基于间隔的多尺度拓扑优化方法：通过悬挑控制提升飞机格子结构的可靠性和可制造性

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Interval-oriented multiscale topology optimization for ensuring reliability and manufacturability of aircraft lattice structures via overhang control

　　摘要
本研究提出了一种基于可靠性的双尺度动态拓扑优化方法，该方法考虑了悬挑控制。所建立的拓扑优化（TO）模型针对充满类似桁架的格子单元的双尺度结构，重点设计宏观设计域内的材料布局以及类似桁架单元的杆半径。开发了一种网格投影方法来辅助增材制造过滤器（AM过滤器），以实现非结构化网格的悬挑控制并支持定制的打印方向。为了解决涉及缺陷单元的可靠性设计问题，使用采样和拟合方法为类似桁架的单元建立了一个“杆半径-性能边界”模型，显著降低了优化过程中的计算负担。通过几个数值示例讨论了所提出方法的有效性和特性。

引言
多孔格子材料由周期性排列的微观结构组成，具有可控的孔隙率、多样的拓扑形式和高的结构设计灵活性。由于轻质和多功能特性，多孔格子材料克服了传统材料的性能和功能限制，成为跨尺度结构设计和先进材料研究领域的关键焦点。拓扑优化是一种常用的概念设计工具，可以直接在设计域内设计材料分布，提供高度的设计自由度。已经开发了多种拓扑优化方法框架[[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9]]，并应用于各种学科。将拓扑优化技术应用于多孔格子材料的设计可以显著释放轻量化和性能提升的潜力，从而产生了多尺度拓扑优化。多尺度拓扑优化能够协调设计宏观结构布局和单元配置。通过采用周期性、梯度或异质单元布局策略[[10], [11], [12], [13], [14], [15], [16]]，多尺度拓扑优化可以产生广泛的设计结果，已成为当前研究的热门话题。

现代计算机技术的进步带来了结构动态优化的日益关注。稳态动态拓扑优化主要解决谐波激励、频率响应和随机振动问题。学者们对频率响应特性、多频/宽频输入、计算效率和数值稳定性进行了广泛研究。Ma等人[17]建立了振动结构的拓扑优化框架，为基于频域和特征值的优化设计奠定了基础。为了解决使用固体各向同性材料惩罚（SIMP）插值模型进行频率优化时经常出现的局部模式问题，Huang等人[18]提出了一种更合适的材料插值模型。Sanders等人[19]扩展了修正的本构方程误差（MECE）方法，以减轻频域稳态优化中的局部最优解和初始值敏感性问题。Shin等人[20]使用多频准静态Ritz矢量（MQSRV）方法降低了计算模型的阶数，从而显著提高了宽带稳态振动和声学优化的效率。Wang等人[21]将二阶Krylov子空间与多网格方法相结合，提出了一种在随机激励下的多网格点降阶拓扑优化框架，显著提高了优化效率。Guzman等人[22]提出了一种针对具有特定动态响应的结构的设计框架，能够在动态优化过程中有效避免局部特征模式、特征模式切换序列和低密度区域中的重复特征频率。Liu等人[23]提出了一种基于高斯函数的多相位插值模型，用于解耦宏观拓扑、子结构拓扑和子结构的空间分布的描述。通过将所提出的模型与扩展的多尺度有限元方法（EMsFEM）相结合，他们最小化了分层混合结构的稳态响应。关于优化频率响应特性和提高稳态动态优化效率的研究非常丰富，为跨尺度结构的动态优化设计提供了许多理论参考。

增材制造能够直接制造复杂的几何形状，为结构设计提供了一种新的方法。尽管逐层打印可以克服传统方法的一些限制，但增材制造仍然面临长度尺度精度和自支撑结构等几何约束。Guest等人[24]将节点变量与投影函数结合起来，实现了最小长度尺度控制和棋盘格控制的拓扑优化。Wang等人[25]提出了一种三场密度投影方法，使用投影阈值来控制最小结构长度尺度，但这种方法引入了额外的结构分析步骤。Guo等人[26]在水平集拓扑优化框架内引入了结构长度尺度约束函数，实现了对结构特征最小和最大长度尺度的显式控制。Poulson[27]提出了一种基于单调性的最小长度尺度控制方法（MOLE），该方法使用扫描窗口观察局部密度场，并通过约束窗口内的密度场的单调性来控制最小结构长度尺度。Leary[28]提出了针对无支撑最优结构的设计标准，通过几何修改实现了悬挑控制。Zhang等人[29]使用局部密度梯度来拟合线性表面，从而在SIMP拓扑优化框架内结合了悬挑角度和悬挑特征的单一样本约束。Langelaar[30]为规则网格开发了一种AM密度过滤器，实现了悬挑控制而无需引入额外约束。Shin等人[31]提出了一种用于多轴增材制造的拓扑优化框架，该框架使用伪时间场作为设计变量来表示制造顺序，实现了密度分布和打印方向的同时优化。

制造过程中的不稳定性和服务环境中的波动等不确定性是固有的，会严重影响结构安全性。因此，在结构设计阶段需要考虑不确定性的影响。当有足够的数据时，概率不确定性分析方法可以提供准确的评估。当数据不足时，非概率不确定性模型更为合适[[32], [33], [34]]。Ben-Haim[35]于1993年首次提出了基于凸集模型的非概率可靠性理论。Lou等人[36]将非概率凸集模型引入连续体拓扑优化，建立了基于非概率可靠性的连续体结构拓扑优化（NRBTO）框架。Zheng等人[37]提出了一个考虑区间参数相关性的多维平行六面体凸模型，并建立了一个与顺序优化和可靠性评估（SORA-PMA）相关联的解耦两级优化框架。Li等人[38]提出了一种PID顺序非概率NRBTO策略，减少了顺序过程中的振荡。Liao等人[39]开发了一种单变量插值方法来模拟载荷和材料的空间不确定性场，并引入了一种自适应参数扩展策略来解决复杂的非凸NRBTO问题。Zhan等人[40]提出了一个阈值场函数来模拟几何不确定性场，从而提出了一种几何非线性的基于非概率可靠性的拓扑优化（GN-NRBTO）方法。Liu等人[40]开发了一种基于证据理论的智能结构可靠性分析方法，使用卷积神经网络（CNN）来提高可靠性分析的准确性和效率。Zhao等人[41]开发了一种顺序分层双尺度NRBTO，考虑了单元的几何不确定性。

剩余部分的组织结构如下：第2节介绍了类似桁架的格子结构的双尺度动态拓扑优化问题的基本模型。第3节介绍了用于悬挑控制的AM过滤器和处理不规则网格的网格投影方法。第4节介绍了缺陷类似桁架单元的性能等价性和拟合，以及非概率可靠性分析的理论框架。第5节实现了敏感性分析，并提供了解决所提出的TO框架的流程图。第6节提供了三组数值示例来讨论所提出的TO模型的性能。第7节总结了研究的结论。

问题陈述
本文研究的双尺度拓扑优化问题在宏观设计域中采用了基于密度的模型。宏观设计域中的固体实体充满了具有可调杆半径的类似桁架的单元。动态柔顺度最小化拓扑优化问题的表述可以表示为
findρ=[ρ1,ρ2,…,ρN]T,rrodminΨ(ρ,rrod)s.t.{Mu¨(t)+Cu˙(t)+Ku(t)=f(t)V￣=∑i=1NρiVivˉcell/∑i=1NVi≤Vcons0<δ≤ρi≤1,rmin≤rrod≤rmax 其中ρ=[ρ1,ρ2,…,ρN]T是设计参数。 基于网格投影方法的悬挑控制 增材制造过程的快速发展为制造拓扑优化设计提供了便利的手段。然而，增材制造本身存在长度尺度精度、悬挑角度和连通性要求等限制，使得无法制造任意形状的结构。在langelaar[30]的工作基础上，本节介绍了一种悬挑控制方法，允许自定义打印方向，并可以应用于... 缺陷类似桁架格子结构的不确定性分析 增材制造过程中的过程不稳定性可能导致加工对象内部出现缺陷，从而导致成品性能与理论值之间的偏差。为了提高to结果的实际应用性，本节将对具有内部缺陷的类似桁架单元进行性能评估，并对双尺度结构进行不确定性分析。 提出的基于可靠性的拓扑优化的公式和解决方案 在引入不确定性参数后，本文将把结构动态柔顺度的特征距离可靠性指数的最小化作为优化目标。方程（1）应重写为 findρ=><δ≤ρi≤1,rmin≤rrod≤rmax
本节的后续部分将推导上述方程中目标和约束函数的敏感性。

数值示例
本节提供了三组数值示例来展示所提出优化框架的性能。第一组使用两个简单模型评估悬挑控制在不规则网格和定制打印方向上的有效性。第二组展示了使用不同类型类似桁架单元的设计结果。第三组讨论了单元缺陷输入对设计结果的影响。硬件配置是...

结论
本文提出了一种针对类似桁架单元格子结构的双尺度rbto框架，重点关注悬挑控制和单元缺陷下的可靠性设计。所建立的网格投影方法有效地实现了从不规则网格模型到规则网格的密度转换。结合am密度过滤器，它实现了任何打印方向上不规则网格模型的悬挑控制。在考虑单元缺陷的可靠性设计方面，采样-拟合模型...

作者贡献声明
xingyu zhao：写作 – 原始草稿、软件、方法论、概念化。lei wang：写作 – 审阅与编辑、监督、方法论、资金获取、概念化。zhenxian luo：写作 – 审阅与编辑、可视化、验证。 本节的后续部分将推导上述方程中目标和约束函数的敏感性。 数值示例 本节提供了三组数值示例来展示所提出优化框架的性能。第一组使用两个简单模型评估悬挑控制在不规则网格和定制打印方向上的有效性。第二组展示了使用不同类型类似桁架单元的设计结果。第三组讨论了单元缺陷输入对设计结果的影响。硬件配置是... 结论 本文提出了一种针对类似桁架单元格子结构的双尺度rbto框架，重点关注悬挑控制和单元缺陷下的可靠性设计。所建立的网格投影方法有效地实现了从不规则网格模型到规则网格的密度转换。结合am密度过滤器，它实现了任何打印方向上不规则网格模型的悬挑控制。在考虑单元缺陷的可靠性设计方面，采样-拟合模型... 作者贡献声明 xingyu zhao：写作 – 原始草稿、软件、方法论、概念化。lei wang：写作 – 审阅与编辑、监督、方法论、资金获取、概念化。zhenxian luo：写作 –>本节的后续部分将推导上述方程中目标和约束函数的敏感性。

数值示例
本节提供了三组数值示例来展示所提出优化框架的性能。第一组使用两个简单模型评估悬挑控制在不规则网格和定制打印方向上的有效性。第二组展示了使用不同类型类似桁架单元的设计结果。第三组讨论了单元缺陷输入对设计结果的影响。硬件配置是...

结论
本文提出了一种针对类似桁架单元格子结构的双尺度rbto框架，重点关注悬挑控制和单元缺陷下的可靠性设计。所建立的网格投影方法有效地实现了从不规则网格模型到规则网格的密度转换。结合am密度过滤器，它实现了任何打印方向上不规则网格模型的悬挑控制。在考虑单元缺陷的可靠性设计方面，采样-拟合模型...

作者贡献声明
xingyu zhao：写作 – 原始草稿、软件、方法论、概念化。lei wang：写作 – 审阅与编辑、监督、方法论、资金获取、概念化。zhenxian luo：写作 – 审阅与编辑、可视化、验证。>