综述：双极型晶体管热阻从直流测量实验提取技术的批判性综述——第三部分：利用基极电流的方法

《Electronics》：A Critical Review of Techniques for the Experimental Extraction of the Thermal Resistance of Bipolar Transistors from DC Measurements—Part III: Approaches Exploiting the Base Current

　　

本工作构成了一项全面的三部分研究的第三部分，该研究批判性综述了利用简单直流电流/电压测量间接提取双极型晶体管中热阻的技术。第一部分关注基于温度计的方法，第二部分考察了依赖特性曲线交点的方法，本文主要研究利用基极电流的技术。通过将这些技术应用于通过电路仿真获得的直流电热特性来评估其准确性，电路仿真采用了一种内部晶体管模型，该模型包含了非线性热效应，并将提取的热阻数据与模型中嵌入的公式进行比较。采用InGaP/GaAs异质结双极型晶体管（HBT）和用于高频应用的Si/SiGe HBT作为案例研究。分析强调了所考察方法的准确性、优势和局限性，讨论了理论近似和物理机制的影响。此外，在同一仿真框架下对Menozzi等人提出的解析方法进行了批判性评估。总体而言，结果表明，所考察的技术中没有一种能提供普遍适用、直接且稳健的提取流程，因为每种技术都涉及理论假设和/或实际限制，这些假设和限制限制了其有效性范围、数值稳健性或易用性。最后，总结了本研究所有三个部分的发现，并提供了实用指南，以支持提取技术的选择和正确应用。

1. 1.
   引言
   电热（ET）效应已成为现代高速双极型晶体管中的主要设计问题，无论采用何种半导体技术。强ET反馈的不利后果包括：在单指器件中，ET效应改变I_B-V_BE特性，使直流偏置偏移并缩小安全工作区；在多指器件中，指间的自热和相互热作用会导致电流抢夺，进而降低性能，严重时造成不可逆失效；双极型技术中模拟电子构建模块的特性发生改变，影响其性能；单个器件的小信号低频响应可能恶化；截止频率因高温下载流子散射率增加而降低；在射频功率放大器中，邻近器件间的热相互作用会改变增益压缩，引入记忆效应，并降低发射信号的线性度。
   ET效应的严重性在过去几十年中日益显著，这是为提升器件和电路性能而采用的多种技术趋势的必然副作用。首先，晶体管被有意工作在 progressively 更高的电流（从而更高的功率）以改善高频行为。同时，各种技术相关因素导致高热阻的出现。例如，GaAs基HBT（如InGaP/GaAs和AlGaAs/GaAs）由于以下原因遭受高热阻：（i）GaAs衬底相比硅具有低热导率，（ii）台面隔离引起的横向热限制，以及（iii）层间介电膜的存在。在用于毫米波和近太赫兹应用的Si/SiGe HBT中，热阻由于专注于提升频率性能的技术策略而迅速增加，这些策略包括：（i）采用氧化物浅/深沟槽并减小本征晶体管与沟槽的间距，这削弱了从功耗区向外的横向热传播；（ii）发射极的水平缩放，主要旨在减少寄生效应，但在给定功率下导致更高的功率密度。这些因素使得单指Si/SiGe HBT的热阻达到数千K/W的范围。
   实验确定单个双极型晶体管的热阻至关重要，因为这可以改善用于计算机辅助设计仿真的紧凑器件模型中的自热描述。基于直流电流/电压测量的间接热阻提取技术非常流行，因为其简单且所需设备成本效益高，这与直接方法（依赖红外成像和液晶）以及间接低频交流或脉冲方法形成对比。
   文献中出现了大量提出间接直流提取技术的论文。为了本综述的目的，将其分类为以下类别：
   • •
     由温度计辅助的技术，即温度敏感电参数（TSEP），通常是基极-发射极电压V_BE与基极-发射极结平均温度T_J之间的关系。
   • •
     利用特性曲线交点的方法。
   • •
     利用基极电流I_B的技术。
   • •
     一种依赖解析假设的技术，允许对非线性热效应进行全面评估。
     尽管已有一些论文试图调和、综述和比较用于提取双极型晶体管热阻的间接直流技术，但其覆盖范围仍然部分；例如，文献中的综述主要旨在比较方法的实际适用性。因此，研究人员开展了一项全面的三部曲研究，以更深入地考察提取技术。这一目标通过同时提供统一的理论框架、对原始方法的严格重新推导以及对它们的详细批判性讨论来实现，突出了优势、基本假设和局限性。更具体地说，提取准确性和数值稳健性的定量评估是通过将这些技术应用于直流ET器件特性来进行的，这些特性是通过电路仿真内部晶体管模型获得的，该模型嵌入了已知的热阻公式。此外，作为这项工作的副产品，管理HBT的ET行为的所有主要方面都得到了详尽阐明。
     第一部专注于温度计辅助技术，第二部处理基于交点的方法。在这最后一篇论文中，研究人员进一步扩展了这项工作，分析了利用基极电流的方法。此外，尽管标题可能暗示，研究人员还对Menozzi及其同事开发的技术进行了批判性评估，该技术并不完全适合这三部分研究中所涉及的三个主要类别中的任何一个。
     本文的其余部分结构如下：第2节提供广泛的理论背景，包括热阻的定义、管理非线性热效应的物理解释以及对其进行建模的最准确策略的描述。第3节简要回顾被测器件的一些重要特征，并概述了用于生成合成数据的基于电路的仿真方法，这些数据用于评估所分析技术的准确性，从而实现客观和严格的比较。值得注意的是，第2节和第3节中提出的理论发展紧密遵循三部曲第一部和第二部中的相应讨论；这一深思熟虑的选择是为了确保本论文尽可能自成一体。第4节以教程式的概述介绍了依赖基极电流的技术背后的原理，使用统一的命名法，阐明了它们的局限性和近似性。然后将这些技术应用于被测器件的仿真特性，并讨论结果。第5节深入探讨了Menozzi等人提出的方法。第6节综合了整个三部曲的主要发现，并为选择最合适的间接直流提取技术提供了实用指南。最后，结论在第7节中给出。
2. 2.
   热阻：理论背景
   如第1节所述，描述电子器件中静态热移除的最重要的参数是（自热）热阻R_TH，它是组件将热量从功耗区（以下简称为热源）传递到环境的能力的指标。具体针对双极型晶体管，R_TH定义为R_TH = (T_J - T_B) / P_D，其中T_J是基极-发射极结上的平均温度，T_B是衬底背面的温度（由热电冷却器或加热器设定），P_D是耗散功率，由P_D = V_CEI_C + V_BEI_B给出，其中I_B、I_C和I_E是基极、集电极和发射极电流，V_BE、V_CE和V_CB是基极-发射极、集电极-发射极和集电极-基极电压。
   热阻又取决于（i）器件和热源的几何形状，（ii）热量从热源耗散所穿过材料的热导率，以及（iii）边界条件。具有水平和/或垂直缩放热源的晶体管遭受更高的R_TH，因为在相同的P_D下，功率密度更高，因此T_J也更高。类似地，采用低热导率的材料会阻碍热流，从而导致R_TH增加。
   此外，必须考虑到晶体管中热流穿过的材料的热导率κ随温度升高而降低，从而降低了热传递效率。热诱导的κ退化在热传导方程中引入了非线性，由此产生的效应被称为非线性热效应。器件温度通过两种不同的物理机制增加：（i）背面温度T_B的升高（由于背面温度引起的非线性热效应），在无功率耗散的情况下；（ii）耗散功率P_D的增加（非线性自热效应）。因此，R_TH是T_B和P_D的单调递增函数，应更恰当地表述为R_TH(T_B, P_D)，其中对T_B和P_D的依赖性隐含地来自κ随温度升高而降低。
   令T₀为用作参考的温度，在分析中等于300 K。此后，R_TH0将传统上表示双极型晶体管在T₀和非常低的P_D下的热阻（理想情况下对于P_D→0，即不存在非线性自热效应）。本质上，R_TH0是如果所有材料的热导率理想地等于其T₀值时晶体管的热阻。
   在文献中，使用了以下理论方法来解释这两种非线性热效应。任意T_B在250至450 K范围内的低功率热阻R_THL(T_B)（由于背面温度引起的非线性热效应）可以表示为R_THL(T_B) = R_TH0 [1 + α (T_B - T₀)]，其中α（>0）是无量纲拟合参数。由于P_D增加引起的热阻进一步增长（非线性自热效应）可以通过调用Kirchhoff变换来解释，得到R_TH(T_B, P_D) = R_THL(T_B) / [1 - α R_THL(T_B) P_D / (T_B + 1/α)]，其中α是应用于上述公式的相同参数。使用第一个表达式在第二个中，获得了R_TH的最终表达式。
   这种方法也可以被称为单半导体假设，因为它隐含地认为器件均匀由一种半导体组成，其热导率遵循κ(T) = κ(T₀) / [1 + α (T - T₀)]，其中α是拟合参数。广泛的数值调查验证了单半导体假设对于InGaP/GaAs和Si/SiGe HBT技术的正确性。因此，这种方法也将用于以下分析。
   必须考虑到许多论文在上述公式中使用环境温度T_A代替衬底背面温度T_B。这是合理的，因为在低功率耗散下，器件温度均匀，并紧密遵循外部施加的边界条件——无论是热电冷却器设定的背面温度，还是当没有主动热控制时周围环境的温度。
3. 3.
   器件与测试方法
   3.1. 被测器件
   分析在两种NPN HBT技术上进行：一种是台面隔离的InGaP/GaAs NPN HBT，具有四个2×20.5 μm²发射极指，由Qorvo制造；另一种是Si/SiGe NPN HBT， drawn 发射极面积为0.2×2.8 μm²，由Infineon Technologies AG在欧洲项目DOTFIVE框架下制造。选择这些技术是因为它们与传统的Si双极结型晶体管（BJT）相比遭受显著的ET效应，后者仅用于低成本低频应用。被测器件的最重要参数列于表1和表2中。
   这些案例研究被故意选择，因为它们表现出显著不同的电气和ET特性，包括电流增益、击穿电压、峰值截止频率、热阻和整体自热行为。此外，三部曲的第一部和第二部中一致使用相同的器件，以确保所有研究的提取技术之间的直接比较。值得注意的是，本工作中开发的大多数理论考虑预计适用于其他双极型晶体管技术，前提是各个提取技术背后的假设仍然有效。

3.2. 方法

两种被测器件的直流行为通过研究人员内部开发的解析模型来描述。该模型简单、足够准确，并实现了低工作量的参数提取过程，从而确保整个研究的高度灵活性。此外，它考虑了影响正向有源模式的所有物理机制，即高电流（Kirk、电阻）效应、Early效应、由于连续碰撞电离事件引起的雪崩倍增，并包括所有温度敏感参数的温度依赖性。

该模型在流行的PSPICE电路仿真器中作为子电路实现，连接到热反馈块（TFB），其中ET反馈通过调用热等效欧姆定律来解释：温度升高是电压降，耗散功率是电流，热阻是电阻。

子电路使用标准双极型晶体管实例作为核心组件，温度为T_J，除了集电极、发射极和基极端子外，还配备了一个额外的（输入）热节点和一个（输出）功率节点。热节点提供高于背面温度T_B的结温升（电压降），而功率节点提供耗散功率P_D（电流），根据公式内部计算。除了标准晶体管外，子电路还丰富了线性/非线性受控电压/电流源。这些被用于（i）考虑高电流、Early和雪崩效应，以及（ii）在仿真运行期间实现温度敏感参数的变化。

TFB基于实现上述R_TH表达式的非线性电压源，并连接到器件子电路的功率节点和热节点。给定耗散功率P_D，TFB计算温度升ΔT_J，该温度升被反馈到热节点，从而修改温度敏感参数。

换句话说，子电路和TFB的连接产生了基于热等效欧姆定律的ET晶体管模型，其解被委托给优化且稳健的PSPICE引擎，而不会遇到收敛问题。通过这种方法，可以非常简单地（i）监控任何感兴趣量的行为，例如端子处的电流/电压、耗散功率、结温、雪崩电流、正向电流增益、寄生电阻上的电压降，以及（ii）评估单个物理机制的影响。

模型的电参数及其温度依赖性，以及公式中的热阻参数R_TH0和α，针对两种被测双极技术进行了适当定制。具体而言，对于InGaP/GaAs HBT，R_TH0 = 464 K/W，α = 1.16×10^-3 K^-1；对于Si/SiGe HBT，R_TH0 = 7000 K/W，α = 1.1×10^-3 K^-1，这些值是根据COMSOL仿真活动仔细确定的。

然后，在PSPICE中进行晶体管模型的直流ET仿真，以模拟应用提取技术所需的实验电流/电压数据。将提取的R_TH结果与参考（或目标）数据进行比较，该参考数据来自嵌入晶体管模型的公式。这等同于向技术提供理想（无噪声）测量；因此，提取数据与参考之间的任何差异只能归因于所采用的提取技术的性质。使用基于已知目标公式的仿真电流/电压数据（也称为合成数据）的方法已应用于许多先前涉及双极型晶体管的论文。

应该强调的是，晶体管模型本身并不是本分析中的测试对象；相反，它作为一个受控的、定义明确的基准，用于评估提取技术的准确性。在其校准参数的统计合理范围内扰动它们将产生大量不同的虚拟晶体管，具有相应的不同直流特性。因此，从参数变化获得的不确定性包络会将器件间变异性与提取程序专门指示的误差混合，从而需要专门的特定框架来分离这两种贡献。然而，这项调查远远超出了这三部曲的范围。因此，两种HBT的晶体管模型的参数保留在其校准值。

1. 4.
   利用基极电流的实验R_TH提取技术分析
   在本节中，使用统一且可理解的命名法讨论依赖基极电流的提取技术。首先详细解释它们背后的理论；然后，将这些技术应用于通过被测器件晶体管模型的直流ET PSPICE仿真获得的合成电流/电压数据；最后将提取的热阻与晶体管模型中包含的目标公式进行比较。

4.1. Reisch和Tran等人

Reisch和Tran等人的技术在同一节中讨论，因为它们源自相同的理论框架。基极电流I_B的紧凑表达式为I_B = I_BS exp(V_BEi / (n_B V_T))，其中V_BEi是内部（结）基极-发射极电压，n_B是理想因子（假设与偏置和温度无关），V_T是热电压（k_B是玻尔兹曼常数，当能量以eV表示时为8.617×10^?5 eV/K），前置指数系数I_BS取决于温度，因为发射极中空穴扩散率D_pE和同一区域本征载流子浓度平方n_iE²的温度依赖性。V_BEi与外部施加（或可测量）的V_BE相关，V_BEi = V_BE - I_B (R_E + R_B)，其中R_E和R_B是准中性发射极和基极区域的寄生电阻，R_agg = R_E + R_B / (β_F + 1)，其中β_F是共发射极正向电流增益；R_E、R_B和R_agg为简单起见假设与温度无关。基于这些，I_BS与温度的关系通过n_iE² ∝ T³ exp(-(E_GE0 - ΔE_GE,BGN) / (k_B T))给出，其中E_GE0是将发射极带隙外推到0 K的值，ΔE_GE,BGN是高掺杂引起的带隙变窄（BGN），假设与温度无关。通过忽略D_pE的温度依赖性并利用该表达式，I_BS可以表示为I_BS(T) = I_BS(T₀) (T / T₀)³ exp(-(E_GE0 - ΔE_GE,BGN) / (k_B T) + (E_GE0 - ΔE_GE,BGN) / (k_B T₀))。

将I_B除以I_B0（可忽略自热下的基极电流），并利用上述表达式，得到[I_B - I_B0] / I_B0 = (T_J / T₀)³ exp(-(E_GE0 - ΔE_GE,BGN) / (k_B T_J) + (E_GE0 - ΔE_GE,BGN) / (k_B T₀)) - 1。在恒定V_BE和V_CE下对耗散功率P_D微分，并假设可忽略的非线性自热效应，即R_TH与P_D无关，得到dI_B / dP_D = I_B0 (E_GE0 - ΔE_GE,BGN) / (k_B T₀²) R_TH。重新排列后，R_TH可以表达为R_TH = (k_B T₀² / (E_GE0 - ΔE_GE,BGN)) (1 / I_B0) (dI_B / dP_D)，或等效地，R_TH = (k_B T₀² / (E_GE0 - ΔE_GE,BGN)) (1 / I_B0) (d[I_B - I_B0] / dP_D)，其中E_GE0和ΔE_GE,BGN分别是带隙及其变窄的电压等效值。

与上式相比，Reisch使用了以下近似：n_B = 1；忽略了(T_J / T₀)³项；此外，他通常写V_BG而不是E_GE0 - ΔE_GE,BGN，没有指定V_BG的性质。因此，该表达式简化为R_TH = (k_B T₀² / (q V_BG)) (1 / I_B0) (dI_B / dP_D)。最后，他认为dI_B / dP_D ≈ ΔI_B / ΔP_D，这适用于小ΔP_D。因此，他得到R_TH = (k_B T₀² / (q V_BG)) (1 / I_B0) (ΔI_B / ΔP_D)，这构成了该技术的理论基础。

提取程序实际应用如下：考虑在共基极或共发射极配置中工作的双极型晶体管，在正向有源模式下，恒定V_BE和V_CE，I_B在情况（i）中扫描，而V_CE在情况（ii）中扫描，I_B被限制在雪崩倍增可忽略的范围内。参考电流I_B0对应于可以假设自热非常低的偏置条件。导数dI_B / dP_D被计算为拟合I_B与P_D曲线直线部分的斜率，其中P_D0是对应于I_B0的偏置条件下的低耗散功率。

一些考虑事项：在公式右侧，R_TH（这是问题的未知量）似乎被假定等于某个值，尽管在原始论文中没有澄清。在Reisch的实现中，R_TH被隐式视为无自热参考电流I_B0。然而，虽然这个条件对于原始论文中考虑的低功率BJT可能是合理的，但它不适用于被测的HBT技术，因为在中等I_B偏置条件下，在I_B0处已经发生了明显的自热。因此，选择I_B0作为正向有源模式下最小耗散功率对应的基极电流。另一个模糊之处涉及公式右侧未指定的带隙能量V_BG，这显然被假定为已知；将证明V_BG值的选择将对提取的R_TH产生重大影响。提取程序需要识别I_B与P_D行为的线性部分，当自热发挥相关作用时，该行为不再线性。最后，该技术允许确定特定的R_TH值，即它并非旨在提取R_TH对T_B和P_D的依赖性。

对于InGaP/GaAs HBT，第一次提取在V_BE = 1.3 V和V_CE = 1.5 V下进行。选择V_BE = 1.3 V作为对应于参考电流I_B0的电压。对于带隙V_BG，从业者可能自然使用1.424 eV（GaAs在T₀的值）或1.91 eV（晶格匹配的InGaP在T₀的典型值）。对应于各种P_D范围的结果报告在表3中。可以推断主要影响来自V_BG。由于导致简化公式的近似以及较差的V_BG选择（实际上应该是外推到0 K的发射极带隙），该方法导致参考值464 K/W的不可接受的R_TH高估（使用1.424 eV）或低估（使用1.91 eV）。在V_BE = 1.35 V处重复提取得出类似结论。

对于Si/SiGe HBT，提取在V_BE = 0.75 V和V_CE = 1.0 V下进行。选择V_BE = 0.75 V作为对应于参考电流I_B0的电压。用户可能自然选择1.12 eV作为带隙。提取结果显示轻微高估参考值7000 K/W；然而，这些结果很可能是由于简化公式的近似补偿，如测试Tran及其同事的更准确方法时将显而易见的，因此它们不应被视为可靠。此外，必须强调，对于具有非常高热阻的Si/SiGe HBT，I_B电流可能非常小，并且重叠的测量噪声可能会对程序产生不利影响。

在Tran等人的工作中，改进了Reisch开发的技术。他们的公式给出为R_TH = (k_B T_J² / (q V_GE0)) (1 / I_B) (dI_B / dP_D)，其中V_GE0应更恰当地替换为E_GE0 - ΔE_GE,BGN。与完整表达式相比，忽略了项(T_J / T₀)³。值得注意的是，该公式是一个隐式方程，未知数为R_TH，因为右侧的T_J由R_TH给出。此外，R_agg = R_E + R_B / (β_F + 1)，因此该技术需要同时提取R_E、R_B和β_F。

关于寄生电阻的影响，作者忽略R_B，因此R_agg ≈ R_E，I_B表达式变为I_B = I_BS exp((V_BE - I_B R_E) / V_T)。定义I_B0R为无电阻基极电流，由I_B0R = I_BS exp(V_BE / V_T)给出。将I_B0R除以I_B表达式给出I_B0R / I_B = exp(I_B R_E / V_T)。取两边对数，ln(I_B0R / I_B) = I_B R_E / V_T。

关于程序的实际应用，同时提取R_E和β_F需要两个独立的测量：I_B和V_BE作为V_BE的函数在恒定V_CE下提取R_E（对于已知β_F）；I_B和V_BE作为V_CE的函数在恒定V_BE下提取β_F（对于已知R_E），其中V_CE跨越雪崩倍增可忽略的范围。

作为初始步骤，假设第一次测量产生等温数据。因此，ln(I_B0R / I_B) = (R_E / V_T) I_B。参数R_E和I_BS可以通过比较该式和PSPICE的I_B-V_BE特性在T₀和低电流水平下优化。计算I_B0R，绘制左边与I_B的关系，并确定曲线的斜率作为R_E。随后，该第一R_E估计被插入到R_TH公式中以提取R_TH。然而，该公式是局部微分表达式，明确包含结温T_J，其随耗散功率P_D根据R_TH定义变化；因此，R_TH必须针对扫描的V_CE逐点评估。原始论文没有澄清选择单个R_TH值用于后续步骤的标准；研究人员决定在提取的R_TH与V_CE行为保持近似线性的V_CE跨度内评估平均R_TH值。平均R_TH值随后用于通过R_TH定义评估T_J；T_J又用于根据温度依赖关系确定I_BS，并从无电阻基极电流公式确定I_B0R。因此，获得了ln(I_B0R / I_B)与I_B的更新行为，这允许提取改进的R_E；改进的R_E用于通过R_TH公式确定平均R_TH；该过程重复直到R_E和平均R_TH收敛。

这种迭代程序首先应用于InGaP/GaAs HBT。第一步被发现相当关键。虽然容易优化I_BS和V_T，但在选择V_BE以及定义I_B范围以评估左边与I_B的斜率时应特别小心。选择V_BE = 1.3 V，该斜率被发现为负，这与将其解释为发射极串联电阻R_E不一致。这是因为自热导致I_B显著增加，超过了由R_E引起的减少。因此，指定的V_BE降低到1 V。在这种情况下，在较低/中等I_B值下斜率被发现为正，但明显依赖于所选的I_B范围。从这些表明显提取的第一猜测R_E值远低于晶体管模型中嵌入的实际发射极电阻0.5 Ω。选择R_E = 0.1 Ω作为R_TH评估的初始猜测。

在Reisch程序中，PSPICE仿真通过在V_BE = 1.3 V和V_CE从0.5 V扫描执行。最小V_CE值被假定为1 V，此时P_D = 0.5 W。公式给出第一条迭代R_TH曲线；从该曲线，在中等自热出现的范围内任意选择平均R_TH值为2500 K/W，然后插入到公式中，其中I_BS由温度表达式给出。从左边与I_B的斜率，在I_B范围0.04至0.06 A内确定R_E为0.45 Ω，与实际值0.5 Ω密切一致。随后，公式产生第二条迭代R_TH曲线，从中计算平均R_TH值为2600 K/W。因此，迭代过程达到收敛。

在V_BE = 1.35 V处重复该程序，使用相同的R_E值。最小V_CE值被假定为0.7 V，此时P_D = 0.3 W。公式导致第一条迭代R_TH曲线；从中估计平均R_TH值为2800 K/W，然后馈入公式。从左边与I_B的斜率，评估R_E。然后公式产生第二条迭代R_TH曲线，从中计算平均R_TH值为2900 K/W。然后确定R_E为0.327 Ω，插入到公式中，给出第三条迭代R_TH特性。由于该曲线几乎与第二条重叠，迭代程序可视为收敛。

还通过分析ΔE_GE,BGN = 0和0.1 eV的情况确定了发射极中BGN的影响。获得了类似的R_TH值；不幸的是，发现（i）平均R_TH对ΔE_GE,BGN明显敏感，并且（ii）它在分析的V_CE范围内显著低估了目标R_TH。

对于Si/SiGe HBT，V_BE = 0.75 V，V_CE = 1.0 V。再次，在选择V_BE时需要小心；如果考虑PSPICE的I_B-V_BE特性在V_CE = 1.0 V，左边与I_B的斜率为负，因为在中等I_B值下发生了显著自热。相比之下，考虑V_CE = 0.5 V的曲线，斜率变为正。提取的R_E初始估计再次被发现显著依赖于所选的I_B范围。实际嵌入晶体管模型中的R_E为6 Ω。

从表6中的值，选择R_E = 5 Ω作为初始猜测。PSPICE仿真通过在V_BE = 0.75 V和V_CE从0.3 V扫描执行。最小V_CE值被假定为0.55 V，此时P_D = 0.05 W。在公式中选择V_GE0 = 1.21 eV，因为这是Si外推到0 K的推荐值。使用R_E = 5 Ω，获得第一条迭代R_TH曲线，从中估计平均R_TH并馈入公式；从左边与I_B的斜率，在I_B范围2至6 mA内获得R_E为6.1 Ω，接近实际值。在第二次迭代中，平均R_TH和R_E被确定为5614 K/W和6.33 Ω。输入R_E到公式中，发现第三次迭代R_TH特性几乎与第二次重合，表明迭代程序收敛。R_TH特性显著低估了R_TH0。

结果证实了在InGaP/GaAs HBT上获得的发现，总结如下：尽管迭代程序快速收敛，但该技术受到各种限制。首先，公式只是完整表达式的近似，因为忽略了与温度相关的项。其次，该方法涉及从R_TH曲线估计单个代表性R_TH值，而没有提供明确的选择标准。第三，该方法对要插入的发射极带隙外推到0 K的值表现出明显的敏感性；由于该参数通常先验不确定，因此提取程序的实用性和稳健性受到一定损害。

值得提及的额外限制：在选择要应用的V_BE以获得初始R_E猜测时应小心，以避免左边与I_B的斜率为负，这进一步影响程序的稳健性。在Si/SiGe HBT中，由于测量噪声影响其极小的基极电流，可能出现导致更高不准确性的实际困难。最后，该技术并非旨在提取非线性热效应，即背面温度T_B和耗散功率P_D对R_TH的影响。

4.2. Zweidinger等人

类似于Bovolon等人开发的温度计辅助方法，该技术依赖微分公式。忽略电阻效应，并考虑共发射极配置中的双极型晶体管，集电极电流I_C是V_BE、V_CE和T_J的函数。因此，在恒定V_CE条件下，其全微分可以写为dI_C = (?I_C / ?V_BE) dV_BE + (?I_C / ?T_J) dT_J。I_C在给定V_CE下随T_J变化，其中?I_C / ?T_J = I_C / V_A，V_A是正向Early电压；因此，dI_C = (I_C / V_A) dT_J。dT_J可能由恒定V_CE下的背面温度T_B的小变化dT_B引起，或者由恒定T_B下的V_CE变化dV_CE引起。在第一种情况下，dT_J = dT_B；在第二种情况下，dT_J = R_TH dP_D。

对于一阶分析，P_D近似为V_CE I_C，因此R_TH = ΔT_J / ΔP_D。从R_TH定义，由dP_D引起的小变化dT_J为dT_J = R_TH dP_D，由此得到?T_J / ?P_D = R_TH。此外，由dT_B引起的小变化dT_J为dT_J = dT_B，利用dP_D = I_C dV_CE + V_CE dI_C，得到?T_J / ?V_CE = R_TH I_C。

考虑基极电流I_B，在无电阻效应下，是V_BE和T_J的函数。在恒定V_BE条件下，其全微分可以写为dI_B = (?I_B / ?T_J) dT_J。如果dT_J由背面温度T_B的小变化引起，则dI_B = (?I_B / ?T_J) dT_B。如果dT_J由集电极-发射极电压V_CE的小变化引起，则dI_B = (?I_B / ?T_J) dT_J = (?I_B / ?T_J) R_TH I_C dV_CE。将第一式除以第二式，并利用上述关系，得到(?I_B / ?T_B) / (?I_B / ?V_CE) = 1 / (R_TH I_C)，由此R_TH = (1 / I_C) (?I_B / ?V_CE) / (?I_B / ?T_B)。该公式可用于任何双极型晶体管技术。对于传统Si BJT，其采用需要预先知道Early电压V_A；在HBT技术中，Early效应通常较弱，因此V_A → ∞。

该技术可以通过（i）在T_B、T_B + dT_B和T_B下测量三条特性曲线，通过扫描V_BE，其中dT_B足够低以安全忽略雪崩效应，（ii）在选择的V_BE处识别右边的三个I_B值，以及（iii）使用在T_B、T_B + dT_B和T_B处的I_B值来应用。

值得注意的是，尽管原始论文中没有澄清，该程序原则上可以在不同V_BE值处重复。只要耗散功率P_D相对较低，这将允许获得实验R_TH作为V_BE的函数。

该技术的一个主要限制涉及其固有的数值稳健性差。提取的R_TH对多个用户定义的量高度敏感，包括所选偏置点V_BE、用于数值微分的增量dT_B和dV_CE，以及用于重建该点电流的插值程序。由于即使在使用合成无噪声数据时也会出现这些问题，当该微分程序应用于实际实验数据时，稳健性预计会进一步恶化。

首先考虑InGaP/GaAs HBT在V_BE = 1.3 V和V_CE = 1.5 V下。增量dT_B和dV_CE最初选择为10 K和0.5 V，以确保对潜在测量噪声的敏感性和微分评估准确性之间的实际折中。选择V_BE = 1.3 V并执行极精细的形状保持插值以获得电流，公式给出的R_TH为约400 K/W，与参考值464 K/W比较。在附近工作点重复提取揭示了提取结果对V_BE的明显敏感性。还进行了步长敏感性调查。此外，为了评估方法对有限电流测量准确性的稳健性，进入公式的电流值在假定的不确定性范围内扰动，这允许确定最坏情况不确定性范围。结果总结在表7中。表清楚地显示，提取的R_TH对所选增量和测量电流的不确定性高度敏感。这种不良行为是该方法的微分性质的内在结果，其依赖于紧密间隔电流值之间的有限差分。一个关键发现是，减小dV_CE改善了有限差分近似的局部性，但同时减少了电流差，从而放大了测量不确定性的影响。总体而言，结果表明，没有唯一的偏置点和有限增量组合可以被视为最佳，这最终限制了该方法的实际可靠性。

该技术也应用于Si/SiGe HBT。在选择工作条件时需要特别小心，因为击穿电压低。选择V_BE = 0.82 V，V_CE = 1.0 V，dT_B = 10 K，dV_CE = 0.5 V。分配V_BE值并考虑准确的形状保持插值程序，提取的R_TH值约为5900 K/W，与参考值7000 K/W比较。考虑电流测量精度的影响进一步扩大了提取的R_TH范围。

4.3. Williams和Tasker

该技术可以被视为试图消除在不同背面温度下的测量。基极电流的一般表达式由公式给出。在较低/中等电流水平下，可以忽略项，表达式变为无电阻基极电流。如前所述，忽略空穴扩散率的温度依赖性并考虑本征浓度的依赖关系，I_BS可以表示为温度函数。Williams和Tasker将该表达式重写为I_BS(T) = I_BS(T₀) exp(-(?_B - V_T) / V_T)，即他们隐式忽略了项，写?_B（称为基极-发射极二极管的势垒高度）而不是E_GE0 - ΔE_GE,BGN，并可能定义?_B = (E_GE0 - ΔE_GE,BGN) / q。值得注意的是，近似等式仅在理想因子n_B足够接近1时可接受。

关于实际应用，Williams和Tasker建议（i）测量一组I_B特性在不同V_CE值下；（ii）处理数据以获得相应的V_BE与P_D曲线；（iii）对于