一种针对源自多维黎曼 - 刘维尔空间分数阶扩散方程的一类有限差分格式的最优预处理 GMRES 方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：An optimal preconditioned GMRES method for a class of finite difference schemes arising from multi-dimensional Riemann–Liouville space fractional diffusion equations

　　

摘要 提出了一种统一框架，针对一类有限差分格式，涵盖一阶至四阶，用于求解多维黎曼 - 刘维尔空间分数阶扩散方程。基于此框架，我们开发了一种最优的单侧预条件广义最小残差（GMRES）方法。理论上，我们首先构建了一个具有双侧预条件的辅助等价系统，并证明该系统 GMRES 方法的收敛速率与矩阵大小无关。此外，我们表明单侧预条件系统的 GMRES 收敛性也与网格大小无关，通过建立单侧和双侧预条件系统 GMRES 残差之间的相关性。提供了数值例子以支持理论分析，并证明所提出预条件策略的效率和鲁棒性。

引言 求解具有托普利茨或类托普利茨结构的大型线性系统是一项常见任务，因为此类系统通常产生于分数阶扩散方程（FDEs）的离散化。这些方程建模了多个领域的现象，包括期权定价 [1]、等离子体中的示踪扩散 [2]、地下水污染物传输 [3] 和信号处理 [4]。由于托普利茨矩阵的矩阵 - 向量乘法可以通过快速傅里叶变换（FFT）[5], [6] 快速评估，像 Krylov 子空间方法这样的迭代方法受到了广泛关注，用于求解大型托普利茨线性系统，对于直接方法来说，在计算和存储方面成本太高 [7]。

为了获得高精度的数值解，通常考虑两种方法。一种是采用高阶离散格式，另一种是使用更细的网格。然而，每种方法都有其局限性。一方面，随着矩阵大小的增加，线性系统往往变得病态，导致 Krylov 子空间方法的收敛速率慢和计算成本更高。作为处理此问题的有效方法，预条件技术已被广泛使用，以降低整体复杂度并显著提高 Krylov 子空间方法的收敛速率。这里介绍了几种常用的预条件子，包括 Strang 的循环预条件子 [8]、T. Chan 和 R. Chan 的循环预条件子 [9], [10]、带状预条件子 [11]、近似逆预条件子 [12]、结构保持预条件子 [13]、多重网格预条件子 [14] 和分裂预条件子 [15]。理论上，对此类预条件子的分析通常证明预条件矩阵具有网格相关的聚类谱或有界的条件数。然而，仅凭这些属性可能无法保证 Krylov 子空间方法快速或与网格大小无关的收敛，当应用于涉及多级托普利茨矩阵或远离正规矩阵的线性系统时 [7], [16], [17], [18]，意味着迭代次数可能随矩阵大小增加。另一方面，高阶格式 [19], [20], [21], [22], [23] 中系数的属性通常不如低阶离散化 [24], [25], [26], [27] 中的属性有利；例如，参见 [19], [21], [28], [29]。这表明用于低阶格式理论分析的技术可能不能直接应用于高阶格式。基于上述提及的内容，针对 FDEs 高阶格式的开发具有网格无关收敛速率的迭代求解器一直是一个活跃的研究领域。

对于求解对称线性系统，共轭梯度（CG）法 [30] 和最小残差（MINRES）法 [31] 通常被采用。众所周知，对于此类对称迭代求解器，收敛速率与系数矩阵的谱密切相关：紧密聚类的特征值导致更快的收敛 [5], [32]。特别是，当系数矩阵的谱有界时，这些方法表现出网格无关的收敛性。因此，对于对称线性系统，文献中对设计产生谱有界的预条件矩阵的有效且实用的预条件子有很大的兴趣。

[33] 中已证明 τ 预条件子 [34] 与源于黎兹分数阶导数一阶离散化的对称正定（SPD）矩阵谱等价，且预条件 CG（PCG）方法求解多维黎兹空间分数阶扩散方程（RSFDE）离散线性系统所需的迭代次数与矩阵大小无关。这些结果激发了基于 τ 预条件子开发最优预条件迭代求解器的兴趣。在 [35] 中，提出了一种 τ 预条件子来求解二维（2D）非线性 RSFDEs 的二阶线性化格式，且预条件矩阵的谱被证明被 (1/2, 3/2) 界定。最优预条件迭代方法后来被扩展用于求解 2D RSFDEs 的四阶格式，在关于分数阶的假设下 [28]。为了完善理论框架，在 [36] 中，针对源于具有黎兹分数阶导数的 2D 非线性反应 - 扩散方程的新四阶格式，提出了一种基于 τ 矩阵的预条件子，且使用不同于以前工作的新技术，显示预条件后的谱被 (3/8,2) 界定，对分数阶没有任何限制。提到的工作专注于 SPD 托普利茨系统的最优预条件迭代求解器。

然而，在科学计算和工程应用中，非对称托普利茨系统比对称托普利茨系统更普遍。与对称迭代求解器相比，分析非对称迭代方法如 GMRES 的收敛性要复杂得多，因为它不能仅由特征值分布确定 [37]。因此，对于非对称托普利茨线性系统，与使用 CG 方法 [8] 求解规范化系统相比，使用 [38] 提出的对称化技术求解对称化系统以使用 MINRES 方法，显然更便宜，因为每次迭代的计算成本更低。该技术的基本思想是通过预乘或后乘一个反对称矩阵来重新排列原始非对称托普利茨矩阵的行或列，以获得对称（汉克尔）矩阵，从而可以使用 MINRES [38], [39], [40]。此外，MINRES 的收敛速率由预条件矩阵的谱决定。基于这一思想，最近开发了许多快速迭代方法；例如，参见 [41], [42], [43], [44]。

虽然非对称线性系统预条件子3.1 P 是 SPD 且因此可逆。此外，P 的最小特征值大于 cd，其中 c 定义在假设 1 (iv) 中。

证明 结果直接源于假设 1 (ii), (iv) 和克罗内克积的基本属性。□

由于 P 可逆，单侧预条件系统为

数值结果 在本节中，给出了四个具有不同格式（从一阶到四阶）的数值例子，以验证我们所提出预条件策略的效率。所有模拟均在配备 AMD Ryzen 5 4600U @ 2.10 GHz 和 16 GB RAM 的笔记本电脑上使用 MATLAB R2019a 进行。

由于差分格式在数值实验中已指定，我们指出假设 1(ii) 中测试格式的矩阵 Hαi 和 Pi 都是 τ 矩阵 [25], [33], [52]

结论 在本文中，我们为多维 RLSFDEs 的一类有限差分格式开发了一种统一的预条件框架。基于此框架，引入了一种最优的单侧预条件 GMRES 求解器。为了证明其效率，我们证明了对应双侧预条件系统的 GMRES 方法收敛速率与网格大小无关。同时，单侧和双侧预条件的 GMRES 残差之间的关系

CRediT 作者贡献声明
黄媛媛：写作 - 初稿，可视化，软件，调查，形式分析。
屈伟：写作 - 初稿，验证，方法论。
雷少龙：写作 - 审查与编辑，监督，方法论，资金获取。
希恩 Y. 霍恩：写作 - 审查与编辑，监督，项目管理，方法论，资金获取，形式分析。
黄媛媛 | 屈伟 | 雷少龙 | 希恩 Y. 霍恩