高阶加权紧致非线性格式的保对称技术

《Journal of Computational Physics》：Symmetry-preserving techniques for high-order weighted compact nonlinear schemes

　　

•分析了 WCNS 中的对称性破坏因素；优化后的 WCNS 在二维问题中实现了完美对称。
•提出了保持对称性的非线性插值、显式差分格式和 Roe 黎曼求解器形式。
•该保持对称性的框架被扩展到了带有粘性项的二维定常曲线网格。

引言
随着计算能力的快速增长，高阶格式在计算流体力学中扮演着日益重要的角色。在过去三十年中，高阶格式取得了显著进展。1987 年，Harten 等人 [1] 提出了本质非振荡（ENO）格式，以消除传统激波捕捉方法中的非物理振荡。然而，ENO 格式存在重构问题和计算效率低下的缺点。在 ENO 框架基础上，Jiang 和 Shu [2] 提出了加权本质非振荡（WENO）格式，在保持强间断捕捉能力的同时，也实现了改进的稳定性。20 世纪 90 年代末，邓等人 [3] 引入了 WENO 的非线性加权概念，制定了加权紧致非线性格式（WCNS）。该格式在精度方面具有高度可调性，且具备稳健的激波捕捉性能。

WCNS 格式相较于 WENO 格式具有 several advantages，主要包括数值通量选择更灵活、便于保持几何守恒律（GCL）以及改进的自由流和涡条件维持能力 [4]。此外，对比研究表明，WCNS 格式在谱特性和整体性能方面均优于 WENO 格式 [5]，[6]。陈 [7] 指出，通过采用对称守恒度量方法（SCMM）[8]，可以在离散意义上精确满足 GCL。

尽管高阶格式具有有利的耗散和色散特性，但其低数值耗散倾向于在浮点运算中引起舍入误差的不对称累积。因此，即使初始构型完全对称，数值解也可能丢失空间对称性。在实际中，精细网格上的高分辨率模拟往往会导致具有固有对称解结构的问题在数值结果中出现不对称 [9]，[10]，[11]，[12]，[13]，[14]，[15]。

关于保持对称性技术的研究，Remacle 等人 [16] 在利用间断伽辽金（DG）方法 [17] 进行高分辨率数值模拟的调查中，首先假设了数值对称性破坏与浮点舍入误差之间存在关联。然而，他们仅提出了初步的缓解措施，未能从浮点算术机制的角度根本解决该问题。Don [18] 用数值稳定的紧致形式替换了七阶和九阶 WENO 格式的平滑指标 βk，旨在延迟对称问题中数值对称性的退化。

Fleischmann 等人 [19] 首次系统分析了 WENO/TENO 格式中对称性破坏的机制。他们指出浮点算术缺乏结合律是根本原因。这一特性会影响依赖于多步求和或乘法的计算过程，例如特征分解和 Harten-Lax-van Leer-Contact (HLLC) 黎曼求解器 [20] 中接触波速的计算。此外，初始设置中关键常数（如 π）的精度，以及接近 π 时余弦函数的不对称浮点评估，也可能破坏对称性。为解决这些问题，他们采用了通过显式括号统一运算顺序、增加关键常数的有效数字以及重写相关数学函数表达式等策略。在 Fleischmann 等人 [19] 工作的基础上，Wakimura 等人 [21] 进一步提出了适用于 P4T2-BVD（基于边界变化递减算法的 4 次多项式和 2 层 THINC 函数重构）重构方案 [22] 的保持对称性技术，实现了各种对称基准测试的完美对称数值结果。这些研究表明，保持对称性需要在算法层面具有浮点运算的对称一致性。

虽然半域模拟可以简化某些轴对称问题，但这种处理仅是依赖于问题的简化，并不具有普遍适用性。全域模拟对于许多对称流仍然是不可或缺的，例如多中心问题。例如，在核坍缩超新星（CCSNe）[23] 中，多个爆炸气泡可能在爆炸过程中于不同位置发展，无法为整个计算域定义单一对称轴。

由于这种全域模拟的内在需求，保持对称性技术具有重要意义。它们消除了对称流模拟中的非物理数值不对称性，从而提高了求解精度。由于对称流对微小的数值误差敏感，特别是在长时间、精细网格和低耗散计算中，这些技术也增强了高阶格式的鲁棒性。此外，控制数值对称性损失是区分物理不稳定性和数值干扰的前提，能够准确分析晚期不对称流结构。

WCNS 格式的优势使其在高阶激波捕捉和复杂流场模拟中具有极高的价值。然而，高阶格式中普遍存在的数值对称性破坏问题限制了 WCNS 潜力的充分发挥。在本文中，我们在 WCNS 框架内消除了二维模拟中潜在的对称性破坏因素。对关键算法组件的实现进行了修改。这些组件包括特征分解、插值方案、黎曼求解器和差分格式。为验证改进方法的有效性，选择了三个具有典型对称特性的基准测试进行数值验证：二维黎曼问题 [24]、瑞利 - 泰勒不稳定性（RTI）[25] 和内爆测试 [26]。数值结果表明，优化后的 WCNS 格式实现了完美的对称解结构。

本文其余部分安排如下。在第 2 节中，给出了二维无粘可压缩流的控制方程，并描述了高阶 WCNS 方案的算法框架。在第 3 节中，基于 WCNS 算法框架分析了对称性破坏因素，并开发了两维欧拉方程的保持对称性技术。在第 4 节中，选择了具有不同对称特性的基准测试来验证改进的算法。最后，在第 5 节中，总结了本文的工作，并对未来的研究前景提出了展望。

章节摘要

控制方程
本研究专注于二维无粘可压缩流。采用守恒形式的控制方程如下，
?U/?t + ?F(U)/?x + ?G(U)/?y = 0，
其中 U 是守恒变量向量，F 和 G 分别是 x 和 y 方向上的通量函数向量。U、F 和 G 定义如下：
U=[ρ, ρu, ρv, E],
F(U)=[ρu, ρu2+p, ρuv, (E+p)u],
G(U)=[ρv, ρvu, ρv2+p, (E+p)v],
其中 ρ 是密度，u 和 v 分别是 x 和 y 方向上的速度分量，E 是总能量。

保持对称性的技术
尽管高阶 WCNS 格式具有优异的离散精度和鲁棒的间断捕捉能力，但其低数值耗散可能导致由于浮点运算中结合律的丢失而引起对称性破坏，
(a+b)+c ≠ a+(b+c),
a·(b·c) ≠ (a·b)·c,
其中最终的浮点值取决于运算顺序。因此，对称位置的计算过程必须严格相同。

基于 WCNS 方案的算法框架，在此。

数值结果
为了验证第 3 节中提出的保持对称性技术，对几个具有空间对称解结构的基准测试进行了数值模拟。这些案例对任何潜在的对称性破坏因素都很敏感，能够有效验证所提出技术的可靠性。数值结果表明，优化后的 WCNS 格式可以在所有测试案例中稳定地维持理想的对称解结构。在此报告的所有变量。

结论
高阶 WCNS 格式由于其低数值耗散，倾向于导致浮点运算中舍入误差的不对称累积。这导致数值解丢失空间对称性，即使在对称初始条件下也是如此。

为解决此问题，本研究通过分析四个关键组件中的对称性破坏因素，开发了一个保持对称性的 WCNS 框架：(1) 特征分解，(2) 插值方案，(3) 数值通量计算，以及

CRediT 作者贡献声明
Yuqing Chen：写作 – 审查与编辑，写作 – 原稿撰写，可视化，验证，监督，软件，资源，项目管理，方法论，调查，资金获取，形式分析，概念化。Yidao Dong：写作 – 审查与编辑，写作 – 原稿撰写，可视化，验证，监督，软件，资源，项目管理，方法论，调查，资金获取，形式分析，概念化。Yicong Zou：写作 –

竞争利益声明
作者声明，他们没有已知的竞争经济利益或个人关系，这些利益或关系可能会影响本报告的工作。

Yuqing Chen|Yidao Dong|Yicong Zou|Ming Zeng