《Journal of Sound and Vibration》：Physics-informed modal superposition neural network: A new interpretable paradigm for dynamical systems with multi-frequency
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•在网络中嵌入模态叠加以实现显式解分解。•与 PINN 相比，高频误差减少 100 倍，在多尺度动力学中表现卓越。•提取系统模态和演化，提供物理见解。•低超参数敏感性和鲁棒的收敛性。引言动力系统的建模和模拟是工程科学的基础，在航空航天 [1]、土木工程 [2]、[3]、机械制
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在网络中嵌入模态叠加以实现显式解分解。
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与 PINN 相比，高频误差减少 100 倍，在多尺度动力学中表现卓越。
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提取系统模态和演化，提供物理见解。
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低超参数敏感性和鲁棒的收敛性。
引言
动力系统的建模和模拟是工程科学的基础，在航空航天 [1]、土木工程 [2]、[3]、机械制造 [4] 和微系统 [5] 中有关键应用。高保真数值模拟在从结构优化 [6] 到故障诊断 [7] 和精确控制 [8] 的任务中至关重要。然而，现代工程系统的非线性、高维度和多尺度特性给有限元方法 [10]、[11] 等传统数值方法 [9] 带来了重大挑战。这些基于网格的方法在捕捉高频动力学时往往面临极高的计算成本 [12]，并在参数化研究 [13] 中成为瓶颈。
物理信息神经网络 (PINNs) [14] 的出现提供了解决偏微分方程 [15] 的有前景的无网格范式。通过将物理定律直接嵌入损失函数 [16]，PINNs 为正问题和反问题提供了一个统一框架，具有灵活性和效率优势 [17]。与传统方法相比，PINNs 提供了引人注目的优势：正问题/反问题的统一框架 [18]、复杂几何形状中的无网格灵活性 [19]、[20]，以及用于快速推理的高效解代理 [21]。这些能力在集成到算子学习框架（例如 DeepONet [22]）中时尤其强大，极大地有益于参数化研究和不确定性量化。
然而，PINNs 在动力系统中的应用面临两大挑战。首先，作为黑盒近似器，原始 PINNs 缺乏可解释性，未能揭示自然模态和参与因子等基本动力学概念 [23]。增强可解释性的努力遵循了不同的路径，包括在 KANs [25]、[26] 等架构中通过符号回归 [24] 推导物理定律，通过硬约束方法 [27]、[28]、[29] 施加约束，或通过损失函数 [30] 弱化引入物理先验。与这些方法不同，我们的工作通过直接将解析解结构嵌入网络设计来探索一种替代范式。
其次，PINNs 受到众所周知的频谱偏差 [31] 的阻碍，这阻碍了它们捕捉高频内容和多尺度现象的能力，往往导致不稳定的训练和非物理的解 [32]。这一限制源于两个主要因素：不同损失项之间多目标优化的固有冲突 [33]、[34]，以及标准网络架构在表示高频函数方面的内在困难 [35]、[36]。为了减轻频谱偏差并提高 PINNs 在高频或多尺度问题中的可训练性，提出了几种代表性策略。位置或频率编码方法（如傅里叶特征 PINN）通过将输入映射到高维三角特征空间来增强基于坐标的网络的频谱表示能力 [35]。多尺度神经网络架构引入多个分支或频率缩放的子网络以改进具有分离尺度的解的近似 [37]，而基于域分解的 PINN 为不同的子域分配局部神经网络以增强局部近似能力和训练灵活性 [38]、[39]。其他研究专注于训练过程，包括基于残差的自适应采样（在残差较大的区域细化配点）[40]，以及基于课程或因果关系的训练策略（通过逐渐增加学习难度或强制时间因果关系来改进时变问题的优化）[41]。这些方法主要从输入编码、网络容量、采样分布或训练计划的角度改进 PINN。相比之下，目前的工作专注于输出级物理结构化先验，通过显式地将动力响应因子分解为空间模态函数和时间模态坐标。傅里叶特征仅被纳入子网络以支持频谱表示。因此，MSup-PINN 与现有的 PINN 改进策略是互补的，其改进的高频精度被视为基于模态叠加架构的结果，而不是该方法的唯一目标。
受此观察的启发，一种引人注目的策略是将成熟的物理原理直接集成到网络架构中。受结构动力学中模态叠加法 [42] 的启发，这项工作提出了模态叠加物理信息神经网络 (MSup-PINN) 框架。虽然经典的模态叠加方法通过将动态响应表示为自然振动模态的叠加 [43] 为线性系统提供了严格的基础，但其对非线性系统的适用性仍然有限 [44]、[45]、[46]。MSup-PINN 框架通过将模态结构嵌入神经网络本身超越了这一限制：它显式地将输出架构化为模态分量的叠加，通过模态参与因子等物理上有意义的权重增强可解释性，并纳入感知频率的嵌入（如傅里叶特征）以指导频谱学习并减轻偏差。在结构动力学的基准 [18] 欧拉 - 伯努利梁上验证后，所提出的方法超越了仅依赖软约束调整或损失重加权 [47] 的现有 PINN 改进。相反，它实现了物理的深度架构集成，提供了卓越的准确性、训练稳定性和固有的可解释性。虽然在欧拉 - 伯努利梁上进行了演示，但 MSup-PINN 框架是通用的。其通过解耦架构嵌入解先验的基本思想适用于其他动力系统，包括板和壳。
这项工作的理论贡献有三方面。首先，基于模态叠加方法的见解，我们通过显式地将解析解形式及相关频谱特性嵌入网络架构，开创了 MSup-PINN 框架。其次，我们分析了网络中新引入的超参数并进行理想化误差分析，为理解模型行为和指导未来扩展奠定了理论基础。第三，我们设计了一系列系统实验——包括低频、高频和双模态动态案例——以验证框架的优势，并通过敏感性分析评估参数影响。总的来说，本研究不仅为基于神经网络的动态建模建立了一种新的架构驱动范式，还提供了推进物理信息机器学习领域的理论和实验见解。
本文的其余部分组织如下：第 2 节阐述了方法论，详细介绍了模态叠加的理论基础、模态叠加增强网络的设计以及 MSup-PINN 的整体实现。第 3 节展示了数值实验，并使用具有已知解析解的欧拉 - 伯努利梁动力学问题验证了所提出的方法。第 4 节提供了结果的全面分析和讨论，检查了该方法的优点、局限性和未来前景。最后，第 5 节总结了论文。
章节摘要
模态叠加法
模态叠加法是一种强大的分析工具，广泛用于求解线性动力系统，特别是在结构动力学中。该方法的核心思想是将复杂的系统响应分解为一组独立模态，其中每个模态代表系统的固有振动特性。通过将系统的位移响应表示为这些模态的线性组合，模态叠加法不仅简化了原始解的求解
数值实验
在本节中，我们通过一系列复杂度递增的基准问题验证了所提出的 MSup-PINN 框架。前三个案例基于一维欧拉 - 伯努利梁动力学，旨在检查低频、高频和多尺度双模态响应。为了进一步评估所提出框架的通用适用性，引入了两个额外的案例：二维基尔霍夫板振动问题和非线性杜芬
讨论
数值结果表明，MSup-PINN 通过将受模态叠加启发的结构嵌入神经网络输出，改进了多频动力响应的预测。与完全耦合的 PINN 相比，所提出的架构分离了空间和时间功能路径，因此为结构动力学提供了物理对齐的表示。以下讨论总结了主要发现，澄清了解释性的范围，并概述了
结论
本文提出了 MSup-PINN，这是一种物理信息神经网络框架，将结构动力学的模态叠加先验嵌入神经求解器的输出表示中。通过将动力响应因子分解为类空间模态函数和类时间模态坐标函数，MSup-PINN 为完全耦合的 PINN 提供了一种结构化替代方案，并提高了多频动力系统中预测准确性和可解释性。
所提出的方法得到了验证
CRediT 作者贡献声明
袁尚武：写作 – 审查与编辑，写作 – 初稿，可视化，验证，方法论，调查，概念化。 张永波：写作 – 审查与编辑，写作 – 初稿，方法论，概念化。 万春华：写作 – 审查与编辑，写作 – 初稿，方法论，概念化。 段峰：写作 – 审查与编辑，写作 – 初稿，方法论，概念化。 赵飞：写作 – 审查与编辑，写作 – 初稿
利益冲突声明
作者声明，他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，可能会影响本论文中报告的工作。
袁尚武 | 张永波 | 万春华 | 段峰 | 赵飞
