迹变换 [44]，两者都需要 n+2 个 sigma 点。然而，前者在数值稳定性和精度方面表现不佳。至于后者，虽然保证了其数值稳定性，但 sigma 点的不对称分布导致在非线性传播过程中对称分布的高阶矩效应丢失，从而导致滤波精度令人不满意。最近，Papakonstantinou 等人 [45] 提出了一种具有 n+2 个 sigma 点的缩放球形单纯形无迹变换（S3UT），并从中推导出了缩放球形单纯形滤波（S3F）。随后，Amir 等人 [46] 将 S3F 与状态空间损伤 - 塑性有限元模型结合，实现了对结构系统的有效识别。此外，Fan 等人 [47] 引入了平方根滤波框架来构建具有优越数值稳定性的平方根缩放球形单纯形滤波（SR-S3F）。从实际工程角度来看，Shabbouei Hagh 等人 [35] 通过伺服液压作动器实验证明，S3F 的估计精度和稳定性与常规 UKF 相当。

综上所述，尽管在改进经典 UKF 算法方面做出了许多努力，但仍缺乏同时考虑上述三个局限性的方法。为了填补这一空白，本文提出了一种用于联合输入 - 参数 - 状态估计的改进 UKF（IUKF-IPS）。通过应用投影矩阵和截断奇异值分解推导改进的测量方程，可以有效消除未知输入的影响。此外，引入 UD 分解以获得 EC 矩阵的平方根因子。在此基础上，推导出了两种测量更新策略，可以有效增强数值稳定性。然后，采用 S3UT。通过将所需的 sigma 点从传统的 2n+1 减少到 n+2，在考虑的情况下显著提高了计算效率，同时保持了相当的精度和数值稳定性。最后，采用加权最小二乘法（WLS）来估计未知输入。为了验证所提出方法的有效性，本研究进行了数值模拟和实验研究。在数值模拟中，利用带有 Bouc-Wen 模型的六层非线性结构和空间框架结构来验证其对强非线性系统和高维系统的适用性。此外，研究了其性能和分析敏感性。此外，在五层框架结构上进行的动态测试用于验证所提出方法在实际应用中的鲁棒性。

本文的组织结构如下：第 2 节介绍了所提出方法的公式。第 3 节使用两个数值示例进行验证。第 4 节 计算效率和数值稳定性评估 和第 5 节 所提出方法的性能分析 分别研究了所提出方法的性能和分析敏感性。第 6 节给出了实验验证，第 7 节给出了主要结论。

章节片段
UKF 的状态空间方程和测量方程
通常，结构运动方程表示为：
Mx¨(t)+F[x(t),x˙(t),θ]=φf(t)+φufu(t)
其中 M 是质量矩阵；φ 和φu 分别是已知和未知载荷的作用向量；f(t) 和 fu(t) 分别是已知和未知输入；F[?] 作为结构的恢复力；θ 包含待识别的系统参数；x(t), x˙(t), 和 x¨(t) 分别表示位移、速度和加速度向量。
UKF 的状态向量为

数值示例
在本节中，利用剪切型非线性结构和空间框架结构来验证所提出方法的有效性。在这两个示例中，分别考虑了强非线性系统和高维系统。采用时间间隔为 0.001s 的四阶龙格 - 库塔（RK4）方法来获得结构动力响应。对于所提出方法的初始设置，过程和测量噪声协方差矩阵取为 Q=10-12I

计算效率和数值稳定性评估
为了客观评估所提出方法的性能，本节研究了其数值稳定性和计算效率。

所提出方法的性能分析
在本节中，对所提出方法进行了性能分析。讨论了传感器数量和布置、初始参数、噪声协方差和初始误差协方差的影响。利用 3.1 节中介绍的非线性结构作为示例。详细信息见下文。

实验验证
为了评估 IUKF-IPS 算法的实际鲁棒性，在剪切型五层框架结构上进行了动态实验。实验结构由铝合金立柱和通过螺栓连接的板组装而成，如图 17 所示。每层楼板平面尺寸为 400 mm?×?400 mm，厚度为 10 mm。层高固定为 210 mm。由于框架立柱在一个方向上的刚度显著大于另一个方向，

结论
为了克服经典 UKF 在系统识别中的局限性，本文提出了一种用于联合输入 - 参数 - 状态估计的改进 UKF（IUKF-IPS）。具体而言，主要贡献总结为以下三个方面：（i）构造了一个投影矩阵来映射测量方程。因此，有效消除了未知载荷的干扰。此外，采用加权最小二乘法（WLS）来估计未知输入。（ii）UDC

CRediT 作者贡献声明
Lichen Zhu：写作 – 回顾与编辑、写作 – 原稿、验证、方法论、调查、概念化。Xiaoxiong Zhang：写作 – 原稿、验证、方法论、调查、概念化。Jia He：验证、资金获取。Qiaofei Wu：写作 – 回顾与编辑。Ying Lei：写作 – 回顾与编辑、监督。Linghui Niu：写作 – 回顾与编辑、监督。Xugang Hua：写作 – 回顾与编辑、监督。

Lichen Zhu|Xiaoxiong Zhang|Jia He|Qiaofei Wu|Ying Lei|Linghui Niu|Xugang Hua