一种用于分离流大涡模拟的物理嵌入式符号壁面模型

《Journal of Computational Physics》：A physics-embedded symbolic wall model for large-eddy simulation of separated flows

　　

• 提出了一种基于神经网络和符号回归的分析壁面模型。
• 提出的模型包括壁面剪应力模型和涡粘度模型。
• 壁面剪应力表示为速度项和速度 - 压力梯度耦合项。
• 该模型使用周期性山丘流动和未见过的高雷诺数分离流动进行了验证。

引言
壁面模型 [1], [2] 通过避免解析近壁区小尺度湍流的必要性，为实现实际相关雷诺数下壁面约束湍流流动的计算可行的大涡模拟建立了一条关键途径。壁面律为建立附着流的壁面模型奠定了基础 [3], [4]；然而，对于分离流不存在普遍定律 [5], [6], [7]。机器学习（ML）方法（例如神经网络）已成功应用于构建分离流的壁面模型 [8]。然而，由于黑箱性质，训练好的模型往往缺乏物理可解释性，并且比解析表达式更难集成到现有的计算流动力学（CFD）求解器中。在本研究中，我们提出了一种用于湍流分离流的物理嵌入符号壁面模型，该模型使用符号回归方法和集合卡尔曼方法构建，以提高模型的可解释性和后验性能。

泛化能力是开发实用数据驱动壁面模型的第一个关键挑战。在模型训练中纳入已知物理知识被用于提高泛化能力。在 Yang 等人 [9] 的工作中，构建了一个前馈神经网络（FNN）模型，利用由对数律告知的输入特征来估计壁面剪应力，并成功应用于不同雷诺数下的湍流通道流动和展向旋转湍流通道流动的壁面模型大涡模拟（WMLES）[10]。在 Lee 等人 [11] 的工作中，使用 Fukagata-Iwamoto-Kasagi 恒等式 [12] 提取了用于训练壁面剪应力 FNN 模型的全部输入特征。训练好的模型能够预测湍流通道流动和分离湍流边界层流动中的壁面剪应力。使用来自各种流动配置的 数据集进行模型训练是增强模型泛化能力的直接方法。Zangeneh [13] 使用零压力梯度（ZPG）平板上湍流和扩张 - 压缩角周围超声速流动的直接数值模拟（DNS）数据，训练了一个用于壁面剪应力和热通量的随机森林回归模型。Dupuy 等人 [14] 使用湍流通道流动和三维（3-D）扩压器中分离流动以及反向台阶上的过滤高保真数据，学习了壁面剪应力与各个网格点速度分量之间的关系。在我们之前的工作中 [15]，采用三个离壁网格点的流速和压力梯度作为输入特征，以关联湍流分离流动中的近壁流动与壁面剪应力。为了增强模型的物理一致性，后来纳入了对数律，确保了对附着湍流流动和分离流动均可预测精度，而不影响性能 [16]。

确保正确的后验性能是开发数据驱动壁面模型的第二个关键挑战。数据驱动模型成功的先验测试并不能保证其后验性能，因为模型训练和预测环境中的数值离散和湍流模型不一致 [17]。各种方法已被用于提高后验性能。Bae 和 Koumoutsakos [18] 采用了所谓的模型一致性训练策略，他们使用多智能体强化学习（MARL）在 WMLES 环境中训练湍流通道流动的壁面涡粘度模型。这种 MARL 方法后来被应用于训练周期性山丘流动上的壁面模型，并考虑了压力梯度效应。在 Lozano-Durán 和 Bae [19] 提出的基元流动壁面模型中，模型一致性训练是使用优化亚格子模型获得的 WMLES 数据作为训练数据集来实现的，而不是 DNS 数据 [20]。在我们最近的工作 [8] 中提出的特征嵌入学习壁面模型中，采用集合卡尔曼方法以嵌入方式学习第一个离壁网格节点的涡粘度模型，这考虑了 WMLES 中采用的亚格子模型和数值离散的影响。

第三个关键挑战在于数据驱动壁面模型缺乏物理可解释性——这是一个文献中仍未解决的问题。由于其黑箱性质，现有模型通常缺乏物理一致性，并在与常规流动求解器无缝集成方面面临挑战。相比之下，基于物理的壁面模型，例如从过滤 Navier-Stokes 方程推导出的虚拟壁面模型 [21]，由于其具有物理意义的参数和透明的公式，既提供了清晰的可解释性，又提供了简单的集成性。符号回归是一种有前景的机器学习方法，可以直接从数据中学习可解释的数学表达式 [22]。近年来，符号回归方法在湍流研究中引起了越来越多的关注 [23], [24], [25], [26]，特别是雷诺平均 Navier-Stokes（RANS）湍流模型 [27], [28], [29] 和 LES 方法的 SGS 模型的开发 [30], [31], [32]。Weatheritt 和 Sandberg [33] 首次利用基因表达式编程（GEP）方法学习雷诺应力的代数表达式，利用雷诺应力与参考数据的对齐作为代价函数。GEP 方法后来被扩展到训练雷诺应力的新符号表达式，通过将模型训练嵌入到 RANS 计算中，其中代价函数可以基于任何感兴趣的流动特征来定义 [27]。发现该模型引入了额外的扩散，导致在涡轮机械中比基准 k-ω SST 模型更好地预测尾迹混合。然而，基于 GEP 方法的嵌入训练由于优化空间的随机搜索和优化常数的困难，存在收敛速度慢和计算成本高的问题。为了提高训练效率，GEP 方法与神经网络相结合，用于开发 RANS 中三个射流流动案例和一个凸起流动案例的雷诺应力数学表达式 [29]，以及均匀各向同性湍流 LES 的 SGS 应力 [32]。在模型训练中，首先利用神经网络因其强大的表达能力来构建复杂的非线性函数，然后使用 GEP 方法将神经网络函数转换为相对简单的数学表达式。研究表明，提出的 SGS 模型在收敛速度和预测精度方面比由 GEP 方法训练的模型表现出更好的性能 [32]。

在这项工作中，我们基于机器学习方法和高保真数据，提出了一种用于分离流 LES 的物理嵌入符号（PES）壁面模型。提出的 PES 模型包括两个子模型，分别用于预测第一个离壁网格节点的壁面剪应力和涡粘度。前者使用符号回归直接从周期性山丘流动的壁面解析 LES（WRLES）数据中学习。后者首先在 WMLES 环境中通过神经网络模型进行训练，然后使用符号回归转换为解析表达式。对于两个模型，采用特征重要性分析来排除不显著的输入特征，这可以简化获得的解析表达式并加速模型训练。

本文的其余部分组织如下：PES 壁面模型的公式细节在第 2 节描述；PES 模型的学习在第 3 节描述；符号壁面剪应力模型的先验分析在第 4 节呈现；PES 模型在各种流动配置下的后验测试在第 5 节呈现；结论在第 6 节得出。

片段
模型公式化
在本节中，介绍了所谓的 PES 壁面模型，以利用第一个离壁网格节点的壁面剪应力和涡粘度来近似近壁流动对外部流的影响。图 1 显示了 PES 壁面模型的示意图，通过以下四个步骤构建。
1. 特征重要性分析。输入特征 XI 的贡献部分?(XI) 通过特征分析方法计算，即平均杂质减少量（MDI）[34]。因此，
PES 模型的学习
为了学习 PES 模型，我们首先介绍从周期性山丘流动的数据准备过程。然后呈现基于重要特征的模型符号表达式。
符号壁面剪应力模型的先验分析
在本节中，使用具有不同几何斜率的周期性山丘流动的 WRLES 数据，依次进行符号壁面剪应力模型的预测能力评估和物理可解释性分析。
PES 模型的后验测试
本节呈现了 PES 壁面模型的后验测试，该模型包括符号壁面剪应力子模型（SRτw）和符号涡粘度子模型（SRνt），以评估其在各种流动配置下的性能：
1. 不同网格分辨率下周期性山丘流动的测试。在 WMLES 社区中，第一个离壁网格尺寸Δyf/h 是评估壁面模型的最重要参数之一，因为较大的Δyf 允许使用较粗的外部层网格
结论
在本研究中，我们提出了一种用于湍流分离流大涡模拟的物理嵌入符号（PES）壁面模型。PES 壁面模型由两个子模型组成，分别用于第一个离壁网格节点的壁面剪应力和涡粘度。为了保持表达式的简洁性同时确保捕捉关键特征，使用特征重要性分析来选择最相关的输入特征。PES 壁面剪应力模型通过速度构建。

CRediT 作者贡献声明
Ao Cheng：写作 - 审查与编辑，写作 - 原稿，可视化，验证，方法论，调查，概念化。Xin-Lei Zhang：软件，方法论。Zhideng Zhou：写作 - 审查与编辑，写作 - 原稿，方法论，调查，数据管理，概念化。Xiaolei Yang：写作 - 审查与编辑，写作 - 原稿，监督，概念化。Guowei He：写作 - 审查与编辑，监督，资金获取。

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