《Results in Engineering》：Flexural modulus of sandwich structures through homogenisation:dynamic virtual fields versus quasi?static RJS method
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一种经典的基于虚位移场的技术（虚位移场方法，VFM），通常应用于纯弯曲条件下的薄复合板（可忽略剪切变形），可以通过均匀化概念估计挠曲模量。该方法利用非破坏性模态分析获得的数据。RJS方法（Rodrigo José da Silva法）能够通过均匀化概念表征
一种经典的基于虚位移场的技术（虚位移场方法，VFM），通常应用于纯弯曲条件下的薄复合板（可忽略剪切变形），可以通过均匀化概念估计挠曲模量。该方法利用非破坏性模态分析获得的数据。RJS方法（Rodrigo José da Silva法）能够通过均匀化概念表征夹层板的挠曲模量，但采用破坏性弯曲试验。通过将基于准静态纯弯曲的理论挠曲模量值与弯曲试验获得的实验数据进行比较，RJS方法评估了剪切变形的程度，揭示了夹层板对剪切效应的敏感性。RJS方法表明，在纯弯曲条件下实验值与理论值一致，而随着剪切变形的增加，实验挠曲模量值降低；此外，板的尺寸取决于芯材的剪切刚度，在纯弯曲行为中起着重要作用。为更好地理解通过均匀化概念估计夹层结构挠曲模量如何受到剪切变形的影响（通过破坏性和非破坏性方法），本文档首次尝试在不修改理论公式的情况下，将原始VFM技术应用于夹层板的表征，并将这些测量结果与RJS方法获得的结果进行比较。首先，研究人员对两种不同的薄壁夹层板（铝蒙皮和聚合物芯材）进行了实验和数值模态分析，板尺寸根据RJS方法应呈现纯弯曲行为。基于实验数据的结果表明，与文献中三点弯曲破坏性试验的数据相比，VFM估计的挠曲模量误差小于1%。此外，研究人员还采用一组不同板尺寸的数值模拟，以评估在将VFM应用于较厚的夹层板（铝蒙皮和轻木芯材）时，剪切变形如何影响挠曲模量测量。结果表明，与RJS方法类似，在弯曲作用下剪切变形不可忽略的尺寸条件下，VFM也给出低估的挠曲模量值。然而，由于结构动态与静态行为之间的内在差异，VFM对剪切的敏感性较低，挠曲模量的低估幅度也较小。最后，通过对铝蒙皮和蜂窝芯材夹层板的有限元分析（FEA）模态分析，VFM的适用性也在具有非整体芯材的夹层结构中得到验证。总体而言，对于所有建议夹层板在理想纯弯曲条件下的模拟数据，VFM的应用表明动态挠曲模量可能轻微高估通过破坏性RJS方法获得的准静态值，偏差范围在5%至12%之间。补充数据用于支持分析，该研究为基于均匀化的夹层结构挠曲模量估计提供了一个经过验证的框架，弥合了破坏性与非破坏性方法之间的差距。
## 论文解读文章
### 研究背景与问题
夹层结构由两层高强度薄蒙皮与轻质厚芯材组成，在航空航天、土木建筑和交通运输等领域具有广泛的应用前景。准确表征夹层板的挠曲模量（flexural modulus）对于工程设计和安全评估至关重要。传统的挠曲模量表征方法多依赖准静态弯曲试验，如三点弯曲和四点弯曲，这些方法属于破坏性测试，需要制备特定尺寸的试样，且试验后试样无法继续使用。非破坏性测试（non-destructive testing, NDT）技术，尤其是基于振动和结构动力学的模态分析方法，因其不损伤结构且能提供全局力学性能信息而受到广泛关注。
Grédiac和Vautrin于三十年前提出了虚位移场方法（Virtual Fields Method, VFM），这是一种基于虚功原理的非迭代方法，用于识别各向异性薄板在弯曲条件下的弹性参数。Grédiac和Paris随后将该方法扩展到自由-自由边界条件下薄板的模态分析，通过结合不同的振动模态形状和虚拟场，建立方程组求解刚度矩阵。原始VFM的核心假设是纯弯曲变形机制，即忽略横向剪切变形，适用于厚度比（宽厚比）较大的薄板。然而，夹层结构中的芯材刚度通常远低于蒙皮，即使板的面内尺寸满足薄板条件，也可能发生显著的剪切变形，这为原始VFM直接应用于夹层结构带来了根本性的挑战。
此前文献中的VFM应用均通过修改控制方程、显式引入横向剪切项来适应夹层结构的行为，偏离了原始VFM的Kirchhoff-Love假设。目前尚无研究系统性地评估夹层结构是否能在不修改公式的情况下满足原始VFM的纯弯曲假设。这一空白构成了本研究的主要动机。RJS方法（Rodrigo José da Silva法）的研究表明，当试样几何条件满足一定要求时，夹层材料在三点弯曲和四点弯曲下可表现出薄板行为，即纯弯曲变形占主导。该方法的增强版本进一步指出，纯弯曲行为取决于芯材剪切刚度与面板整体弯曲刚度的相对关系。基于RJS方法的研究成果，研究人员提出假设：当夹层结构满足纯弯曲条件时，原始VFM无需修改即可用于表征其动态挠曲模量，且该动态模量应与准静态测试获得的模量一致。
### 研究目的与意义
本研究旨在首次将原始VFM直接应用于夹层板，通过非破坏性模态分析估计挠曲模量，并与基于RJS方法的准静态弯曲测试结果进行对比，以回答三个核心问题：（I）满足准静态纯弯曲假设的几何和材料条件是否同样满足原始VFM的要求；（II）在满足条件时，原始VFM获得的动态挠曲模量是否与RJS方法预测的准静态值一致；（III）偏离纯弯曲条件（如剪切效应）如何影响原始VFM在夹层结构中的测量精度。
### 关键技术方法
本研究采用数值与实验相结合的方法。数值模态分析使用ABAQUS?软件，对ACM（铝塑复合板，Aluminium Composite Material）PE和FR两种面板（尺寸为270×360 mm2）进行特征值求解，采用Lanczos特征求解器，单元类型为S4R。实验模态分析中，通过信号发生器产生白噪声激励，经功率放大器驱动激振器（TIRA TV 51110-M），采用激光多普勒测振仪（Polytec OFV-503）逐点测量振动响应，频率响应函数（FRF）由VibSoft?软件处理，模态参数由ME'ScopeVES?软件提取。VFM方程求解基于低阶有限差分和梯形法则，采用最小二乘法。模式形状通过模态保证准则（MAC）进行比较，统计比较采用单样本t检验。对于铝蒙皮-轻木芯夹层板（12 mm厚），采用三维实体单元（SC8R和C3D8R）模拟。对于蜂窝芯夹层板，使用S4R单元，并按照ASTM C273标准通过FEA模拟获得芯材剪切模量。
### 研究结果
#### 3.1 数值模态分析结果
对ACM PE和ACM FR两种面板的有限元模拟表明，两者的模态形状非常相似，但ACM PE的自然频率更高，这归因于其更高的刚度（静态挠曲模量：ACM PE为30.96 GPa，ACM FR为23.62 GPa）。感兴趣的模态（tor、fleX和fleY）分别为第1阶、第4阶和第2阶模态。值得注意的是，第3阶和第4阶模态的自然频率非常接近，ACM PE中第3阶频率为第4阶的99.73%，ACM FR中为98.57%，这解释了实验测量中难以同时检测这两种模态的原因。
#### 3.2 实验模态分析结果
实验模态分析获得的六阶模态形状与数值模拟结果高度一致，除第6阶模态（MAC≈0.88）和第3、4阶耦合模态外，大多数模态的MAC值均大于0.95。模拟与实验自然频率之间的绝对误差均小于8.4%。第3阶和第4阶模态的耦合在ACM FR中更为显著，对后续VFM计算中与第4阶模态相关的E1常数产生不利影响。
#### 3.3 VFM结果及与文献数据的统计比较
将实验模态数据应用于原始VFM后，ACM PE板的动态挠曲模量为E1=32.93 GPa、E2=32.01 GPa，ACM FR板为E1=20.56 GPa、E2=23.78 GPa。统计比较表明：对于E2方向，ACM PE的VFM结果与文献静态值（30.96 GPa）几乎无差异（误差+6.36%），ACM FR的E2值与静态值（23.62 GPa）非常接近（误差+0.68%）。然而，E1方向的误差较大，ACM PE为+6.36%，ACM FR为?12.96%。该偏差主要归因于第3阶（扭转模态的第二形式）与第4阶弯曲模态在实验测量中的耦合效应，导致VFM错误检测出面内各向异性（D??、D??非零）。将VFM应用于模拟数据时，D??≈S??≈S??≈η??≈η??≈0，证实了ACM板的面内各向同性，表明实验中的虚假各向异性确实源于模态耦合。
#### 3.4 剪切对VFM结果的影响
对铝蒙皮（1 mm）和轻木芯（10 mm）构成的12 mm厚夹层板的数值模态分析表明，VFM同样对剪切变形敏感，在剪切不可忽略的尺寸条件下，VFM给出的挠曲模量低于纯弯曲理论值。然而，VFM对剪切的敏感性低于准静态弯曲测试。当准静态弯曲测试仅提供约15%的纯弯曲量时，VFM的高估幅度约为100%。VFM在200 mm弯曲长度下即可提供约95%的纯弯曲量，而准静态测试需要520 mm的跨距才能达到相同的纯弯曲比例。在接近准静态纯弯曲的条件下，VFM仍比RJS方程预测值高约6%至12%。这一差异源于动态分析与静态分析的本质区别：动态模态分析中惯性力主导响应，剪切对全局刚度的贡献较不显著，模态形状呈现更平滑、更全局化的变形模式。
#### 3.5 非单块芯材面板的VFM
对铝蒙皮（0.25 mm）和蜂窝芯（5 mm蜂窝尺寸，0.1 mm壁厚）构成的5.5 mm厚夹层板的数值模态分析表明，VFM对非单块芯材结构的适用性良好。动态挠曲模量约为18.6 GPa，与RJS方法预测的准静态值（约17 GPa）相比，高估约11%至12%，该偏差与具有单块芯材的夹层结构（轻木芯）及ACM板的模拟数据结果一致。
### 讨论与结论
原始VFM作为一种无损表征技术，在满足特定几何条件时可高精度识别夹层结构的等效挠曲模量。这些几何条件与RJS方法中提出的弯曲长度相关，取决于芯材剪切刚度相对于面板整体弯曲刚度的比例。基于实验模态分析，原始VFM对ACM板的挠曲模量估计误差小于1%（E2方向），而E1方向的较大误差归因于模态耦合效应，可通过调整板的宽长比或预先进行FEA来减轻。总体上，VFM为减少试样数量提供了一种非破坏性替代方案。在剪切主导条件下，VFM对剪切变形的敏感度低于准静态弯曲试验，给出的挠曲模量低估幅度较小，但仍无法完全避免低估。在纯弯曲条件下，基于FEA数据的VFM动态挠曲模量比准静态值高约5%至12%。VFM同样适用于非单块芯材结构，如蜂窝芯夹层板。然而，对于具有极低刚度芯材或极厚芯材的夹层结构，达到纯弯曲所需的板尺寸可能过大，使常规实验室中的模态分析难以实施。未来研究应关注模态解耦准则的建立、材料阻尼对动态模量的影响、VFM的动态临界跨厚比定义、非对称夹层结构的数学适应以及结构化芯材的均匀化方法。
