人字齿轮整个齿啮合周期内载荷均匀性和振动行为的数值分析方法

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：A numerical approach for analyzing load uniformity and vibration behaviors over the entire tooth meshing cycle of herringbone gear

　　

摘要
不对称齿距偏差（APD）是人字齿轮副制造过程中不可避免的制造偏差，现有研究文献尚未对 APD 在整个齿啮合周期（ETMC）内对人字齿轮载荷分布、多源激励和振动特性的影响进行深入探索。此外，现有优化模型的目标函数大多设置为多源激励和振动加速度，缺乏能够平衡 ETMC 载荷均匀性性能和振动性能的优化设计方法。为解决这些问题，首先建立了人字齿轮的齿面接触分析（TCA）模型、增强型载齿面接触分析（LTCA）模型和啮合冲击力（MIF）模型。获取了 ETMC 的载荷分布系数（LDC）、载荷分布、综合啮合刚度（CMS）、轴向位移（AD）、综合啮合误差（CME）和 MIF。构建了考虑 ETMC 多源激励的人字齿轮系统动力学模型，并系统计算了模型中涉及的相关参数。推导了齿面修形（TSM）的通式，并建立了人字齿轮载荷均匀性与振动协同优化设计的数学模型。揭示了不同不对称齿距偏差（APD）下 ETMC 多源激励和振动特性的变化规律，并对比了 TSM 前后 ETMC 的振动特性。通过实验验证了所提方法的正确性和有效性。本研究为人字齿轮的载荷均匀性和减振设计提供了支持。

引言
人字齿轮凭借其优异的承载能力、卓越的操作稳定性和独特的轴向力自平衡特性，被广泛应用于航空发动机、直升机和船舶中 [1], [2], [3], [4], [5]。TSM 是高性能齿轮传动部件设计和制造中广泛采用的技术方法。TSM 可被视为人为引入的偏差，适当的 TSM 可以改善齿面载荷不均匀问题并抑制齿轮系统振动 [6], [7], [8]。然而，由于人字齿轮的两个组成部分（螺旋齿轮）是分开制造的，齿轮结构的两侧齿面上必然形成累积齿距偏差（CPD）。齿轮副装配后，将产生 APD，导致在整个 ETMC 内两侧齿面载荷分布不均匀，从而加剧齿轮系统振动。APD 和 TSM 在整个 ETMC 内对人字齿轮载荷均匀性和振动特性的综合影响仍有待澄清。对上述影响规律进行探索和澄清，可为人字齿轮系统中载荷均匀性和振动性能的调控提供关键的理论指导。

CPD 对齿轮传动系统的载荷分布模式、CMS、MIF 和振动响应行为具有显著影响。王等人 [9] 构建了考虑齿距偏差的齿轮啮合通用动力学模型，并考察了其对直齿轮系统振动响应的影响。刘等人 [10], [11] 建立了具有齿距偏差的直齿轮副时变啮合系数模型。他们还开发了适用于直齿轮组多状态啮合条件的非线性动力学模型，该模型充分考虑了齿距偏差和时变参数。段等人 [12] 构建了包含直齿轮修形和齿距偏差的综合解析模型，并进一步推导了直齿轮 CMS 和 LDC 的计算公式。罗等人 [13] 构建了直齿轮组件的动态运动微分方程，并全面研究了不同分布的齿距偏差对齿轮系统振动性能的影响。皇甫等人 [14] 开发了包含 CPD 的螺旋齿轮动态磨损预测模型，研究了其对齿轮啮合行为、动态响应和磨损分布的影响。郭等人 [15] 提出了螺旋齿轮系统的动力学模型，并进一步探讨了具有不同加工精度的 CPD 如何影响该系统的动态啮合力。然而，该研究未能阐述不同累积齿距偏差（CPD）如何影响 MIF。袁等人 [16] 专门针对螺旋齿轮构建了先进的 LTCA 模型，其中将 CPD 嵌入为关键影响因素。然后他们推导了一套与螺旋齿轮 ETMC 相匹配的激励分量，并系统地研究了随机 CPD 对齿轮系统振动激励机制和动态响应行为的影响。王 [17] 考虑了齿距偏差，计算了螺旋齿轮 ETMC 的 MIF，并进一步分析了单啮合周期内 MIF 与 ETMC 内 MIF 对螺旋齿轮振动行为的比较影响。康等人 [18] 开发了专门针对人字齿轮系统的集成动力学模型，并进一步探讨了交错角变化如何影响系统振动性能的演化特性。陈等人 [19] 最初构建了人字齿轮系统的专用动力学模型，然后系统地研究了齿距偏差对系统动态响应特性的影响。在他们采用的建模方法中，齿距偏差被视为一种误差激励并集成到动力学模型中。然而，该方法未考虑齿距偏差对齿轮承载接触性能的影响。刘等人 [20], [21] 考虑了 APD，计算了 ETMC 的多源激励，建立了人字齿轮系统的非线性动力学模型，并阐明了支配 ETMC 振动特性变化规则的规律。尽管如此，他们的工作并未全面研究不同 APD 量级对 ETMC 中人字齿轮载荷分布、MIF 和振动特性的影响。

TSM 通过优化和调整修形参数来实现，有效地控制齿轮系统的源激励并减少振动和噪声。TSM 的主要重点在于研究修形长度、修形量和修形曲线类型 [22], [23], [24]。相关研究中经常使用的 TSM 方法主要可分为三类：齿廓修形 [25], [26], [27]、齿向修形 [28], [29] 和三维（3-D）修形。3-D 修形是齿廓修形和齿向修形的组合，兼具两者的优势。袁等人 [30] 专门为人字齿轮开发了一种创新的 TSM 方法。该方法不仅显著缓解了系统振动激励力的波动，还增强了左右齿面的载荷分布。刘等人 [31] 制定了人字齿轮的多准则优化框架。优化目标旨在抑制 3-D 载荷传递误差并提高载荷分布均匀性，最优参数集通过采用非支配排序遗传算法 II（NSGA-II）确定。该优化框架仅关注人字齿轮的准静态啮合特性，缺乏对振动特性的考虑。杨等人 [32] 提出了具有 TSM 的人字齿轮 CMS 的计算方法，并进一步研究了 TSM 对 CMS 和 MIF 的影响。李等人 [33] 基于 LTCA 模型量化了振动激励，构建了人字齿轮的动力学模型和 3-D 修形模型，并进一步对实施 TSM 前后的啮合性能和动态性能变化进行了对比分析。尽管如此，他们的 LTCA 模型忽略了实际偏差的纳入，并未嵌入轴向力平衡约束方程。此外，其动力学模型中考虑的振动激励仅限于 CMS 和 MIF，分析框架中排除了 AD 激励。而且，该模型采用了振动激励在所有啮合周期内保持一致的简化假设，未能研究人字齿轮的轴向振动特性以及制造偏差引起的载荷分布不均匀问题。邹等人 [34] 提出了人字齿轮 TSM 的改进算法，以啮合系数为核心设计依据，并进一步比较了传统修形方案和新提出的修形方法对 CMS 和动态性能的影响。王 [35] 建立了专门针对人字齿轮的多目标优化函数。优化旨在实现双齿面均匀载荷分担，最小化圆周振动加速度，并将轴向振动加速度（AVA）降低到合理的下限。对人字齿轮在未修形和修形条件下的载荷分布特性、圆周振动加速度和 AVA 进行了对比评估。然而，其研究中齿面载荷不均匀更多是由安装偏差而非 APD 引起的，且未研究 ETMC 的 MIF 对系统振动响应行为的影响。

综合文献回顾表明，文献 [20], [21] 未能表征各种 APD 下人字齿轮在 ETMC 内多源激励、载荷分布和振动响应的演化规律。文献 [32], [33], [34] 假设每个啮合周期内的振动激励固定不变，忽略了 ETMC 的时变特性。文献 [35] 中的 TSM 优化框架因其 LTCA 模型和优化算法的迭代计算而计算效率低下。此外，传统的 TSM 数学模型在考虑实际制造偏差时，无法在人字齿轮的 ETMC 内保持优异的综合性能。为填补上述研究空白，本文建立了一个统一 TCA、增强型 LTCA、MIF 和动力学模型的集成建模框架，以定量分析 APD 对 ETMC 内多源激励、载荷分布和振动特性的影响。相应地，提出了一种载荷均匀性与振动抑制的协同优化策略。将通过 TSM 方案与实际 APD 分布相匹配，所提方法在整个 ETMC 内实现了出色的载荷均匀化和振动性能。

本文结构组织如下。首先，推导出人字齿轮的 TCA 方程组，随后建立适合该齿轮类型的增强型 LTCA 模型和 MIF 模型。在此基础上，获取了人字齿轮 ETMC 对应的 LDC、载荷分布和多源激励。其次，充分考虑 ETMC 的多源激励，构建人字齿轮系统的动力学模型。计算相关参数，然后对模型进行数值求解。接下来，推导修形后人字齿轮的齿面方程，并建立人字齿轮载荷均匀性与振动抑制协同优化的数学模型。最后，分析 APD 对 LDC 和载荷分布特性等关键载荷均匀性指标的影响。调查各种 APD 条件下 ETMC 的振动响应，并比较 TSM 和 APD 对人字齿轮系统振动特性的耦合影响。此外，进行实验测试以评估所提 TSM 方案的性能，旨在验证本研究中所开发方法的准确性和有效性。

章节片段
标准人字齿轮 TCA 模型
人字齿轮副的 TCA 等效于对两个螺旋齿轮副进行独立的 TCA。人字齿轮左右主动及从动齿轮齿面方程的构建方法与常规螺旋齿轮齿面方程的推导过程相似。推导过程中需要强调的关键点是，右螺旋齿轮对螺旋角的大小与左齿轮对相同，但一个

动力学方程的建立
在齿轮系统的动力学建模方法中，集总质量法具有建模程序简便和求解相应动力学模型计算效率高的特点。因此，本方法被用于构建人字齿轮系统的动力学模型，其中将 ETMC 相关的多源激励纳入分析。

用于鱼骨齿轮系统的现有动态模型通常以左/右两侧微齿面间隙（MIFs）为左旋齿（TSM）……

如图8所示，齿形修形曲线和螺旋线修形曲线均由两条抛物线与一条直线组合而成。对应于该三维修形曲线的一般数学模型如式(44)所示[23]。基于该模型，齿形修形可涵盖常规线性修形、曲线修形、长修形和短修形，而螺旋线修形则能够覆盖传统凸形修形……

ETMC载荷均匀性行为的分析
本研究所采用的鱼骨齿轮副参数配置与文献[21]中的表1一致。由于文献[21]已研究了在不同载荷幅值和输入转速下鱼骨齿轮跨越ETMC的三维振动响应，本工作不再对该方面作进一步阐述。在从动齿轮载荷为2000 N·m的条件下，优化后的TSM参数确定为 y1 = 6 μm，y2 = 19.6……

结论
针对鱼骨齿轮分别建立了TCA模型、增强型LTCA模型和MIF模型，从而实现ETMC载荷分布和多源激励的获取。考虑ETMC多源激励，建立了鱼骨齿轮系统的集中质量动态模型。推导出了鱼骨齿轮TSM的一般表达式，并构建了载荷均匀性与振动协同优化的数学模型。APD对……的影响

CRediT作者贡献声明
Xuan Liu：撰写—审阅与编辑、资金获取。
Zongde Fang：方法论。
Fengjie Lei：撰写—初稿撰写。
Yunbo Shen：验证。
Hao Dong：资金获取。
Xiaodong Yang：验证。
Hehe Kang：资金获取。
Qiaolei Hu：资金获取。

利益冲突声明
作者声明，不存在可能影响本文所报告工作的已知的竞争性经济利益或个人关系。

致谢
作者感谢以下机构提供的支持：河南省科技研究项目（编号262102220042和262102110380）、河南省科技研发联合基金项目（编号252103810196）、高校高层次人才研究启动基金项目（编号ZKNUC2023022和ZKNUC2023021）、国家自然科学基金（编号52505142、52505302和52375062），以及河南省自然科学基金……

Xuan Liu｜Zongde Fang｜Fengjie Lei｜Yunbo Shen｜Hao Dong｜Xiaodong Yang｜Hehe Kang｜Qiaolei Hu