刚性流形——一种用于评估重载并联运动机器人的新方法

《ROBOTICS AND COMPUTER-INTEGRATED MANUFACTURING》：Stiffness manifold – a new evaluation method of heavy-load parallel kinematic robot

　　• 本文提出了一种基于黎曼流形几何的刚性评估方法，用于重载并联 kinematic 机器人（PKR）的刚性评估。该方法利用基于刚性流形的指数全面反映了变形空间的几何结构，能够自然地考虑方向耦合效应，并捕捉时变重载对机器人的影响。• 选择了6-PSSPKR的三种典型工作场景，基于刚性流形指数进行参数优化和实验验证。• 优化和实验结果显示，在不同载荷条件下，该方法能够将误差降低30%以上。

引言
近年来，并联运动机器人（PKR）由于其固有的优点（如高刚性、低惯量和高的负载重量比）而在工业领域得到了广泛应用。典型的应用包括并联机床[1,2]、拾放机器人[3,4]和成型机器人[5,6]。在这些应用中，刚性性能对于决定PKR的操作能力和应用范围至关重要，尤其是在重载条件下，可能会出现显著的弹性变形[7]。因此，刚性评估方法和有效的性能提升策略成为了PKR开发和应用中的关键研究课题[8]。作为PKR刚性评估中最基本的问题之一，许多学者研究了用于表示PKR刚性性能的刚性指数。到目前为止，提出的刚性指数主要分为两类：一类表示刚性性能的大小，另一类表示刚性性能的均匀性。

在表示刚性性能大小的指数方面，研究者们基于整体刚性/柔顺性矩阵提出了多种指数。为了评估PKR在整个运动空间中的刚性性能，李等人[9]使用了刚性矩阵的极值刚性（包括最小值、最大值和平均值）作为刚性指数，并成功评估了一个3-PUU平移PKR的刚性性能。Carbone等人[10]和Xi等人[11]分别提出了刚性矩阵和柔顺性矩阵的迹及其加权之和作为评估指标。在此基础上，又相继提出了解耦刚性指数[12]、最小特征值与最大特征值之比[13]以及刚性矩阵的条件数[14]。上述刚性评估指数因其计算简单性而被广泛采用。然而，它们仍然存在一些局限性，例如依赖于坐标系和维度不一致的问题。此外，由于这些指标基于特征值，特征值的不确定单位使得它们无法独立表征线性刚性和旋转刚性，导致物理意义不明确。为了解决这些问题，Gosselin等人[15]和Khan与Angels等人[16]提出了一种矩阵归一化方法。通过使用基于特征长度的归一化矩阵，可以得到刚性矩阵的尺度一致形式，从而确保平移刚性和旋转刚性项之间的一致性。然而，这种归一化方法引入了一个额外的参数，其选择缺乏明确的物理依据，而且得到的刚性评估结果会因选定的特征长度而大幅变化[7,17]。

鉴于上述结果严重依赖于特征长度的选择，Portman[18]提出了一种无需使用特征长度的刚度评估技术。此外，还可以通过从尺度不均匀的刚性矩阵中导出的Schur补阵的特征值直接进行刚性评估，从而获得统一的平移和旋转刚性值[19]。这种方法通过对机器人机械系统的平衡方程进行常规变换，将矩阵分解为两个尺度一致的子矩阵。Yang等人[20]提出了一个综合刚性指数（CSI），该指数考虑了刚性矩阵中非对角项的耦合效应。这个指数能够解耦线性和角刚性，并具有明确的物理意义。此外，还有一些基于能量的刚性性能指数被研究者提出，如虚拟功指数[21]、构型刚性指数[22]、瞬时能量指数[23]等。

在表示刚性性能均匀性的指数方面，最常用的指数通常是[13,24]为串联机器人操作器和PKR提出的条件数，它表示最大刚性值与最小刚性值之比。Zhao等人[25]提出了通过最大刚性值的平方与最小刚性值的乘积之比来表示刚性性能的均匀性指数。Guo等人[26]引入了局部各向同性刚性指数，定义为刚性矩阵的最大特征值与最小特征值之比。为了评估整个工作空间内的性能，他们提出了全局刚性均匀性指数，该指数为工作空间内观察到的最大各向同性指数与最小各向同性指数之比。Zhang等人[27]开发了一个完整的运动静力模型，考虑了执行器柔顺性、腿部弯曲柔顺性和腿部轴向柔顺性，并基于广义柔顺性矩阵迹的平均值和标准差提出了全局刚性指数。这些方法为全局刚性优化和设计比较提供了有效的标量度量。在此基础上，Chen等人[28]还考虑了最大/最小特征值之比以及由各方向弹性系数构成的椭球体积。他们对吸附机器人在处理大尺寸结构部件时的刚性和各向异性进行了性能评估。G?rgülü等人[29]提出了一个各向同性体积指数，用于评估R-CUBE并联机构的刚性性能，该指数定义为理想球体体积与由整体刚性矩阵的特征值和特征向量构成的椭球体积之比。

可以看出，许多学者对PKR的刚性评估指数进行了全面研究。然而，这些指数大多是通过直接对刚性或柔顺性矩阵进行数学操作得出的。通常情况下，这些矩阵的元素具有不同的测量单位，因此矩阵的迹、非零特征值、对应的特征向量或条件数都没有明确的物理意义[7,30]。此外，机构刚性设计的最终目标是提高其准确性。从这个角度来看，直接基于PKR的变形结果来评估性能显然是一种更直接和有效的方法。Wu等人[31]研究了具有驱动冗余的对称3自由度PKR，通过单位载荷下的最大变形Pmax来评估刚性性能。该指数是从(K?1)TK?1的极值特征值得出的，它量化了最坏情况下的柔顺性，其中较小的Pmax表示结构刚度更高。Fan等人[32]为并联机器人提出了一种基于组件的刚性增强方法，他们提出了一种新的刚性指数，该指数结合了连杆变形和关节间隙。他们的方法通过实际加工方向上的相对变形椭球来评估刚性，结果表明Tricept和A3-head机器人的刚性提高了18%-32%。然而，这些刚度分析和优化是基于预设的外部载荷条件，未能考虑时变重载对变形幅度和变形速率的影响。

近年来，黎曼几何的数学框架作为一种强大的工具，用于分析机器人机构和柔顺结构，提供了一种内在的、坐标不变的方法[33]。通过将PKR的高维配置空间建模为黎曼流形，可以系统地将几何和物理约束纳入对其运动学和动力学特性的评估中。Park等人[34]对包含主动和被动关节的全向多机器人系统的可操作性进行了微分几何分析。通过适当的黎曼度量选择，还可以自然地包含机器人系统和被操作物体的动态特性。Burdick[35]将自运动流形的概念引入机器人学领域，从全局而非瞬时的角度进行了冗余操作器的逆运动学分析。这项工作为流形理论在机器人路径规划和运动优化中的广泛应用奠定了基础。最近，Mari?等人[36]提出了一种基于黎曼优化的距离几何方法来解决机器人操作器的逆运动学问题。该方法将传统的关节角度参数化转换为距离几何表示，并通过低秩矩阵完成和黎曼优化技术高效求解。为了克服运动流形原语中的几何失真问题，将传统的参数曲线模型引入运动流形框架可以实现对轨迹的时间和空间调制[37]。这些黎曼流形的应用突显了微分几何与现代机构科学之间的深刻联系，提供了一种统一的视角来分析和优化复杂的机械系统[38]。

总之，目前的刚性性能评估方法通常依赖于从刚性矩阵派生的标量指数，如迹、行列式、条件数或主刚性分量[7]。虽然这些指数提供了关于并联机器人系统机械响应的有用信息，但它们往往忽略了平移自由度和旋转自由度之间的固有耦合，并且对坐标表示敏感。此外，这些方法主要是代数的，无法捕捉在不同外部载荷下变形响应的几何结构。虽然基于笛卡尔刚性矩阵得到的刚性椭球常用于局部性能可视化，但它们本质上提供的是点态和特定配置的信息。在重载成型应用中，刚性特性会随着配置和外部载荷的变化而显著变化，这迫切需要一个全局性和连续性的评估框架。在这种情况下，引入基于黎曼流形的刚性评估框架可以实现机器人变形行为的内在、坐标不变表示[33]。柔顺张量在刚性流形上定义了一个黎曼度量，曲率量（特别是标量曲率及其方差）可以用来表示刚性均匀性、各向同性和方向一致性。这些基于曲率的指数包含了变形场的全部几何信息，并自然地考虑了不同运动方向之间的耦合效应。此外，它们提供了一种自然的方式来可视化并在复杂载荷条件下量化刚性特性在工作空间中的变化。因此，基于黎曼曲率的刚性评估提供了一种更全面且物理意义更明确的机器人机械性能表征方法，特别是在涉及大范围时变外力的情况下。

在本文中，提出了一种基于流形内在几何的新型刚性评估框架，以解决在复杂和变化载荷条件下评估和提升PKR刚性性能的挑战。该方法通过基于保守一致变换（CCT）的全局柔顺性模型构建刚性流形，比传统的基于刚性矩阵的方法更有效地捕捉了内部刚性耦合效应和外部载荷变化[39]。标量曲率及其方差作为内在几何指数，用于表征变形的空间分布和变化。此外，还开发了一种基于NSGA-II的多目标优化策略，以优化不同工作场景下的PKR结构参数。通过理论计算和在6-PSS PKR上的物理成型实验验证了所提出方法的有效性，覆盖了三种典型的载荷条件。结果证明了该方法在提升刚性性能方面的准确性、鲁棒性和适应性，从而为高精度机器人加工应用提供了扎实的理论和实际基础。

本文的其余部分内容如下：第2节基于保守一致变换（CCT）刚性矩阵推导了PKR的柔顺性矩阵，并介绍了刚性流形的概念。第3节阐述了流形的几何属性与刚性指数之间的严格数学关系，以及基于刚性指数、尺度曲率和标量曲率方差的全局多目标刚性优化方法。第4节详细介绍了使用6-PSS/S PKR进行的数值研究，以及结果讨论。第5节展示了三个实验及其相应结果。最后，第6节对本文进行了总结。为了避免由于雅可比矩阵求逆而导致的计算误差，并保留外部交替重载对刚度矩阵的影响[42]，基于CCT刚度矩阵，推导出了一种适用于近奇异配置下重载条件下的PKR（多关节机器人）的保守一致性变换柔顺性矩阵。机器人刚度指数提供了在工作空间内任意加载条件下机器人柔顺性的几何描述。从该流形中得到的刚度指数量化了诸如极端刚度和各向异性等基本属性。通过将刚度建模为黎曼几何对象，所提出的公式能够捕捉连续的刚度变化和负载依赖效应。这使得在重载成形场景中进行全局性能评估和优化成为可能，超出了传统的运动学和工作场景限制。

如图6(b)所示，展示了6-PSS PKR的关节布局。Ai和Bi分别代表位于棱柱关节（P关节）上的下部球形关节（S关节）的中心位置，以及移动平台上上部S关节的中心位置；li是每个连杆的长度，表示下部S关节中心与移动平台上相应上部S关节中心之间的距离（AiBi，i = 1, 2, 3, 4, 5, 6）；h是...（此处原文部分缺失）。

根据评估指标和优化结果，最终制造出了一个成形载荷为6000 kN的6-PSS多自由度成形机原型，如图12所示。该机器主要由液压缸、底座和6-PSS PKR系统组成。PKR系统包括一个移动平台、一个固定床、六个滑块和六个连杆。每个连杆通过两个球形关节将滑块连接到移动平台上；六个滑块通过棱柱关节将它们连接到固定床上，并由...（此处原文部分缺失）驱动。

本文提出了一种基于黎曼流形的新型重载PKR刚度性能评估方法。该方法引入了一套更通用的刚度评估指标，有助于提高机器人在外部力干扰下的运动精度和鲁棒性。本研究的主要结论总结如下：
1) 提出了一种基于刚度流形概念的新型刚度性能评估方法，用于PKR。

作者贡献声明：
徐帅：撰写——原始草稿、验证、软件开发、方法论设计。
郑芳燕：监督、资金筹集、概念构思。
韩兴辉：监督、项目管理、资金筹集。
林华：监督、项目管理、资金筹集。
陈欣：可视化处理、验证。
龚航：验证、软件开发。

徐帅 | 郑芳燕 | 韩兴辉 | 林华 | 陈欣 | 龙航