基于物理约束的稀疏表示方法用于多层板的概率参数反演

《INTERNATIONAL JOURNAL OF MECHANICAL SCIENCES》：Physics-Constrained Sparse Representation for Probabilistic Parameter Inversion of Multilayer Plates

　　摘要

利用超声导波（UGWs）可靠地识别几何和材料参数对于多层结构的完整性评估至关重要。在有限的传感条件下，稀疏信号表示（SSR）已成为解释波场的一个有效工具。然而，现有的SSR公式通常依赖于过于简化的字典设计，这些设计忽略了预定义原子之间的相互关联，从而限制了它们解析高度复杂的UGW波场的能力。为了建立一种将未知结构参数与UGW测量结果联系起来的可靠中间表示方法，本研究提出了一种基于物理约束的SSR方法，用于可解释的波场分解。在此基础上，结合了贝叶斯参数推断，并开发了一种统一的概率框架和分层推断策略，用于从单次发射-接收UGW测量中识别多层板的杨氏模量和厚度。在内层，通过块结构字典和相关的块稀疏贝叶斯学习（B-SBL）公式将物理传播约束编码到稀疏正则化中。这种基于物理的先验不仅丰富了单个原子，还限制了本质上不适定的SSR问题的可行解空间，并引入了结构化的正则化机制，从而在候选参数假设下实现了物理上可解释的波形表示。在外层，量化提取的波分量与其理论对应值之间的一致性，以构建用于贝叶斯证据评估的似然信息，同时将模态相关性和后验系数不确定性在整个反演过程中一致传递。通过对镀冰铝板和金属层压件的数值研究及实验调查证明了所提出框架的有效性。比较结果表明，无论层间材料对比度如何，所提出的方法都能 consistently 实现可靠的参数识别，并降低后验不确定性，在鲁棒性和参数可识别性方面优于传统的SBL和基于复杂SBL的识别方法。

引言

多层板状结构在航空航天[1,2]、汽车[3,4]、建筑[5,6]和能源[7,8]等关键工程系统中得到广泛应用。它们的承载能力[9,10]、耐久性[11]和失效机制[12,13]取决于各层的几何和材料属性。因此，可靠地了解这些参数（特别是厚度和杨氏模量）对于状况评估[14,15]、剩余寿命估计[16,17]和基于风险的决策[18,19]至关重要。然而，在实践中，无法直接获取特定层的属性，必须从不确定的间接实验测量中推断出来。从推断的角度来看，结构参数识别本质上是一个不适定的逆问题[20,21]。最近一项关于层压结构中元件级刚度识别的研究表明，自适应正则化可以减轻逆问题的不适定性[22]，而载荷反演研究强调了考虑结构属性和场中不确定性的重要性，以保持反演的准确性和稳定性[23,24]。更广泛地说，推断的可靠性不仅取决于所采用的方法，还取决于从有限和噪声测量中提取的信息的可靠性[25]。在这种情况下，实现对组装多层结构的稳健和可靠表征仍然是一个未解决的工程挑战[26,27]。

超声导波（UGWs）由于其长距离传播能力和对细微结构变化的敏感性，被广泛用于板状结构的无损评估[28,29]。现有的基于UGW的参数识别方法主要依赖于从超声测量中提取的波速信息[30,31]。这些方法大致可以分为点技术，如飞行时间（ToF）[32,33]或相位偏移估计[34]，以及全波场或波数域方法，包括二维快速傅里叶变换（2D FFT）[35]和斜堆栈变换[36]。虽然在理想条件下有效，但导波的固有多模态、色散和模式转换特性会导致复杂且重叠的波场。波干涉和叠加可能导致波包的明显延迟或提前，从而在速度和波形特征提取中产生歧义[37,38]。在多层结构中，由于相邻层之间的材料属性对比度明显，这一挑战更加严重[39,40]。因此，丰富的导波信息并不自动转化为可靠的物理解释，基于UGWs的参数识别可能变得不可靠甚至根本无法识别。

为了解决波场解释的挑战，一个自然的进展是超越特征提取，而是通过使用一组物理上有意义的基函数来表示测量信号[41]。稀疏信号表示（SSR）将这项任务表述为一个稀疏线性回归问题，在这个问题中，复杂的波场由从过完备字典中选择的有限数量的原子近似表示[42]。由于UGW响应在适当的表示域中的结构化稀疏性[37,43]，SSR已在各种基于UGW的无损检测应用中得到了探索，包括色散补偿[44]和估计[45]、故障诊断[46,47]以及损伤成像[43,48]。在这些研究中，字典设计在表示效果中起着关键作用[49]。常见的方法包括通用的Gabor字典[50,51]和小波字典[52]，以及从理论波数曲线派生的基于色散的信息构造[53,54]。最近，与微损伤相关的非线性波特征也被纳入字典原子中，以捕获超出线性传播假设的额外特性[55]。然而，尽管字典设计越来越丰富，现有研究通常假设全局层面的稀疏性，其中稀疏目标对应于低维的离散目标，如缺陷数量和位置，或主导的色散行为。这种公式限制了SSR在涉及多个未知且连续变化参数的结构参数识别中的应用。

在由测量噪声、严重的波形重叠和不完美的字典建模引起的固有不确定性下，多个看似合理但本质上是模糊的SSR解可能同样能很好地解释观测数据[56,57]。这种SSR公式的非唯一性突显了在复杂条件下进行可靠稀疏推断的重要性，从而促使研究人员从概率角度探索波场分解。Tipping和Faul[58]首次提出了一个分层贝叶斯结构，通过自动相关性确定（ARD）实现模型稀疏性，通常称为稀疏贝叶斯学习（SBL）。在过去十年中，人们付出了很大努力来提高SBL对测量噪声和建模误差的鲁棒性。一种常见的策略是增加观测的数量或维度，并通过联合利用不同条件下的信息来增强SBL。Xue等人[59]提出了一个多任务复杂分层SBL（MuCHSBL）框架，用于损伤定位，其中信号频率相关任务被联合处理以提高诊断的鲁棒性。该框架进一步应用于从多次测量中恢复各向同性板和管中的UGW可靠色散曲线[60]。类似地，Nannuru等人[61]开发了一种多字典SBL方法，用于联合处理来自不同底层字典的多频率传感器阵列测量数据。总体而言，这些扩展的SBL公式旨在通过跨任务或字典共享稀疏特征来提高推断的鲁棒性。

然而，除了在观测层面施加结构化稀疏性之外，人们越来越多地关注在单个稀疏表示内原子之间的字典内相关性建模。这种字典内结构化稀疏性更直接反映了潜在的物理依赖性，并有效地减少了稀疏或可压缩信号的解空间的自由度[62]。一个直接的好处是所需的测量数量减少；另一个好处是减少了恢复伪影，从而获得了更稳健且物理上一致的重建[43,59,63,64]。在结构化稀疏模型中，块稀疏性是信号处理中常见的假设，其中非零条目以组的形式出现，而不是孤立的[65,66]。从这个角度来看，上述的频率相关多任务可以解释为一种广义的块稀疏性，其中与全局稀疏支持相关的字典原子在频率依赖的测量中共同被强制执行。

块稀疏性也自然出现在UGW分析中，通过复数值信号表示。传统的处理方法独立处理实部和虚部，忽略了复变量的固有群集稀疏性。为了解决这一限制，提出了复合SBL（CSBL），将复数值系数作为具有共享稀疏特性的结构化块进行建模[67]。在[68]中，开发了一种基于CSBL的色散曲线估计方法，其中强制实现了复 frequency 响应中的稀疏性和波数一致性，比2D FFT和多信号分类（MUSIC）方法获得了更高的分辨率。最近在SBL方面的进展将块稀疏建模扩展到了具有未知结构模式的情境[69,70]。例如，Fang等人[71]提出了一个模式耦合SBL（PCSBL）框架，通过耦合超参数来建模相邻原子之间的依赖性，后来使用数据依赖的耦合参数（DDCP）来捕捉非均匀的局部相关性[72]。由于恢复具有未知结构模式的块稀疏信号超出了本研究的范围，感兴趣的读者可以参考上述工作以获取更多细节。

尽管SSR及其相关的概率稀疏促进方法在UGW应用中有效，但仍存在几个挑战。现有的结构化贝叶斯方法在不同层次引入了依赖性。例如，多任务SBL[59,61]在多个相关任务或字典之间强制共享稀疏支持，从而在观测域建立了字典间的依赖性。然而，其实际实现通常依赖于跨越不同频率、传感器位置或实验条件的额外测量通道，增加了采集和计算负担。相比之下，CSBL[59,67,68]通过耦合每个复系数的实部和虚部，将结构化稀疏性移至单个字典内部。尽管这种公式降低了相关的测量复杂性，但其字典内的块结构仍然限于原子内部组件的耦合，因此不限制不同传播原子的共同激活。因此，它在表示由重叠的多模态和色散UGW传播产生的强耦合波场方面仍然有限。总体而言，由于对UGW传播物理如何明确编码的探索不足，这些对结构化稀疏性的初步探索并没有有效地解决稀疏表示的物理原子间的模糊性。

此外，由于将稀疏性假设扩展到高维目标而导致的庞大字典问题，传统的SSR主要应用于损伤检测[74,75]、定位[37,43,59]和色散曲线估计[45,60,68]，而其在结构参数识别方面的潜力尚未得到系统探索。为了规避这种维度诅咒，本研究将SSR重新定位为一个中间解释层，有效地将UGW测量结果与候选结构参数假设联系起来。与随机参数样本相关的稀疏波场解释提供了支持概率的证据，随后在分层贝叶斯识别方案中用于参数推断[76,77]。鉴于稀疏分解的固有非唯一性和多层结构中导波场的复杂性，开发了一种基于物理约束的SSR方法，用于结构化波场解释。与现有的仅依赖额外观测或仅耦合单个系数组分的公式不同，所提出的方法限制了单次发射-接收测量中不同传播原子的允许组合。引入了UGW传播的路径依赖性和多模态一致性来指导结构化稀疏建模过程。这种集成将候选参数假设所暗示的先验知识嵌入到块结构字典建模中，从而明确考虑了波原子之间的物理相关性。为了减轻由强重叠信号中的多模态不匹配引起的虚假激活和过拟合，提出了一种具有模式间门控和模式内竞争机制的定制块-SBL（B-SBL）算法。结果，基于物理约束的SSR通过结构化字典设计和封闭形式的超参数更新限制了允许的稀疏解空间，从而实现了有效的推断。因此，它相对于传统的SBL[58,78]提高了稀疏表示的稳定性和参数可识别性，同时保持了单通道传感的信息效率。据作者所知，将这种基于物理的信息结构化稀疏性用于可靠的导波场解释的研究受到了有限的关注。本研究的主要贡献总结如下：

●开发了一种基于概率的UGW贝叶斯框架，用于多层板结构中的结构参数识别，其中SSR被明确定位为连接复杂导波场和贝叶斯参数推断的中间解释层。
●通过将UGW传播特性嵌入到块结构字典和相关的B-SBL公式中，引入了一种基于物理的信息结构化稀疏建模策略，实现了高度重叠导波场的稳健和物理保持分解。
●所提出的参数识别框架支持通过结构化稀疏波场表示和随后的贝叶斯参数推断进行分层和明确的不确定性建模和传播。

在第1节的引言之后，第2节介绍了多层结构中UGW传播和SSR公式的理论背景。第3节详细介绍了所提出的概率结构参数识别框架，包括基于物理的波场分解和贝叶斯参数推断。在4项数值研究、5项实验验证中，分别通过对冰覆盖铝板的数值示例和钢铝层压板的实验研究来展示所提出方法的准确性和鲁棒性。第6节讨论了所提出框架的适用性和局限性，第7节给出了结论性意见。

**理论背景**
本节介绍了基于SSR的结构参数识别的理论基础。2.1节简要回顾了使用三维弹性理论[79]的多层结构中的兰姆波传播。在给出相应的色散关系后，2.2节概述了多模态UGW信号分解的稀疏表示方法。

**提出的概率结构参数识别框架**
在给定色散关系（k, ω）下的稀疏信号表示中，可以通过求解方程（9）从过完备字典[uA0,uS0]中选择并加权多波包[u^A0,u^S0]。然而，由于结构信息未知，无法追踪色散关系。本研究旨在根据2.1节描述的血污波传播模型评估多层板的结构属性。

**数值研究**
为了评估所提出的参数反演框架在多层结构中的可行性，本节对双层冰铝板的数值模型进行了结构参数估计。该模型代表了一种简化但实际相关的冰覆盖飞机机翼配置。通过与基于过完备字典的传统UGW稀疏表示方法进行比较研究，验证了所提出框架的性能。

**实验验证**
使用从金属层压板获得的实验UGW测量数据进一步验证了所提出的结构参数量化框架的性能。与数值研究结果一致，比较结果表明该框架能够在降低后验不确定性的同时实现更可靠的识别结果。此外，还研究了不完整模态信息对基于UGW的反演中参数可识别性的影响。

**关于适用性和局限性的评论**
目前的概念验证研究考虑了多层板中各层杨氏模量和厚度的联合识别。为了将这些发现应用于实际场景，本节讨论了其潜在假设、参数识别范围、计算效率以及扩展到多次测量的可能性。

**结论**
本文提出了一种基于UGW的概率反演框架，用于从使用一对俯仰-捕捉传感器获取的单一波形中联合识别多层结构中的几何参数和材料参数。该框架采用分层推理策略，通过稀疏表示分解多模态导向波，并将提取的波分量的物理一致性作为贝叶斯参数推断中的似然信息。

**CRediT作者贡献声明**
Chen Fang：撰写——原始草案、方法论、调查、形式分析、概念化。
Xin Yang：可视化、软件、数据整理。
Weihao Sun：撰写——审阅与编辑、验证、软件。
Shuangmin Shi：撰写——审阅与编辑、可视化、调查。
Lihai Zhang：撰写——审阅与编辑、监督、资金获取。
Dimitrios Chronopoulos：撰写——审阅与编辑、监督、资源获取。

**作者名单**
Chen Fang | Xin Yang | Weihao Sun | Shuangmin Shi | Lihai Zhang | Dimitrios Chronopoulos

**所属机构**
比利时鲁汶大学机械工程系与机电系统动力学分部（LMSD）