一种结合卡伦-勒维展开和关键条件商方法的海面估计方法

《Ocean Engineering》：A sea surface estimation method combining Karhunen-Loève expansion and key condition quotient method

　　

•提出了一种新颖的概率方法，用于从单张海洋雷达图像重构海面。
•利用波浪空间自相关，通过 Karhunen-Loève (K–L) 展开推导出了一个低维海面模型。
•关键条件商 (KCQ) 方法已成功应用于海面重构和估计。
•数值测试验证了低阶 K–L 能够实现准确建模，且 KCQ 在估计精度上优于传统方法。

引言
准确的海洋波浪信息对于海洋演变的研究和监测至关重要，是预测和防止海洋灾害的前提，也是近海平台建设和海洋航运发展的关键安全屏障 (Zhao et al., 2023, Zhao et al., 2025)。对于海洋工程实践，如近海结构设计、浮式生产系统操作和海底管道保护，精确的海面高程数据是降低波浪载荷导致结构损坏风险的关键 (Cui et al., 2025)。同时，实时可靠的海面信息为灾害预警系统提供了核心支持，有助于减少风暴潮和极端波浪造成的人员伤亡和财产损失 (Qi et al., 2016)。与统计描述的波浪信息相比，确定性海洋波场估计能为海洋监测和预报提供更精细、更准确的海况描述，对于特定海域的短期海洋工程作业、灾害预警和海洋研究具有不可替代的价值。海面波场估计的准确性和可靠性取决于两个关键组成部分：首先，如何构建真实的海面模型以实现海洋波浪的确定性数学建模；其次，如何利用反演算法从船载雷达图像观测中重构完整的海面波场。

准确估计海洋波场需要对真实海面进行有效的数学建模。核心挑战在于控制计算复杂度以满足工程应用的实时性要求，同时确保建模精度。这一主题长期以来一直是海洋工程研究的中心，并进行了广泛的研究。水动力学方法 (Yuksel et al., 2007, Li et al., 2019, Landesman et al., 2024, Salis et al., 2024) 通过求解纳维 - 斯托克斯方程，表征波浪生成、传播、破碎和波浪 - 水流相互作用的完整动态过程。Chalikov (2022) 系统回顾了各种用于数值波浪建模的水动力学方法，并确认了它们准确捕捉波浪间非线性相互作用和能量转移的能力。Kumar 和 Hayatdavoodi (2023) 进一步展示了此类方法在深水和有限水深耦合波浪 - 水流模拟中的优势。然而，为了保持计算精度，这些方法需要精细的空间和时间离散化，这可能导致高昂的计算成本。Akbari 和 Namin (2013) 指出，复杂的粒子动力学规则显著降低了模型的实时性能；因此，水动力学方法不适合实时波场估计，主要用于特定条件下波浪行为的数值模拟。基于几何和分形的方法试图通过纯粹从数学或几何角度来处理复杂的物理过程，从而绕过它们。Fournier 和 Reeves (1986) 提出了傅里叶合成法，通过叠加有限数量的正弦波来拟合海面形态。Ts'o 和 Barsky (1987) 的贝塔样条建模方法进一步提高了海面几何表示的精度。此类方法计算效率很高，常用于海面可视化。然而，它们无法捕捉海洋波浪的动态演变，因为它们缺乏物理机制。分形方法利用分形理论描述海面的自相似性和多尺度特征 (Wu et al., 2020)。Berizzi 等人 (1999) 开发的一维分形海面模型为电磁散射模拟奠定了基础。Wang (2022) 以及 El-Nabulsi 和 Anukool (2023) 进一步将分形理论扩展到短波和海啸波浪建模。然而，这些方法涉及复杂的参数校准，难以准确反映海洋波浪的能量谱分布和方向传播特征。它们的建模结果与真实海况的一致性有限，无法满足工程级波场估计的精度要求。基于谱的方法 (Janssen, 1991, Meng et al., 2022, Chen et al., 2023, Rizaev et al., 2022, Liu et al., 2024, Vijayan et al., 2023, Arivazhagan et al., 2024, Hlophe et al., 2022) 是海洋工程中应用最广泛的海面建模方法。基于线性波浪理论，它们将复杂的海面分解为众多具有不同频率和方向的谐波波的叠加，并通过波浪能谱描述海洋波浪的能量分布 (Janssen, 1991)。波浪能谱和方向函数的选择直接决定了模型的表示精度 (Wu et al., 2019)。Stopa 等人 (2016) 比较和验证了谱模型中不同物理过程参数化方案，揭示了参数选择对预测结果的显著影响，并验证了建模方法在海况表示中的关键作用。Meng 等人 (2022) 和 Liu 等人 (2024) 分别将谱方法与 LSTM 和物理信息神经网络相结合，实现了波浪序列的长期预测和相分辨模拟。Shahrezaei 和 Kim (2024) 提出了一种模式敏感的多尺度变换域融合方案，系统整合和比较了五种不同的方向扩散函数，并采用深度超分辨率网络重构输入粗糙度模型。Wu 等人 (2024) 通过优化算法对波浪谱进行多参数拟合，提高了谱模型对真实海况的适应性。Ryabkova 等人 (2019) 系统回顾了谱模型在海面雷达探测中的应用，阐明了波浪谱的方向分布和能量转移对雷达后向散射模拟的重要性。Xie 等人 (2019) 进一步揭示了风浪谱在不同微波波段下影响雷达后向散射的机制，建立了谱建模与雷达观测之间的内在联系。

海洋波场的准确估计和反演需要建模方法和观测数据的联合使用。作为海洋遥感中的核心观测技术，雷达作为海面建模与真实海况之间的重要纽带，是准确波场反演所需动态海面信息的关键来源。依赖雷达图像序列的反演方法代表了传统的通用技术。通过利用连续雷达图像的空间 - 时间相关性，可以使用傅里叶变换和调制传递函数等理论重构三维海面高程。Nieto Borge 等人 (2004) 提出的标准重构方法 (SRM) 通过 3D 傅里叶变换分析图像序列的时空谱，并在波数 - 频率域中进行波浪参数反演，这与谱波浪建模的频率分解逻辑天然兼容。Dankert 和 Rosenthal (2004) 进一步优化了序列校准和相位提取算法，从而提高了复杂海况下模型与观测之间匹配的稳定性。Qi 等人 (2016) 结合相分辨模拟和序列校准，实现了建模结果与观测数据的准确对齐。然而，对连续雷达图像序列的强烈依赖降低了其在实时估计中的实用性。在恶劣海况下，图像容易受到噪声干扰，且可能发生序列中断 (Zinchenko et al., 2021)。Naaijen 和 Wijaya (2014) 试图放弃对图像序列的依赖，仅使用单张雷达图像。基于一维傅里叶变换和高通滤波提取一维波浪特征。此外，近年来涌现出许多结合机器学习的数据驱动波浪表面反演方法。Zhao 等人 (2023) 采用 CNN 从单张图像重构海面，实现了与各种建模结果的快速比较和校准。Cui 等人 (2025) 通过嵌入梯度约束提高了重构分辨率。Jebari 等人 (2025) 结合立体视觉和深度学习在合成环境中实现了波场反演，为模型的虚拟验证提供了支持。此类方法无需序列数据，显著提高了实时性，并在特定海况下实现了高精度。然而，模型性能严重依赖于训练数据的质量和多样性，导致对未见海况的泛化能力不足，难以满足建模的物理一致性要求 (Liu et al., 2024)。此外，“黑箱”特性导致缺乏物理可解释性，无法量化反演不确定性或为参数优化提供明确的依据。目前，海面建模与雷达反演之间的交叉融合仍处于单向适应阶段，尚未建立系统的技术框架。相关研究主要集中在单向验证场景，即利用海面建模结果验证雷达反演性能，或利用谱方法生成的数据训练反演模型。为了恢复海面的精细空间结构，传统谱方法需要对众多频率和方向箱进行离散化，引入数百个随机相位参数。模型中未知参数的数量与雷达反演的实时需求之间存在矛盾。Blondel-Couprie 等人 (2013) 指出，在使用非线性模拟方法进行超实时波浪预测时，计算成本主要源于数据同化过程，而非正向时间积分步骤。

为了解决谱建模与高效反演之间协调不足的挑战，本研究提出了一种结合 Karhunen-Loève (K–L) 展开建模与关键条件商 (KCQ) 方法的海面波场估计方法。确定性海面波场被抽象为基于 K–L 展开、由随机变量驱动的函数模型，从而降低了波场模型的参数维度。在此基础上，以雷达图像作为观测条件，将海面估计和重构问题转化为条件估计问题。然后利用条件概率理论对海面波场进行估计。所提出的方法可以直接从雷达图像观测中估计海面波场。其核心创新体现在以下两个方面：
•将 K–L 展开应用于海洋波浪空间场的建模。通过推导海洋波浪空间场的通用自相关函数，与传统基于线性谱展开的海洋波浪建模方法相比，该方法在保持高估计精度的同时显著减少了随机变量的数量。值得注意的是，虽然 K–L 展开已广泛应用于海洋波浪随机过程模拟领域 (Sclavounos, 2012, Rowley and Marsden, 2000, Guth and Sapsis, 2022, Takami et al., 2025)，但很少有研究试图将其扩展到海洋波浪随机空间场的建模中。
•开发了一种基于雷达观测条件的 KCQ 方法。从概率守恒原理出发，应用条件概率公式，系统推导了在已知雷达测量条件下海面高度的条件均值、条件方差和条件概率密度函数的解析商形式表达式，称为条件商 (CQ)。考虑到观测条件参考值的不均匀性，提出了一种筛选局部关键观测条件的解决方案，从而推导了在选定关键条件下海面高度的条件统计特征，称为关键条件商 (KCQ)。与基于传统傅里叶变换的方法相比，KCQ 方法提供了更准确的海洋波场估计。

本文的其余部分组织如下。第 2 节介绍了基于 K–L 展开的海面波浪建模方法，并详细推导了海洋波浪空间场的自相关函数。第 3 节详细阐述了关键条件商方法，推导了给定雷达观测条件下海面高程的条件统计特征，并给出了相应的数值格式。第 4 节提供了四个数值示例，进行详细分析以验证基于 K–L 展开构建的海洋波浪模型的正确性以及使用 KCQ 方法从雷达图像估计海面的效果。最后，第 5 节对本研究进行了总结。

章节片段
基于 Karhunen-Loève 展开的海面波浪建模
海洋波场模型能否有效应用于波场重构和预报，取决于其准确表征真实海洋波场的能力。

当前主流建模方法是谱模型，其基于线性叠加原理。该模型叠加大量具有随机相位的余弦波以确保模型的真实感，但这需要引入大量随机相位参数，导致计算成本高昂。

方法论：本节将介绍关键条件商（KCQ）方法。该方法的主要思想是将雷达数据的海面反演问题视为条件不确定性估计问题。基于条件概率理论，它推导了在给定当前雷达图像条件下海面波高的条件均值、方差和概率密度函数。KCQ 方法最初由 Zhao 和 Wu (2025) 提出，用于解决随机静态问题，此后已...

基于 K-L 展开的海面波建模验证

在本示例中，首先验证了基于 K-L 展开的海面波建模的准确性和真实性。采用线性谱展开方法构建边长为 500 m、距离分辨率为 10 m 的正方形海域。海浪谱采用 ITTC 谱 (Cox et al., 1984)：Sω=173Hs2Tp4ω5exp?691Tp4ω4。其中设定有效波高 Hs=4m，谱峰周期 Tp=10s。海浪谱被离散化为 100 个区间。

结论

针对谱海面建模中的高维参数化挑战以及传统反演方法对雷达图像序列的依赖，本研究提出了一种基于关键条件商（KCQ）框架和 Karhunen-Loève (K-L) 展开的单图像海面高度估计方法。该方法将反演重新表述为条件概率估计问题，并利用 K-L 特征基实现降维，同时...

CRediT 作者贡献声明

李竹：写作 – 审查与编辑，写作 – 初稿，验证，方法论，概念化。杨奥浩：写作 – 初稿，方法论，概念化。吴峰：写作 – 初稿，监督，项目管理，方法论，概念化。李晨：写作 – 审查与编辑。杨宇翔：写作 – 审查与编辑。赵岳霖：写作 – 审查与编辑。

利益冲突声明

作者声明，他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本论文报告的工作。

致谢

本研究得到了国家自然科学基金（项目编号：12372190）和国家自然科学基金基础科学中心项目（项目编号：62388101）的支持。

李竹 | 杨奥浩 | 吴峰 | 李晨 | 杨宇翔 | 赵岳霖