具有多个检测限的多变量/截尾回归方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：Multivariate slash censored regression approach with multiple detection limits

　　• 讨论截断多变量斜线分布的理论特性。
• 提出用于具有厚尾和审查的多变量数据的MSLC和MSLCR模型。
• 开发用于高效最大似然估计的EM类型算法。
• 通过模拟和真实数据集证明其优越性能。

引言
在经典统计方法的发展过程中，多变量正态（MVN）分布因其数学上的易处理性而发挥了重要作用。然而，由于极端值或异常值的存在，数据中变量的实际分布并不总是呈现完美的钟形曲线。对于尾部观测值较多的数据，人们越来越关注重尾分布类进行稳健的统计推断。该类中一个流行的分布是多变量t（MVT）分布[1]，它具有一个调节参数ν（即自由度），用于控制分布尾部的厚度；当ν→∞时，该分布趋近于MVN分布；当ν=1时，相当于多变量柯西分布。另一种分布是多变量斜线（MSL）分布，最初由[2]引入，它也具有一个形状参数ν来控制尾部厚度和稳健性。较小的ν会导致尾部更重，对异常值的抵抗力更强；较大的ν则使分布趋近于MVN分布。
单变量斜线分布[3]定义为ZU?1，其中Z是标准正态随机变量，而U在区间[0,1]上服从均匀分布。一些文献[4]、[5]、[6]研究了斜线分布的其他定义，即ZU?1/ν（ν>0），当ν=1时简化为标准斜线分布；当ν→∞时趋近于标准正态分布。此外，[7]研究了Zγ?1/2（γ服从Beta(ν/2,1)分布）的情况，其结果与[4]中的情况等价。还有[8]研究了Zγ?1/2（γ=dU1/ν且γ服从Beta(ν,1)分布）的情况。在本研究中，我们考虑Zγ?1/2（γ服从Beta(ν/2,1)分布）的情况来发展MSL分布。与使用Gamma(ν/2,ν/2)缩放变量的MVT分布（在MVN的尺度混合的层次表示中）不同，MSL分布使用Beta(ν/2,1)缩放变量。根据这种定义，MSL和MVT分布在渐近意义上具有相同的尾部衰减率（虽然它们并不完全相同）。

在环境调查、遗传分析、临床试验和生物医学研究等科学研究领域，由于实验设备受检测限制（DLs）的影响，经常遇到带有审查值的多变量数据。正式来说，当测量仪器无法准确观察到低于、高于或处于某些阈值范围内的值时，就会发生DLs。左审查发生在观测值低于下限DL时，右审查发生在观测值超过上限时，区间审查发生在真实值仅知道位于某个范围内时。适当的审查模型非常重要，因为它们能够解释审查观测值中包含的部分信息，并有助于避免偏差统计推断。在过去的几十年里，人们提出了许多方法来处理由于测量设备的基本限制而无法精确量化且可能不可靠的审查数据。例如，[9]、[10]研究了来自MVN总体的截断和审查样本的基于似然的推断。[11]提供了期望最大化（EM）算法[12]，用于在幂变换下对带有DLs的数据进行最大似然（ML）估计。[13]考虑了审查回归（Tobit）模型的ML估计问题，该问题最初由[14]研究。[15]通过引入随机效应来描述重复测量的受试者特定特征，扩展了Tobit模型。为了对带有审查值的高维数据进行建模和聚类，Wang等人[16]提出了带有审查的因子分析器混合（MFAC）模型，随后Wang等人[17]将该模型扩展以包含协变量到均值向量中。在上述模型中，随机量通常假设服从MVN分布，在审查数据框架下开发基于EM的ML估计算法涉及评估截断MVN分布的矩[18]。[19]研究了基于正态分布尺度混合的审查线性回归模型的稳健结构，这些模型包含 several 重尾分布成员，但这些模型仅限于具有审查值的单个因变量。

在本研究中，我们旨在基于MSL分布方法论地开发统一的方法，以在极端异常值存在的情况下稳健地对多变量审查数据进行建模。所提出的方法称为带审查的MSL（MSLC）和MSLC审查回归（MSLCR）模型。前者可以处理带有审查观测值的多变量数据，后者可以描述具有审查值的协变量和多个因变量之间的关系，其中随机误差遵循MSL分布。首先，我们研究了在[7]中定义的带有修改后的缩放变量（遵循Beta(ν/2,1)）的MSL分布的基本属性。然后，我们推导了截断MSL分布的一些理论结果，这些结果对我们开发MSLC和MSLCR模型非常有用。我们开发了蒙特卡洛期望条件最大化（MCECME）算法[20]来对我们的模型进行ML估计。此外，还提供了基于Louis方法的[21]的经验信息矩阵近似，以获得MSLC模型位置参数的渐近协方差矩阵和MSLCR模型的回归系数。

本文的组织结构如下：第2节介绍MSL分布和截断MSL分布，并推导出它们的一些属性。第3节建立MSLC模型的推断，第4节建立MSLCR模型的推断，分别介绍这两种模型及其估计程序。第5节通过分析光色素浓度数据和密歇根湖水化学数据来说明我们模型的实用性，这些数据的属性受到特定DLs的限制。第6节在各种情景下进行模拟，以检验所提方法的有限样本行为。我们在第7节总结本文，并在补充附录中提供了一些理论部分的详细证明和额外的数值结果。

**多变量斜线分布**
设一个p维随机向量Y遵循具有位置向量μ、尺度协方差矩阵Σ和尺度参数ν的MSL分布，表示为Y～SLp(μ,Σ,ν)，如果它满足以下随机表示：Y=μ+γ?1/2ΛZ，其中γ遵循Beta(ν/2,1)分布且与Z独立。这里，Z服从均值为零、相关矩阵为R=[ρij]i,j=1p的p变量正态分布，相应于Σ=[σij]i,j=1p=ΛRΛ，其中Λ=Diag{σ11,…,σpp}是对角矩阵，其元素由σji组成。

**带有审查的MSL**
设Yi=(yi1,…,yip)?（i=1,2,…,n）是从SLp(μ,Σ,ν)分布中独立同分布的随机向量。在某些情况下，由于测定的DLs，一些yij可能受到左审查、右审查和/或区间审查，因此可能无法精确量化。我们感兴趣的是可能发生区间审查的情况。对于每个向量yi，设ui={ui1,ui2}i=1n为未审查读数或审查水平，其中ui1=(ui11,…,uip1)?。

**线性回归情景**
为了描述可能受到审查和轻微异常值影响的解释变量与多个响应变量之间的关系，我们进一步引入了MSLCR模型。设yi=(yi1,…,yip)?是第i个个体（i=1,2,…,n）的p×1连续响应向量，xi=(xi1,…,xis)?是s×1的协变量向量。在多变量线性回归情景下，设计矩阵的形式为Xi=Ip?xi?，其中p×ps是通过克罗内克积?得到的。

**生物测定中的光色素浓度数据**
为了展示所提出方法的性能，我们分析了由生物和化学海洋学数据管理办公室（BCO-DMO）使用高效液相色谱（HPLC）收集的光色素浓度数据集。该数据集可通过BCO-DMO公开获取（https://www.bco-dmo.org/dataset/710144）。整个数据集包含27个属性，包括采样元数据（年份、月份、样本编号）以及关键浮游植物的浓度。

**模拟研究**
我们进行了两项模拟研究，旨在评估在不同样本量和审查率下所提出的MSLC和MSLCR模型的有限样本性能。这些模拟有两个主要目的：（i）证明MSLC和MSLCR模型在数据拟合优度方面的优越性；（ii）检验通过开发的MCECME算法获得的ML估计的准确性和渐近性质。

**结论性评论**
本文提出了MSLC和MSLCR模型，作为处理具有厚尾和审查的多变量数据的灵活且稳健的方法。通过MVN分布的尺度混合表示以及定理2.1–2.3中展示的理论属性，通过开发的灵活MCECME算法实现了模型参数的ML估计。模拟结果证实，与现有模型相比，MSLC和MSLCR模型提供了更优的模型拟合和可靠的参数估计。

**作者贡献声明**
Wan-Lun Wang：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草稿、验证、监督、软件、项目管理、方法论、形式分析、概念化。
Hui-Min Li：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、软件、形式分析、数据整理。
Wei-Heng Huang：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草稿、验证、监督、软件、调查、形式分析、数据整理。

**资金支持**
Wan-Lun Wang和Wei-Heng Huang希望感谢台湾国家科学技术委员会在Grant numbers NSTC 113-2628-M-006-003-MY3和NSTC 114-2118-M-305-001-MY3下的支持。

**致谢**
作者衷心感谢编辑和两位匿名审稿人的建设性评论和建议，这些评论和建议显著提高了本文的质量。

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