《Mathematics》：A Novel Expanding-Window Tensor TOPSIS (EWTT) Approach for Dynamic Sustainability Ranking of Countries
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本研究提出了一种新颖的扩展窗口张量TOPSIS (EWTT)方法，这是一种集成了时间特征提取与扩展窗口估计方案的动态多准则决策分析(MCDA)框架。该方法将面板数据结构化为三阶张量，并从每个备选方案-准则对的滚动窗口中提取三个时间序列特征——线性趋势、均值和标
本研究提出了一种新颖的扩展窗口张量TOPSIS (EWTT)方法，这是一种集成了时间特征提取与扩展窗口估计方案的动态多准则决策分析(MCDA)框架。该方法将面板数据结构化为三阶张量，并从每个备选方案-准则对的滚动窗口中提取三个时间序列特征——线性趋势、均值和标准差。这些特征作为决策矩阵的独立维度被保留。在每个目标年份，基于截至该年份累积的信息计算标准化边界、熵权(Entropy Weights)和理想解，从而避免前瞻偏差。一个预热阈值(Burn-in Threshold)可防止早期不可靠的估计，而补充诊断措施则评估权重的收敛性以及对窗口宽度的敏感性。该方法生成一个动态得分矩阵，以反映每个备选方案相对位置随时间演变的轨迹。该框架被应用于ND-GAIN国家指数，该指数包含2000年至2024年间152个国家的数据。动态排名展示了高表面效度，对窗口宽度和预热阈值的选择具有几乎完美的鲁棒性，熵权迅速收敛，并且对备选方案集合的变化也具有鲁棒性。广泛的稳健性检验——包括蒙特卡洛权重不确定性分析、与替代加权方法(CRITIC、基于标准差、等权重)和聚合方法(VIKOR)的比较，以及针对动态TOPSIS-熵法(Dynamic TOPSIS-Entropy)和滚动窗口变体的基准测试——证实了研究结果对加权和聚合策略的选择不敏感。该方法论不局限于特定领域，为动态绩效评估提供了一种透明且诊断丰富的工具。
**论文解读：一种新颖的扩展窗口张量TOPSIS (EWTT)方法用于国家动态可持续性排名**
**研究背景、问题与意义**
在多变的世界中，评估一组备选方案（如国家、企业）随时间变化的绩效是多准则决策分析(Multi-Criteria Decision Analysis, MCDA)领域的一项基础挑战。经典的TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)方法及其多数扩展方法本质上是静态的，它们仅基于某一时间点的数据快照进行评估，忽略了备选方案绩效随时间演变的轨迹与波动性。为应对这一需求，动态多属性决策(Dynamic Multi-Attribute Decision Making, DMADM)领域应运而生。然而，现有动态方法主要存在两个问题：一是将时间主要视为一个额外的加权维度，通过加权平均算子聚合各期得分，未能显式地建模每个准则时间序列的结构性特征（如趋势、波动）；二是选择估计窗口（如扩展窗口或滚动窗口）及其对最终排名的影响很少被探讨。此外，在动态环境下，权重和排名可能因备选方案集合的变化或权重结构的变动而产生不稳定，即经典的排名逆转问题(Rank Reversal Problem)。为填补这些研究空白，本研究提出了一种名为扩展窗口张量TOPSIS (Expanding-Window Tensor TOPSIS, EWTT)的整体性方法论，它整合了张量数据表示、时间序列特征提取、扩展窗口估计以及全面的稳定性诊断，旨在为动态绩效评估提供一个透明、稳健且诊断丰富的工具。该论文发表在《Mathematics》。
**主要关键技术方法**
研究人员为开展此项研究，主要采用了以下关键技术方法：首先，利用**张量代数工具**将面板数据（152个国家，2000-2024年，来自ND-GAIN国家指数）构建为**三阶张量**（备选方案×准则×时间）。其次，应用**时间特征提取**技术，从每个备选方案-准则对的滚动窗口中提取线性趋势、均值和标准差三个特征，并将其作为决策矩阵的独立维度。核心方法在于**扩展窗口熵权计算**，即在每个目标年份，仅使用截至该年份累积的窗口数据重新计算标准化边界、熵权(Entropy Weights)和理想解，从而避免前瞻偏差。此外，还设置了**预热阈值**以防止早期估计不稳定，并采用多种**稳健性检验**，包括蒙特卡洛权重不确定性分析、与替代加权（CRITIC、基于标准差、等权重）和聚合（VIKOR）方法的比较，以及针对动态TOPSIS-熵法和滚动窗口变体的基准测试。
**研究结果**
**4.2. 动态可持续性排名**
通过应用EWTT方法，研究人员生成了152个国家从2006年至2024年的动态得分矩阵。结果显示，排名前列的由高收入的欧洲和东亚经济体主导，如挪威和芬兰始终位居前列；而排名末尾的则是厄立特里亚、刚果和海地等高度脆弱、准备度低的国家。研究还发现，顶尖国家（前十名）的平均得分从2006年的0.746提升至2024年的0.773，而底部国家（后十名）的平均得分基本持平（0.265 vs. 0.262），表明可持续性差距随时间扩大。
**4.3. 稳健性检验**
- **4.3.1. 权重稳定性与诊断**：通过监测相邻时间段间权重的最大绝对变化，研究发现熵权在预热期后迅速收敛，说明动态得分的演变主要由国家绩效的真实变化驱动，而非模型参数的变化。
- **4.3.2. 对窗口长度 (W) 的敏感性**：通过重复EWTT过程并计算不同窗口宽度下排名的斯皮尔曼(Spearman)秩相关系数，发现平均相关系数为0.9955，表明排名对窗口宽度的选择具有近完美的鲁棒性。
- **4.3.3. 对预热阈值 (B) 的敏感性**：通过比较不同预热阈值下的排名，发现斯皮尔曼相关系数均为1，表明排名对该参数选择不敏感。
- **4.3.4. 对备选方案变化的敏感性**：通过同时移除排名前、中、后各一个国家的留多法(leave-multiple-out)测试，发现原排名与缩减样本后的排名几乎无差异（斯皮尔曼相关系数为0.9999），表明该方法对备选方案集合的变化高度鲁棒，有效缓解了排名逆转问题。
- **4.3.5. 与静态张量TOPSIS的比较**：将动态排名与静态张量TOPSIS排名进行比较，发现两者高度相关，但动态方法能捕捉到静态方法无法揭示的近期趋势信息。例如，土耳其因近期表现优于其长期平均水平而在动态排名中提升23位。
- **4.3.6. 权重不确定性分析**：通过蒙特卡洛模拟扰动熵权向量，发现扰动后的排名与基准排名的平均斯皮尔曼相关系数为0.972，验证了排名对权重不确定性的高度稳健性。
- **4.3.7. 对加权方法的敏感性**：用CRITIC权重替代熵权后，两种方法下的2024年排名高度相关（斯皮尔曼相关系数为0.96），表明排名对客观加权方法的选择大致稳健。
- **4.3.8. 对加权与聚合方法的敏感性**：通过比较包括熵权、CRITIC、基于标准差、等权重以及TOPSIS、VIKOR在内的八种方法组合，发现所有方案的排名结果高度一致，最低的斯皮尔曼相关系数也达到0.91，证明结论对具体方法选择不敏感。
- **4.3.9. 与滚动窗口EWTT的比较**：将EWTT的扩展窗口设计与其滚动窗口变体进行比较，发现两者排名整体高度一致（平均斯皮尔曼相关系数为0.96），但在经济危机等结构性突变时期，滚动窗口因对近期发展更敏感而出现差异，这体现了扩展窗口（稳定性）与滚动窗口（响应性）之间的权衡。
- **4.3.10. 与动态TOPSIS-熵法的比较**：与动态TOPSIS-熵法基准进行比较，发现两者排名几乎一致，但EWTT因避免了前瞻偏差并提供了内置诊断而具有优势。
**结论与讨论**
本研究提出的EWTT方法通过构建动态得分矩阵，有效反映了每个备选方案随新数据累积而演变的相对位置。其扩展窗口设计和预热阈值明确排除了前瞻偏差，并通过提供全面的稳定性诊断，确保了评估结果的可靠性。该方法在ND-GAIN国家指数上的应用证明了其实际价值，它能够区分持续改善的国家（如中国、土耳其）和停滞不前的国家，为政策制定者提供了超越传统静态排名的前瞻性视角，有助于分配气候适应融资和发展援助。同时，该方法还具有通用性，可应用于其他需要动态绩效评估的领域。
**研究结论部分翻译**：
“在本研究中，我们提出了EWTT方法，一种动态MCDM框架，该框架将面板数据建模为三阶张量，从每个准则的时间序列中提取趋势、均值和标准差特征，并根据扩展的信息集计算时变熵权。与产生单一、静态排名的标准TOPSIS应用相反，所提出的方法生成了一个完整的得分矩阵，反映了每个备选方案随着新观测值的积累而不断演变的相对位置。扩展窗口设计和预热阈值明确排除了前瞻偏差。该方法将时间序列特征视为决策问题的独立维度，从而捕获了在静态分析或仅通过聚合算子建模时间的动态方法中未呈现的信息，即变化方向、短期稳定性和近期势头。”
