利用自相关函数数据的新颖灵敏度方程对海上平台的结构模型进行更新

《Marine Structures》：Structural model updating for offshore platforms using a novel sensitivity equation of autocorrelation function data

　　摘要
本文介绍了一种新的参数估计和模型更新灵敏度方程，该方法基于动态响应的自相关函数（ACF）。所提出的方法建立了结构参数变化与自相关函数数据变化之间的精确线性关系。通过推导灵敏度方程，可以构建目标函数，并利用最小二乘法对其进行优化。通过迭代优化目标函数，可以更新结构参数，从而获得准确的有限元模型。为了评估该方法的能力，对一个受到谐波载荷作用的三维夹层型海上平台进行了数值模拟。在模拟中考虑了建模不确定性、载荷和测量误差、附加质量效应以及测量数据不完整等挑战。将这种方法得到的结果与基于时间历史的方法进行了比较，结果表明该方法在实际应用中具有很高的潜力，其灵敏度得到提高，对结构参数的敏感性更强，并且对实验不确定性的鲁棒性提高了（最高可达15%）。

1. 引言
像夹层型海上平台这样的工程结构在恶劣的海洋环境中容易受到结构损伤。因此，有效的结构健康监测对于防止灾难性故障和确保长期完整性至关重要[1,6,14]。传统的结构健康监测方法，尤其是目视检查，由于成本高昂、无法进入海底区域以及恶劣的环境条件，实际上无法应用于海上平台[37,39]。因此，需要创新的方法来实现有效可靠的损伤检测。一般来说，损伤检测方法可以分为两类：数据驱动方法和基于模型的方法。数据驱动技术，包括机器学习[3,26,35]和统计方法[16,38]，可以更容易地处理大量数据，但它们并不总是能够准确量化损伤的严重程度[4]。相反，基于模型的方法将测量的结构响应与有限元模型进行比较，以识别表明损伤的差异。这些方法提供了更深入的物理理解，并能够正确定位和量化损伤特征。这些方法的一个关键方面是模型更新过程，其中参考模型根据实验数据进行了改进，以便更好地反映实际结构[29]。基于灵敏度的方法为更新结构的有限元模型（FEM）提供了有效的方法。这些技术建立了响应差异与结构物理参数之间的线性关系[42]。灵敏度方程可以使用有限差分法[47]或泰勒级数展开[46]来近似表示。由于灵敏度方程的准确性直接影响模型更新过程的质量，因此人们付出了大量努力来开发更精确的公式[8,15,33]。

结构模型更新通常依赖于模态参数，如自然频率和模态形状[20,24,40,43]。然而，这些方法存在一些缺点，包括需要大量传感器、对测量误差和人为误差敏感，以及对于大型和复杂结构（如海上平台）的测量难度较大[18]。为了克服这些限制，研究人员越来越多地关注频率响应函数（FRF）[5,19,23,25,34]和功率谱密度（PSD）作为损伤敏感特征。FRF直接从测量数据计算得出，从而减少了潜在的误差[36]。与基于模态的方法相比，FRF在频率范围内计算可以生成更多数据，特别是在无法测量高阶模态形状的情况下。此外，功率谱密度作为FRF的二次函数，使得在结构受损时更容易察觉，并由于交叉项而产生更多数据[32]。

时域方法相比模态参数和FRF提供了一种成本效益高且易于获得的损伤检测替代方案。与频域方法不同，它们直接使用时间历史响应，而无需任何转换[17]。时域数据为模型更新提供了一种更实用且数据丰富的方法。通过使用单一激励频率，它可以生成大量数据，克服了频域方法通常需要的不切实际的激励频率范围的限制[18]。由于其优势，时域方法已成功应用于海上结构中的损伤检测。这些方法可以直接研究时间历史数据，或者使用时间序列分析。大多数现有的海上平台方法依赖于时间序列分析[11,30]。在使用时间历史响应的基于灵敏度的模型更新方法中，一个具有挑战性的问题是建立时域数据与结构参数之间的直接关系。为了解决这个问题，[7]提出了一种使用时间历史响应的精确灵敏度方程。通过将其应用于夹层型平台模型，将所提方法的性能与现有的基于梯度的方法进行了比较。

最近在时域损伤识别方法方面的进展突显了自相关函数（ACF）在检测结构损伤方面的能力。一些研究调查了使用自相关数据的数据驱动损伤识别方法[13,41,48]。有研究得出结论，通过比较数值和实验自相关数据，可以利用自相关函数数据来识别加劲板模型中的损伤[22]。有研究使用损伤前后动态响应自相关的峰值变化作为损伤定位指标[27]。还引入了一种应变响应的二次相关函数（QCoS）方法来抑制噪声并放大相关信号。通过比较损伤前后的QCoS特征向量来检测结构损伤[44]。有研究建议利用损伤发生前后振动响应的归一化自相关最大值（AMV）进行损伤位置识别。他们的研究表明，AMV指标在正弦激励下检测结构损伤的有效性受激励频率的影响。他们指出该方法仅适用于低于结构第一自然频率的激励频率[45,31]。还有研究提出了一种基于加速度响应的自相关/互相关函数的方法。灵敏度方程作为一阶泰勒级数展开形式推导出来，并应用了两步模型更新策略来识别结构损伤。该方法适用于受到白噪声和冲击型载荷作用的结构。作者之前的研究[21]研究了基于自相关函数的灵敏度方程的提取。在那项研究中，利用了Wiener-Khinchin定理（一种将自相关函数与功率谱密度相关联的频域方法）来提取灵敏度方程。如下一节所讨论的，该理论导致对于谐波信号的自相关函数不会随时间老化。本研究扩展了这些努力，以克服限制，例如模型更新过程改进、域转换误差和激励频率依赖性问题。

对于基于自相关数据的模型更新方法来说，一个精确的灵敏度方程是成功的关键。本研究提出了一种基于自相关函数（ACF）数据的新型精确灵敏度方程，它建立了自相关函数数据变化与结构参数变化之间的直接线性关系。利用ACF数据消除了模型更新中数据不足的缺点，因为它可以在不同时间滞后生成数据。这消除了对广泛激励频率的需求，这对于大型结构来说通常是不切实际的。所提出的方法已经在海上夹层平台上进行了数值验证。为了弥合数值模拟与实际条件之间的差距，研究了包括建模、测量、载荷和附加质量效应在内的各种误差来源。此外，鉴于预期该方法在损伤检测方面的性能将优于基于时间历史的方法，因此进行了比较研究。

2. 背景
2.1 自相关函数（ACF）
自相关函数（ACF）量化了信号x(t)与其时间移位版本x(t+τ)之间的相似性（相关性），数学定义为[9]：
(1) Rxx(τ) = E[x(t)x(t+τ)] / E[x(t)]
其中E表示期望值，Rxx(τ)表示自相关函数。τ表示时间滞后。ACF可以突出信号中的重要成分，并减少不需要的噪声的影响，从而成为检测结构损伤的有用工具。

ACF可以通过卷积理论计算得出，该理论可以直接对时域信号进行操作，而无需进行域转换，计算公式为：
(2) Rxx(τ) = ∫?^t x(t) * x*(t?τ) dτ = x(t) * x(?t)
其中*表示卷积运算，x*(t?τ)表示x(t?τ)的复共轭。ACF也可以通过Wiener-Khinchin定理计算得出，该定理基于将自相关函数与平稳过程的功率谱密度相关联的公式。这种方法依赖于信号的遍历性假设，因此假设信号长度是无限的。这使得输入信号的自相关函数不会随时间老化[10]。相比之下，卷积方法通过直接计算有限信号片段的自相关提供了更大的灵活性，适用于各种信号，即使是非平稳信号，也无需假设遍历性。基于卷积的自相关数据在时间滞后增加时表现出老化行为，最终趋近于零。这种衰减对模型更新有益，因为它提供了更多的方程（由于ACF的非周期性行为），从而提高了性能。

2.2 时间域中自相关函数（ACF）灵敏度方程的推导
具有n个自由度（DOFs）的线性结构的运动方程为：
(3) MX″(t) + CX˙(t) + KX(t) = F(t)
其中M、C和K分别是(n×n)矩阵，表示有限元模型的质量、阻尼和刚度属性。X(t)、X˙(t)和X″(t)分别表示结构的位置、速度和加速度响应。F(t)向量是施加的外部力。

线性时不变系统在一般激励下的结构位移响应可以通过单位脉冲响应h(t)与外部力F(t)的卷积获得：
(4) X(t) = ∫?^t h(t) * F(τ) dτ
将方程(4)代入方程(2)并利用卷积的交换性质，可以简化ACF为：
(5) Rxx(τ) = h(t) * F(t) * h(?t) * F(?t)
在受损状态下，ACF（方程(5)）可以重写为：
(6) Rxx(τ) + ΔRxx(τ) = (h(t) + Δh(t)) * F(t) * (h(?t) + Δh(?t)) * F(?t) = h(t) * F(t) * h(?t) * F(?t) + h(t) * F(t) * Δh(?t) * F(?t) + … Δh(t) * F(t) * h(?t) * F(?t) + Δh(t) * F(t) * Δh(?t) * F(?t)
简化方程(6)并重新排列各项后得到：
(7) ΔRxx(τ) = h(t) * F(t) * Δh(?t) * F(?t) + Δh(t) * F(t) * [h(?t) + Δh(?t)︸hd(?t)] * F(?t)
方程(7)将ACF的变化与单位脉冲响应Δh(t)的变化联系起来。Δh的精确估计公式由[8]得出：
(8) Δh(t) = ?h″(t) * ΔM * h(t) ? hd˙(t) * ΔC * h(t) ? hd(t) * ΔK * h(t)
其中h″(t)、hd˙(t)和hd(t)分别是受损结构的加速度、速度和位移的单位脉冲响应。此外，ΔM、ΔC和ΔK分别表示由于损伤导致的质量、阻尼和刚度矩阵的变化。

Rayleigh阻尼模型将阻尼矩阵表示为质量和刚度矩阵的线性组合，提供了阻尼变化与质量和刚度属性变化之间的直接联系。考虑到Rayleigh模型，即C = aM + bK[12]，受损结构的阻尼矩阵为：
(9) C + ΔC = a[M + ΔM] + b[K + ΔK] = [aM + bK] + [aΔM + bΔK]
因此，阻尼矩阵的变化表示为：
(10) ΔC = aΔM + bΔK
在(8)和(10)中，刚度矩阵的变化由ΔK表示，可以写为：
(11) ΔK = ∑_{i=1}^n e_k * ΔPiK
其中Ki是第i个元素的刚度矩阵，ΔPiK表示其变化比率。“∑(.)”表示将元素级别的刚度变化组合起来以获得全局刚度矩阵的变化。

由于结构损伤导致的质量变化通常很小，ΔM通常可以忽略不计（ΔM=0）。将方程(8)、(10)和(11)代入方程(7)后，得到ACF变化的表达式为：
(12) ΔRxx(τ) = {∑_{i=1}^n e_k * (h(t) * F(t)) * h˙(t) * b_k * I * (h(?t) * F(?t)) ? … ∑_{i=1}^n e_k * (h(t) * F(t)) * hd(?t) * I * (h(?t) * F(?t)) ? … ∑_{i=1}^n e_k * h˙(t) * b_k * (h(t) * F(t)) * (hd(?t) * F(?t))) ? … ∑_{i=1}^n e_k * hd(t) * I * (h(t) * F(t)) * (hd(?t) * F(?t)))
ΔPK
结构对单位脉冲力的位移或速度响应通常在固定时间间隔（Δt）内计算。由于这种离散性质，原本为连续函数定义的卷积运算（方程(4)）可以改写为离散计算。为了计算灵敏度矩阵(S(τ))，方程(12)迭代地对函数对应用卷积运算。

方程(12)提供了时域响应的自相关函数变化与物理参数变化之间的精确线性关系。所提出的灵敏度方程生成了(nm*ne*nτ)个灵敏度方程，其中m、e和τ分别表示测量次数、激励次数和时间滞后。通过检查广泛的时间滞后，所提出的方法在每个激励频率下产生大量数据。这种方法克服了基于频率的方法的局限性，后者通常需要不切实际的宽频率范围的激励。位移矢量的阻尼单位脉冲响应定义为[12]：(13)h(t)=∑n=1Nφn[1MnΩnsin(Ωn(t))exp?[?ξnωn(t)]]，其中Mn是与第n种振动模式相关的广义质量，φn是第n种模式形状向量。速度响应的阻尼单位脉冲是位移响应的一阶导数，定义为：(14)h˙(t)=∑n=1Nφn[1MnΩn[Ωncos?(Ωn(t))exp?[?ξnωn(t)]?ξnωnsin(Ωn(t))exp?[?ξnωn(t)]]，其中Ωn、ξn和ωn分别代表结构的阻尼自然频率、阻尼比和自然频率。实施灵敏度方程时面临的一个重大挑战是由于实验限制、技术复杂性或资金约束导致测量数据不完整的问题。所提出的精确灵敏度方程也需要对受损结构的位移和速度的单位脉冲响应进行完整测量。因此，在本研究中使用了hd(t)和hd˙(t)的近似值。为此，基于hd(t)和hd˙(t)的分解形式，用完整结构的相应值替换了受损结构的未测量自然频率和阻尼比。此外，使用完整结构的模式形状来近似受损结构的全部模式形状，如下所示：(15)hdapprox.(t)=∑n=1mφn[1MnΩndsin(Ωnd(t))exp?[?ξndωnd(t)]]+∑n=m+1ndφn[1MnΩnsin(Ωn(t))exp?[?ξnωn(t)]] 和 (16)h˙dapprox.(t)=∑n=1mφn[1MnΩnd[Ωndcos(Ωnd(t))exp[?ξndωnd(t)]?ξndωndsin(Ωnd(t))exp[?ξndωn](t)]]…+∑n=m+1ndφn[1MnΩn[Ωncos(Ωn(t))exp[?ξnωn(t)]?ξnωnsin(Ωn(t))exp[?ξnωn](t)]，其中m和nd分别表示测量的自然频率数量和自由度数量。为了验证所提出的近似方法的有效性，对夹套结构的位移单位脉冲响应的精确值和估计值进行了比较，如图1所示（详细内容将在下一节讨论）。这种估计基于对受损结构前十个自然频率的测量。下载：下载高分辨率图片（154KB）下载：下载全尺寸图片图1。基于前十个测量自然频率的精确位移单位脉冲响应与估计值的比较。结构在节点14的X方向（DOF 55）处被激励，响应在节点10的Y方向（DOF 32）处被测量。精确值和近似值之间的密切一致表明了所提出的灵敏度方程在使用不完整测量数据时的有效性。方程(12)提出了一个用于参数估计的灵敏度方程。定义了一个目标函数，该函数最小化受损结构与完整结构自相关性变化之间的差异。目标函数可以数学表示为：(17)min1/2∥S(τ).ΔPK?ΔRXX(τ)∥2，?1≤ΔPK≤1。然后应用最小二乘法来最小化这个目标函数，从而得到最优参数值。为了确保获得的解决方案在物理上具有意义，对优化问题施加了适当的约束。为了提高参数估计的准确性，采用了加权方法。加权方法用于为不同的灵敏度方程分配适当的权重，因为测量的准确性和可靠性及其相应的灵敏度关系可能不一致。在本研究中，灵敏度方程的两侧都通过灵敏度矩阵相应行的范数（∥Si(τ)∥）进行归一化，如下所示：(18)SiWeighted(τ)=Si(τ)∥/Si(τ)∥ΔRXX,iWeighted(τ)=ΔRXX,i(τ)∥/Si(τ)∥。图2通过流程图展示了参数估计过程。下载：下载高分辨率图片（358KB）下载：下载全尺寸图片图2。所提方法的流程图。3. 数值示例为了研究所提方法的性能，考虑了一个三维夹套平台进行数值模拟。表1提供了平台的几何和材料属性。如图3所示，夹套平台由四个层级组成，每层之间的间距为9.14米。水面位于17.28米的高度。表1. 考虑平台的属性。属性类型和元素数量管子，36个元素的外径和内径分别为17.08厘米和16.02厘米节点数量16米高度27.42米弹性模量210 GPa泊松比0.3质量密度7850 kg/m3下载：下载高分辨率图片（355KB）下载：下载全尺寸图片图3. 数值夹套型海上平台：(a) 平台的层级和水面；(b) 节点和元素数量。为了准确模拟像夹套平台这样的海上结构的流体动力效应，必须将附加质量纳入质量矩阵中。浸入流体中的物体会因附加质量而有效质量增加。因此，准确计算附加质量对于确保可靠的模拟结果至关重要。鉴于本研究假设了平静的水况，惯性力（附加质量）被认为是主要的气动力效应，而在低速度下阻力可以忽略不计。单位长度的附加质量可以计算为：(19)addedmass=CaρwA，其中A是夹套构件的横截面积，ρw是海水密度（假设为1024 kg/m3），Ca是附加质量系数。本研究选择了正弦谐波加载，因为它在损伤识别方面具有优势，如下所示：(20)F=2000sin(14πt)。方程(20)并不是为了表示环境加载（例如，波浪、风或水流）。相反，它通过振动台提供了一种受控的激励负载，这是实验结构动力学中用于模态测试和损伤识别的标准且广泛接受的方法。谐波激励的可重复性和揭示结构响应中错误的能力使其成为动态测试的合适选择。施加的负载频率为7 Hz。这种方法的有效性与激励频率无关，可以用于各种激励频率。该方法独立于激励频率，与其他方法相比具有显著的优势。然而，在实际应用中，频率的选择受到设备能力的影响。模拟中采用了瑞利阻尼，阻尼系数分别为a=2.65和b=3.21E?05。选择500 Hz的采样频率以显示结构响应的一致性。使用杜阿梅尔积分方法（Duhamel integral method）进行数值计算[12]。为了减轻水下激励的挑战，夹套平台结构需要在水面以上的激励点进行激励。因此，激励点选择在点14和16。测量点也选择在水面以上的点10、12、13和15。表2概述了四种不同严重程度和位置的损伤情况。通过降低弯曲刚度（EI）来模拟结构损伤，同时假设质量参数保持不变。表2. 损伤情况的详细信息（严重程度和位置）。场景编号。刚度降低空单元场景1元素编号10参数降低30%场景2元素编号36参数降低30%场景3元素编号42参数降低20%30%场景4元素编号3102参数降低25%20%15%15%为了研究使用单位脉冲响应的近似估计对灵敏度方程的影响，在图4中绘制了第4种情况的精确灵敏度和估计灵敏度。曲线展示了第5个元素的精确灵敏度与估计灵敏度之间的比较，其中激励和测量分别在节点14的X方向（DOF 55）和节点10的Y方向（DOF 32）进行。由于方程(12)对于正负时间延迟产生对称的图形，因此本研究仅考虑了正部分。下载：下载高分辨率图片（166KB）下载：下载全尺寸图片图4. 在节点14的X方向（DOF 55）激励和节点10的Y方向（DOF 32）测量的情况下，第5个元素的精确灵敏度与估计灵敏度的比较。精确结果与估计结果之间的密切一致表明了所提方法克服不完整测量数据挑战的能力。在参数估计的实验应用中，建模和测量误差是不可避免的。这些误差来源于各种来源，包括材料属性的不确定性、环境条件、结构系统的复杂性以及传感器的精度。即使使用最先进的建模技术和精确的测量仪器，也无法消除误差。由于我们缺乏关于不确定性来源及其分布的信息，本文采用了一个保守的假设，即定义范围内的所有误差值都同样可能[28]。因此，为了模拟测量不确定性，在受损结构的计算位移响应中添加了10%的均匀分布随机误差，如下所示：(21)xderror(t)=xd(t)+xd(t)×rand×ε此外，还在受损元素的质量参数中添加了5%的均匀分布随机误差，以模拟材料属性的不确定性，如下所示：(22)ρderror=ρd+ρd×rand×ε，其中ε表示数值模拟中的误差水平，rand表示值范围为?1为了应对水下元素观测性低的挑战并提高所提出方法的准确性，考虑在6号和8号点的水下位置进行一些测量。图13、图14、图15和图16展示了在增加测量数据和不增加测量数据的情况下，以及考虑10%和15%的测量误差时，参数估计结果的比较。下载：下载高分辨率图片（388KB）下载：下载全尺寸图片

图13. 第三种情景下，有无水下传感器时的参数估计结果：(a) 10%不确定性下的参数估计；(b) 15%不确定性下的参数估计。
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图14. 情景3中，有无水下传感器时估计参数的变异系数（COV）：(a) 10%测量不确定性下的COV；(b) 15%测量不确定性下的COV。
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图15. 第四种情景下，有无水下传感器时的参数估计结果：(a) 10%不确定性下的参数估计；(b) 15%不确定性下的参数估计。
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图16. 情景4中，有无水下传感器时估计参数的变异系数（COV）：(a) 10%测量不确定性下的COV；(b) 15%测量不确定性下的COV。

通过增加水下节点的测量数据，可以证明参数估计更加可靠。图17显示了在水线以下增加两个测量位置后元素的观测性得到提高，从而实现了更有效的参数估计。下载：下载高分辨率图片（257KB）下载：下载全尺寸图片
图17. 在(a)情景3和(b)情景4中，增加两个水下传感器后，对于10%和15%测量不确定性情况下的元素观测性。

仅使用四个水上测量响应时，大多数元素的变异系数（COV）值较低，表明稳定性良好。然而，如图5、图6、图7和图8(b)所示，水下元素的COV值较高。增加两个水下测量数据大大降低了水下元素的COV值（图14、图16），即使在高达15%的测量不确定性存在的情况下，也显示了方法的鲁棒性。

为了进一步评估该方法的鲁棒性和准确性，提供了箱形图来可视化50次运行中每个受损元素的参数值分布。这些图表不仅揭示了用变异系数（COV）量化的估计结果的变异性，还包括分布的形状，包括偏度和异常值的存在。对称分布的狭窄箱形图表示高准确性和鲁棒性，而较宽的箱形图或偏斜的分布则表示较高的不确定性或对测量和建模错误的敏感性。图18展示了情景1-4的箱形图。每个箱形图展示了特定受损元素的50次蒙特卡洛模拟的结果分布。

如图18所示，在图12中观测性较高的元素10、36、4、29和3，显示出狭窄的箱形图，中位数更接近真实值，分布也更加对称。相反，图12中观测性较低的元素21和32则显示出较宽的箱形图和中位数周围的对称性较差。

为了验证所提出的参数估计方法是否独立于激励频率，该方法在0.5、1、2、4和9 Hz的谐波激励下进行了研究。如图19所示，情景3和4的损伤指数在这些激励频率下仍然保持准确，从而证实了该方法的频率无关性。

为了考虑附加质量系数的不确定性，在附加质量系数（Ca）中引入了5%的均匀分布随机误差，并结合了10%的测量误差和5%的建模不确定性。图20和图21展示了在这些不确定性下情景3和4的损伤识别和COV结果。参数估计结果证实了该方法对抗附加质量不确定性的鲁棒性。

结构损伤通常不仅影响单个元素，还可能影响整个结构的部分或全部。此外，参数估计问题可能导致结构参数的增加或减少，特别是在局部区域。为了评估该方法处理这种复杂参数估计场景的能力，本研究调查了一个旨在反映结构中元素刚度广泛变化的场景。如图22所示，结果突显了该方法在实际场景中的应用潜力，其中参数经历了增加和减少的变化。

除了之前讨论的测量和建模不确定性外，载荷不确定性也会显著影响参数估计算法的准确性。设备不准确性、人为错误或不可预测的海洋条件经常导致载荷不确定性。为了考虑理想化载荷条件与实际载荷条件之间的差异，本研究在施加的激励载荷中加入了10%的均匀分布随机误差。图23和图24展示了考虑结合了10%载荷误差和5%建模不确定性后的参数估计结果。为了展示所提出方法在识别平台 jackets 所有元素损伤方面的多功能性，本节研究了一系列新的损伤场景，如表3中所详述。

图23展示了情景5涉及5%的建模不确定性和10%的载荷不确定性；(a) 实际和估计的刚度参数变化均值；(b) 估计参数的变异系数（COV）。
表3. 加性损伤场景
场景编号 | 刚度降低百分比
----------------|
--------|-----------------------------|
场景5 | 25% |
元素编号 | ------------------|
---------|-----------------------------|
序号16 | ----------------------|
---------| ------------------|
场景6 | 5% | 15% | 20% |

如图23和图24所示，参数估计结果非常接近实际值。此外，COV值也较低。这些结果表明，即使在载荷和建模不确定性存在的情况下，该方法也是可靠的。接近度指数（CI）用于定量评估所提出的参数估计方法的性能。CI值用于评估估计参数变化与实际参数变化之间的一致性，定义如下：
(23) CI = 1 ? ∥ΔPa ? ΔPe∥ / ∥ΔPa∥
其中 ΔPa 和 ΔPe 分别表示实际和估计的结构参数变化。CI值接近1表示参数估计结果的准确性较高。表4提供了同时考虑测量误差和载荷误差的损伤场景的CI值。在实际中，由于各种错误，达到CI值为1是一个理想情况，但往往具有挑战性。表4中的CI值反映了该方法在建模、测量和载荷误差下的性能。CI值凸显了该方法在存在这些不确定性的情况下仍能实现合理准确性的良好性能。

图25展示了考虑10%测量误差和5%建模不确定性时，所有损伤情景的参数估计收敛情况。为了进一步说明收敛行为，图26展示了每次迭代的ΔP变化情况，其中ΔP定义为未更新模型与更新模型之间刚度参数的差异。在任何更新之前，所有受损元素的ΔP都很大。第一次迭代后，差异迅速减小，并在少量迭代内接近零值。这证实了该方法能够从最初较大的残差中快速收敛，从而有效降低了计算成本。

图26展示了(a)情景1、(b)情景2、(c)情景3 和 (d)情景4的受损元素的ΔP变化情况。对于大型海洋结构，使用高频或宽带激励通常是不可行的，因为高频分量在大结构中衰减迅速，或者难以将干净的宽带能量注入重型结构。然而，为了证明所提出的方法对所有类型的激励都是有效的，使用了冲击和多谐波（周期性）激励进行了研究。首先，结构受到1000 N的冲击载荷作用，持续时间为0.05秒。图27分别展示了损伤情景3和4的结果。这些结果清楚地证实了所提出方法即使在冲击激励下也能提供令人满意的性能。

为了评估周期性激励下的所提出方法，对结构施加了多谐波激励：
(25) F(t) = 2000(sin(πt) + sin(2πt) + sin(4πt) + sin(8πt))
图28展示了这种激励下的结果。与谐波和冲击激励类似，周期性载荷下的结果也是可接受的，验证了所提出方法对所有类型激励的有效性。

如前所述，与基于时间历史的方法相比，所提出的方法有望提供几个优势。自相关函数的二次形式提高了其对结构损伤的敏感性。此外，自相关函数的降噪特性提高了其对各种误差源的鲁棒性。为了验证这些优势，进行了一项比较研究，首先回顾了基于时间历史响应的敏感性方程。

使用公式(4)，受损结构的位移响应为：
(26) X(t) + ΔX(t) = (h(t) + Δh(t)) * F(t) = h(t) * F(t) + Δh(t) * F(t)
简化公式(26)得到位移响应变化的表达式为：
(27) ΔX(t) = Δh(t) * F(t)
将公式(8)代入公式(27)后，得到：
(28) ΔX(t) = ?h¨d(t) * ΔM * h(t) * F(t) ? hd˙(t) * ΔC * h(t) * F(t) ? hd(t) * ΔK * h(t) * F(t)
由于 ΔM = 0，并且从(10)和(11)中代入ΔC和ΔK，得到：
(29) ΔX(t) = {?∑I=1^n h˙d(t) * bKI * (h(t) * F(t)) ? ∑I=1^n hehd(t) *KI * (h(t) * F(t))} | S(t)
公式(29)表示基于位移响应的敏感性方程。为了公平比较，处理不完整测量的方法、加权、优化、模拟误差、激励类型（7 Hz频率的谐波）和位置与基于自相关的方法相同。

通过考虑10%的测量误差和5%的建模不确定性，研究了两种方法的参数估计结果。图29表明，在第一个严重损伤的场景中，两种方法都展示了可接受的准确性，两者之间没有显著差异。在第二种情景下（图30），对于轻微损坏情况，基于时间历史的方法准确性有所下降，而所提出的方法仍能以可接受的准确性识别结构损坏。两种情景的置信指数（CI）值见表5。这些结果表明，所提出的方法在损伤程度较低的情况下表现更好。在轻微损坏情况下，完好状态与损坏状态之间的差异较小，可能会被误差所掩盖。下载：下载高分辨率图片（215KB）下载：下载全尺寸图片图29. 参数估计比较：基于时间历史的方法与所提出的方法（严重损坏，10%的测量和加载不确定性，5%的建模不确定性）。下载：下载高分辨率图片（218KB）下载：下载全尺寸图片图30. 参数估计比较：基于时间历史的方法与所提出的方法（轻微损坏，10%的测量和加载不确定性，5%的建模不确定性）。表5. 基于时间历史的方法与所提出的方法性能的CI值。空单元基于时间历史的方法所提出的方法严重损坏0.860.87轻微损坏0.640.755. 结论本文介绍了一种基于动态响应数据自相关性的新颖敏感性方程。该敏感性方程用于构建目标函数，并通过最小二乘法迭代优化以更新模型参数。所提出的方法在三维夹层平台结构上的性能得到了评估。通过使用受损结构的可用数据以及完好结构的数值数据来近似未测量数据，解决了测量数据不完整的问题。估计结果显示出高准确性。在模拟中研究了各种误差来源，并使用统计指标分析了数据分散性。不同情景下变异系数（COV）和接近度指数（CI）的值介于0.78到0.91之间，表明所提出的方法在存在建模、加载和测量不确定性的情况下具有高准确性和鲁棒性。值得注意的是，所提出的方法的有效性是在高达15%的不确定性下进行评估的，更高的不确定性水平需要进一步研究。此外，该方法的准确性取决于传感器的位置和数量，这需要最佳选择。将所提出的方法的结果与基于时间历史的方法进行了比较。比较结果显示，与基于时间历史的方法相比，所提出的方法具有更高的准确性和更好的鲁棒性以应对不确定性。此外，它需要在更少的迭代次数内收敛，从而降低了计算成本。6. 未来工作作者目前正在计划进行受控实验室条件下的实验验证，并应在全尺寸海上平台上进行后续的现场测试，以确认所提出的损伤检测方法的实际可行性。致谢作者贡献声明Zeynab Helalat：撰写 – 审阅与编辑。Akbar Esfandiari：撰写 – 审阅与编辑。Zeynab Helalat|Akbar Esfandiari伊朗德黑兰Amirkabir理工学院海洋工程系