基于LATIN方法的一次性快速弹塑性材料拓扑优化

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Fast topology optimization of elastoplastic materials using a LATIN-based one-shot scheme

　　

摘要 弹塑性材料的拓扑优化需要在每个优化步中，对原始问题和伴随问题同时进行时间推进，从而产生数百个需要求解的线性方程组。这一要求使得大规模应用的数值成本极高。我们从两个方面着手解决这一成本问题。首先，我们推导了局部伴随方程的解耦形式，将传统上在每个材料点求解的耦合方程组替换为一组显式标量和张量更新序列。该形式与全局求解策略无关，可直接应用于标准求解器。其次，我们将LATIN（大时间增量）方法嵌入到原始问题和伴随问题的优化循环中。通过选择弹性刚度张量作为搜索方向，全局刚度矩阵在所有时间步和迭代中保持不变，并且仅在密度分布发生变化时，每个优化步重新进行一次分解。时间步在全局上相互解耦，可以并行求解。这使得可以实现一次性方案，即每个优化步仅执行一次LATIN迭代。本工作中的密度更新遵循热力学拓扑优化方法，采用SIMP插值，但所提出的求解策略与所使用的优化框架无关。本文在2D和3D基准问题（MBB梁和悬臂梁）上验证了该方法，采用J2塑性本构模型，具有Voce各向同性硬化和线性运动硬化，在循环载荷下进行分析。通过采用一次性LATIN方案，与传统牛顿-拉夫森迭代相比，实现了1至2个数量级的加速，同时未影响最终优化设计的质量。引言 拓扑优化旨在给定的设计域内，针对特定的优化目标寻找最优的材料分布。自[1]的奠基性工作以来，基于密度的优化方法[2]、[3]的采用使该领域在线性弹性材料方面取得了相当大的进展。然而，将这些方法扩展到涉及材料非线性的问题——特别是弹塑性问题——仍然是一个重大挑战，这主要归因于本构响应的路径依赖特性以及相关的计算成本。塑性材料的拓扑优化最初由Maute等人[4]和Swan及Kosaka[5]针对小应变弹塑性进行研究。Li等人[6]率先在其材料模型中引入了运动硬化效应，以优化循环载荷下材料的耗散能量。最近，Wallin等人[7]以及Ivarsson等人在[8]、[9]中开发了大应变形式。[10]中提出了一个统一的灵敏度分析框架，最近Han等人[11]将其扩展为一种通用的连续框架，可为一般非线性路径依赖材料推导出与离散化无关的伴随方程。在所有这些已列出的贡献中，一个反复出现的挑战是路径依赖特性所带来的巨大计算成本。每个优化步中，正向分析可能需要求解数百个线性方程组，而伴随灵敏度分析则需要以相反的顺序求解相同数量的方程组。这实际上使计算负担翻倍，使大规模应用几乎不可行。这些特性导致大规模3D弹塑性材料拓扑优化直到最近才由Granlund及Wallin[12]和Han等人[11]发表，且需要大量的计算资源。过去已开发了几种方法来解决这一瓶颈问题。Li等人[13]提出了一个利用Hencky塑性理论的框架，可以避免追踪材料历史。然而，该方法仅限于单调比例载荷条件和小应变弹塑性。此外，对于更高的载荷水平，可能仍需要中间载荷步来确保牛顿-拉夫森（NR）方案的收敛性。Amir针对线性和非线性问题探索了另一种方法。在线性弹性拓扑优化中，Amir等人[14]、[15]表明，近似重新分析和迭代求解器的提前终止可以将计算成本降低高达一个数量级，因为位移场的粗略近似仍能产生足够精确的设计灵敏度。对于非线性问题，Amir[16]提出在改进的牛顿-拉夫森过程中跨设计周期重用已收敛的切线刚度矩阵。虽然这对路径无关的几何非线性取得了显著的节省，但该方法的实验结果表明其主要适用于不涉及路径依赖解的问题——对于弹塑性问题，未报告加速效果。Kusch和Gauger[17]针对非线性但路径无关的问题提出了另一种方法，他们利用一次性方法求解原始问题。这一术语指的是每个优化步仅执行一次原始问题的线性化解步，同时迭代状态、伴随和设计变量。然而，他们报告在获得最终的纯黑白设计时遇到困难。此外，他们的实验仅限于轻微非线性问题。本工作的主要重点是通过减少每个优化步所需的线性方程组求解次数来解决高计算成本问题。为此，我们利用LATIN方法，该方法由Ladevèze在[18]、[19]中开发，用于结构力学中的非线性问题，通过将问题分解为线性全局问题和非线性局部问题来实现。这使我们能够为原始问题和伴随问题的所有时间步使用相同的线性刚度矩阵。此外，时间步在全局上相互独立，可以并行求解。我们在二维和三维设置中引入并验证了该框架，采用J2塑性本构模型，具有各向同性和运动混合硬化，在循环载荷下进行分析，这已经构成了计算上具有挑战性且真正路径依赖的问题类别，而所提出的求解策略本身与空间维度和具体材料模型无关。作为优化框架，我们利用了Junker等人[20]开发的热力学拓扑优化的核心思想，并进一步结合了Jantos等人[21]和Blaszczyk等人[22]的贡献。我们扩展了该方法，使其能够纳入任意目标泛函。通过这些扩展，它与[11]中的连续形式非常相似，其中正则化项和耗散泛函直接纳入拉格朗日量中。在连续设置中的描述使我们能够优雅地推导出灵敏度分析的伴随方程，并为每个材料点解耦伴随演化方程。然而，我们想要强调的是，本提出的降低路径依赖拓扑优化成本的方法不依赖于周围优化方法的特殊特性，因此也可以整合到更标准的方法中，例如Svanberg[23]的广泛使用的MMA方法。在数值离散化方案方面，我们利用了Da Veiga等人[24]、[25]开发的一阶虚拟元。感兴趣的读者可参阅Artioli等人[26]和Wriggers等人[27]的作品，这些作品为工程领域的读者提供了入门性介绍。我们在后续内容中使用虚拟元，因为它们每个单元仅需一个积分点，这允许高效处理历史和设计变量。然而，我们想强调，此处使用虚拟元是出于便利和效率，而非必要性。本文其余部分组织如下。第2节介绍了控制方程、原始问题和伴随问题的LATIN求解过程、基于TTO的密度更新以及一次性优化框架。第3节通过多个基准问题展示了该方法，并与标准的基于NR的拓扑优化在结果和计算成本方面进行了比较。第4节总结了发现并概述了未来工作的方向。章节片段 控制方程 本工作采用具有关联流动法则的J2弹塑性模型，结合Voce各向同性硬化和线性运动硬化（Prager）[28]。对于2D测试，我们额外假设平面应变状态。设Ω为一个有界的开放域，Ω?RD，Γ为其边界。边界被分解为ΓD和ΓN，其中ΓD∪ΓN=Γ且ΓN∩ΓD=?，ΓN和ΓD分别表示Neumann边界和Dirichlet边界。材料满足线性动量平衡的弱形式 ε∫Ωσ:ε(δu)dΩ 数值结果 在以下内容中，我们将针对不同的基准案例考察我们方案的数值性能。结论与展望 本工作提出了一种用于弹塑性材料拓扑优化的新方法。我们不是在每个优化步精确求解原始问题和伴随问题，而是通过每个步执行一次或几次LATIN迭代来仅改进原始和伴随场的近似。通过选择弹性刚度张量作为搜索方向，相同的恒定刚度矩阵在原始问题和伴随问题的所有时间步中被重复使用。结合……CRediT作者贡献声明 Christian Sellmann：撰写——初稿，可视化，验证，软件，方法论，调查研究，形式分析。David Néron：撰写——审阅与编辑，监督指导。Philipp Junker：撰写——审阅与编辑，监督指导。生成式AI和AI辅助技术声明 在本文准备过程中，作者使用了基于AI的编程助手Claude Code（Anthropic）来支持所提方法3D扩展的实现。该工具仅用于编程辅助，未参与概念开发、数学公式化、分析或结果解释。所有AI辅助的代码均由作者审阅、调试和测试，作者对实现的正确性承担全部责任。利益冲突声明 作者声明不存在可能影响本文报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。致谢 本工作得到德国研究基金会（DFG）的支持，属于国际研究培训群IRTG 2657"高维计算力学技术"框架内（DFG资助编号433082294）。Christian Sellmann|David Néron|Philipp Junker