基于衍射理论中几何方法的圆形反射器多次反射声波聚焦

《Journal of Sound and Vibration》：Focusing of sound waves in multiple reflections from a circular reflector on the basis of geometrical methods in diffraction theory

　　

•我们研究了短波近似下声波的聚焦。
•我们推导了凹面圆形反射器衍射中的主导渐近项。
•我们将渐近结果与直接数值计算进行了比较。
•我们评估了一个启发式想法：多次反射是单次反射的组合。

引言
在声波衍射中，波动法和几何法都取得了成功 [1]。例如，射线理论的有效公式适用于短波区域，可以通过声波锥形的纯几何方法获得，这导致了几何衍射理论（GTD）的产生 [2]，[3]。同时，通过对基尔霍夫 - 惠更斯衍射积分的波动表示进行渐近分析，当 k?→?∞时，也可以得到类似的声压表达式 [4]，[5]，[6]，其中 k 是波数。这在二维和三维问题的单次和多次反射中均得到了证明。特别是，在作者的近期工作 [7] 中，这些思想被应用于房间声学，其中射线理论关于光滑非平面反射器反射的显式公式与射线追踪法的计算结果进行了比较。需要注意的是，只有在不存在聚焦的情况下，正确的比较才是可能的。

同时，波能聚焦在某些应用中非常重要，它对波过程既可能有正面影响，也可能有负面影响。因此，在超声探伤中，波的聚焦对于检测样品近表面区域的小缺陷是必要的 [8]。电磁波的聚焦在天文学中往往是必要的 [9]。同时，房间声学中声波的聚焦对音质有相当负面的影响 [10]，[11]。

应当指出，术语“聚焦”通常用于声波传播问题中，而在光学波段的波传播中，通常使用术语“焦散”，在希腊语中意为“燃烧”。这种效应与波能量在空间局部区域的急剧增加有关，许多光线在此同时会聚。焦散附近的温度可以升高到易燃材料（如纸张等）的燃点。在几何上，焦散作为一束光线的包络线出现，这是短波范围内相应物理过程波动本质所固有的 [12]，[13]。

许多世纪前，建筑师和建造者就已经知道形状不当的天花板和墙壁对房间音质的负面影响。例如，图 1 表明，如果拱门（天花板）的垂直截面是椭圆的，并且声源 S 和接收器 R 都位于焦点上，那么由于椭圆的基本性质，所有声波射线的单次反射路径，从声源到镜面反射点，再加上从反射点到接收器，具有相同的长度，等于 2a（a 是椭圆的水平半轴），即等于其沿长轴的尺寸。这意味着所有这样的射线，当从声源（扬声器）同时发出后，经过反射，以相同的相位到达接收器。从物理上讲，这意味着如果听众站在椭圆的第二个焦点上，那么音效将使得扬声器仿佛以其声音的全部能量直接对着听众的耳朵喊叫，没有任何反射。这将对声音感知造成冲击。在数学上，当反射发生时，基尔霍夫 - 惠更斯衍射积分中的相位函数的驻点变得退化时，就会发生聚焦。为了克服与相位不规则性相关的困难，必须考虑其在镜面反射点附近展开中的高阶小量项 [14]，[15]。需要注意的是，在已发表的工作中，聚焦主要是针对单次反射进行研究的。在本工作中，这些思想被进一步发展应用于双重反射。

从物理角度来看，通常认为 [16]，[17] 聚焦效应可以通过波动法得到充分描述。然而，下面展示的结果表明，在评估波聚焦时，几何方法也能非常成功地工作。

在本文中，所讨论的问题仅以最简单的二维问题为例，即声波在圆形反射器凹面部分上的单次和双重反射，其中为各种聚焦情况获得了显式的高频表示。我们展示了与波衍射积分直接数值计算的比较。在常规（无聚焦）和退化（有聚焦）情况下，数值解围绕渐近解振荡，并随着 k?→?∞趋向于它。

章节片段

先前结果综述
衍射理论的一般方法，应用于短波频率范围内的反射问题时，由以下数学模型描述，我们首先描述单次反射的情况。设从二维 (2d) 声学介质的点 x0 发出单色波，落在由任意光滑曲线 ? 界定的声学硬障碍物上，见图 2。时间依赖性由因子 e?iωt 决定，其中 ω 是频率。

应用于圆内无聚焦的单次反射
以前的所有公式均适用于任意光滑边界曲线 ?。下文我们将考虑限制为最简单的几何形状，即圆形凹弧。在这种情况下，有必要给出相位函数 φ(y) 在镜面反射点 y* 邻域内直到四阶小量的展开。

让我们考虑镜面反射点 y* 小邻域内的当前点 y。设 ρ 为...的曲率半径

圆内有聚焦的单次反射
显然，对于圆的凹面部分，在式 (3.4) 中应设 ρ=?R，因此在平方根下的分母中，从两个正值之和中减去一个负量。在一定参数组合下，分母可以变为零。实际上，这是问题存在反射波聚焦的确凿迹象，下面将更详细地讨论。

与第 3 节无聚焦的常规情况相反，对于所有聚焦情况 双重反射的情况

双重反射的情况
从任意边界 ?1 和 ?2 的双重反射的一般示意图如图 7 所示。特别是，弧 ?1 和 ?2 可能是同一障碍物边界的不同部分。

在观察第二条弧上的衍射时，散射压强的基本基尔霍夫 - 惠更斯衍射积分仍然可以表示为式 (2.2) 的形式：p(x)=∫?22p2inc(y2)?Φ(y2,x)?n2(y2)d?2(y2) 其中 p2inc(y2) 是波在第一条...上衍射后的声压

圆内无聚焦的双重反射渐近估计
让我们类比单次反射，引入无限小的弧长 ?s1=τ1 和 ?s2=τ2，分别连接当前点 y1?∈??1 与第一次反射点 y1*∈?1，以及当前点 y2?∈??2 与第二次反射点 y2*∈?2，如图 8 所示。然后，相位 (5.4) 中第一段和第三段距离的正确表达式可以从单次反射的情况中提取，即公式 (A.8) 和 (A.9)，写至三阶：|x0?y1|=L0+B1τ1+B2τ12+B3τ13+O(

圆内有聚焦的双重反射
带有双重反射的聚焦的物理背景可以最清晰地使用上述针对单次反射讨论的椭圆内反射来演示。让我们想象一下，某个大厅在平面上呈椭圆形，而不是半椭圆形天花板。那么类似于图 1 中的声波射线，从左焦点发出，经过第一次反射穿过右焦点后，继续飞行至第二次反射。由于这些...

多次反射与单次反射之间的关系：实际方面
在工程界，有一种简化的观点将多次反射视为若干次单次反射的序列。在最广泛哲学意义上，这当然是正确的，正如我们在第 5 节给出的双重反射情况下的推导所证实的那样。同时，简化的方法可能导致错误的尝试，即将多次反射的计算简化为单次反射公式的序列。如果这是真的，那么，例如，在...

聚焦的一些物理和比较特性
应当指出，尽管两种类型的波过程——声波和光波——具有相互关联的特性，但与声学聚焦相比，光学聚焦具有不同的物理本质。事实上，光学中的波长（以纳米或微米测量）相对于典型反射面的尺寸（以厘米或分米测量）非常小，以至于在实际中波干涉效应不起作用。光聚焦确实是...

结论
在本工作中，针对圆凹面部分上的单次反射（二维问题），详细描述了不同阶次声波聚焦的已知效应。为了测试渐近公式，使用求积公式通过直接数值方法计算了短波区域中的基尔霍夫 - 惠更斯衍射积分，包括无聚焦的常规情况和有聚焦的情况。在任何阶次的聚焦中，与常规情况一样，镜面...定律

CRediT 作者贡献声明
M.A. Sumbatyan：写作 - 审查与编辑，写作 - 原稿，监督，调查，概念化。
N.V. Boyev：调查，形式分析。
D.S. Baraeva：写作 - 原稿，可视化，软件。

竞争利益声明
没有利益冲突。

M.A. Sumbatyan|N.V. Boyev|D.S. Baraeva