关于基于群体的结构健康监测的几何：第一部分 — 图上的层

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：On the geometry of Population-Based Structural Health Monitoring: Part I — sheaves on graphs

　　

摘要：基于群体的结构健康监测（Population-Based Structural Health Monitoring，PBSHM）作为一种利用多个结构的数据来增强任意给定个体结构诊断能力的技术手段，近年来逐渐兴起。作为一系列关于PBSHM基础研究论文的一部分，本文提出了该方法的几何图像。尽管这一图像为PBSHM提供了一定的洞见，但由于其基于纤维丛的观点并不完全契合PBSHM的"几何"本质，因此无法为研究提供严格的基础。假设严格的框架能够为设计可行的PBSHM系统提供有价值的指导，本文（及一篇姊妹论文）的目标是提供一个严格的几何图像。本文通过摒弃将纤维丛作为主要几何研究对象的做法，转而采用胞腔束（cellular sheaf）来实现这一目标。本文展示了如何将以抽象形式表示的结构群体封装到一个胞腔束中，同时将各结构的SHM特征数据纳入其中。此外，本文引入了一种几何操作——局部PCA对齐的一种变体——该操作实际上实现了结构之间的（线性）迁移学习，并自然地推广了此前提出的一些算法。该方法在模拟结构群体的异常检测场景下进行了验证。对多分类SHM问题的进一步分析揭示了PCA对齐和统计对齐算法在处理包含旋转的情况时存在的一些问题。由于本文可能是工程动力学领域首次使用束（sheaf），文中包含了大量背景知识，并讨论了束技术的其他方面。

引言

尽管基于数据的结构健康监测（SHM）[1]目前无疑已确立为在工程结构资产管理过程中嵌入健康评估的一种手段，但仍存在若干实施问题。由于基于数据的SHM依赖于机器学习技术，阻碍其大规模工业应用的主要障碍之一便是难以获取能够表征SHM系统可能需要诊断的各种健康和损伤状态的训练数据。为解决这一问题，一种提议的方法是从监测个体结构转向监测结构群体；在这种情况下，群体中某个结构存在结构损伤状态数据的概率可能会大大增加。如果此类数据可用，基于群体的SHM（PBSHM）[2]便利用迁移学习（Transfer Learning，TL）[3]，通过其他结构的数据来支持对某一结构的诊断。文献[2]提供了一个有用但简略的概述，而关于PBSHM更基础的详细讨论可在文献[4]、[5]、[6]、[7]、[8]中找到。

如上所述，迁移学习已内建于PBSHM的基础之中[6]；事实上，它是一个至关重要的组成部分。机器学习领域面临的一个重大问题便是泛化问题。这一问题即使在单个结构的监测中也可能出现，因为结构周围的环境变化会导致训练集的概率分布与测试集的概率分布不同，从而使后者数据的分类失败。在PBSHM中，这一问题更加突出，因为不同结构之间的数据分布通常存在较大差异。在一个结构上训练的分类器在另一个结构上通常会失效。迁移学习是机器学习领域为解决在大分布偏移下实现泛化而发展出的技术[3]、[9]。迁移学习算法有许多变体，但其中一种在SHM/PBSHM场景中颇受欢迎的是领域自适应（Domain Adaptation，DA）。通过推断到领域不变潜在空间的映射，DA调整各领域的数据分布，使得在源领域中使用标记数据训练的分类器能够泛化到目标领域。即使在DA内部，也有不同类别的算法被提出，其中一组基于再生核希尔伯特空间（Reproducing Kernel Hilbert Spaces，RKHS）的算法证明了相当强大，并已成功应用于SHM中的损伤检测[10]和损伤定位[11]问题。近年来，基于"微调"方法的深度神经网络架构在DA中取得了优异性能。近期的研究探讨了深度迁移学习在SHM领域的应用，例如基于微调方法的图像裂纹检测[13]，以及使用高维特征和丰富数据进行损伤检测和量化的深度DA[14]。此外，现在已有一篇成熟的文献关于深度DA在机器故障诊断中的应用，早期的例子包括[15]、[16]、[17]、[18]。

PBSHM的一个关键要素是，应当能够比较不同结构并确定它们相似性的客观度量；这一点很重要，因为通常来说，源问题和目标问题越相似，迁移学习的效果越好（或者迁移学习才能生效）。PBSHM中解决这一问题的方法是创建结构的抽象表示，其中感兴趣的各种结构被表示为度量空间中的点；该度量则用于衡量结构之间的"距离"，并可以作为其相似性的代理。这种抽象表示是通过推导每个结构所谓的不可约元（Irreducible-Element，IE）模型来创建的，该模型是一种基于物理的表示[5]。然后将IE模型自然地转化为带属性图（Attributed Graphs，AGs），作为抽象表示。AG空间是一个度量空间，其中各种相似度度量可以以严格的方式定义[5]、[19]。

基于数据SHM的一般基本问题是测量感兴趣结构的某些损伤敏感特征数据，并由此推断其健康状态。因此，在PBSHM中，群体中的每个结构都有一些数据"附着"于其上。这一思想提示了文献[7]中讨论的PBSHM几何图像。该图像最初基于现代（近似现代）微分几何中纤维丛的思想[20]、[21]。在许多方面，纤维丛模型对于PBSHM来说是非常自然的，因为它可以为群体中的每个结构分配独立的特征空间；这如图1所示，其中"底空间"——代表群体——是感兴趣的结构集合，每个结构都表示为由不可约元模型推导出的带属性图，如前所述；每个结构Si是底空间中的一个点。底空间本身是一个网络或图，给定结构的数据被认为存在于点Si上方的纤维Fi中，这通常是一个向量空间。数据在数据空间之间为迁移学习而移动（例如领域自适应中[6]）则对应于纤维之间的"水平"移动[21]，而纤维内部的移动被视为"垂直"的。

纤维Fi代表结构Si所有可能特征集的集合。例如，如果结构Si的特征是前四个固有频率，则Fi同构于R?。结构的可能健康状态不一定要"充满"1纤维Fi；然而，存在一个可以为所有结构定义的具体健康状态，即正常或未损伤状态。不失一般性，总可以在纤维中定义坐标（必要时通过平移），使得正常状态位于原点。现在，纤维丛的一个必要组成部分是一个投影π，它将纤维Fi（或全空间）中的任意点映射到其对应的结构Si。然后可以定义丛的一个截面s，使得s°π在底空间的某个区域上是恒等映射。以上述定义方式，可以定义零截面为将结构映射到其正常条件特征数据的映射。如果截面s定义在整个底空间上，则称为全局截面。有趣的是，对于本文后面讨论的数学对象，唯一保证存在的全局截面就是零截面。

尽管该图像具有启发性和直觉性，但由于其缺乏数学严谨性，目前的分析用途有限。一个主要问题在于，图的底空间必然是一个点集，附加结构极少。尽管底空间是一个度量空间（这对PBSHM至关重要），但它不具备拓扑性，因此该图像缺乏连续性这一重要性质。面对这一问题，如果希望保留PBSHM的某种几何解释，则面临两种主要选择：

1. 修改感兴趣的几何对象——在本例中为纤维丛——为其他数学对象，使得底空间的图特性不再成为严格性的障碍。
2. 修改底空间以允许某种连续性概念，从而引入拓扑性。

本文是两篇论文中的第一篇，将考虑这些替代方案：第二种方案将在本短系列论文的第二篇中讨论，而第一种方案将在本文中解决。作为分析的一部分，本文将建立纤维之间移动的几何概念，从而给出迁移的几何解释。本文的思想是提出一个PBSHM理论框架，该框架与已有研究向后兼容，同时具有向前兼容性，能够指导现有数据库方法的发展[2]、[8]。

纤维丛图像失效的另一点如下。对于真正的纤维丛，所有纤维必须同构于一个模型纤维，记为F。现在，对于PBSHM，虽然假设每个结构都有某些特征数据，但不同结构的数据可能不同。例如，结构S?可能测量了前四个固有频率作为特征，而S?的特征是频率响应函数（FRF）的32条线。在第一种情况下，F??R?；而在第二种情况下，F???32。本文讨论的更一般的数学对象实际上允许这种程度的灵活性。

最终发现，所需的数学对象是一个束。本文的目标是以严格的方式将数据附加到图和网络上，正如Hansen在文献[22]中指出的："束（Sheaves）是将数据附加到空间上的标准数学结构"。此外，代数几何中的一个事实是[23]，一类束——拟凝聚束——等价于向量丛。事实上，由于本文感兴趣的空间是一个图的空间而非一般的拓扑空间，因此需要一种专门类型的束——胞腔束（cellular sheaf）。

由于关于图和束的许多内容可能对SHM从业者而言较为陌生，本文包含大量教程性内容。

本文结构如下：第2节简要描述了拓扑空间上的"经典"束；第3节给出了图上的束——即胞腔束的定义。后一节包括图论中一些必要概念和符号的教程性介绍。第4节解释了迁移学习如何作为定义在群体网络上的胞腔束的芽之间的映射来实现。第5节展示了如何通过类比Singer和Wu[24]的对齐算法来构造线性迁移映射。第6节在模拟结构群体上演示了迁移方法。第7节对本节呈现的结果进行讨论，最后得出结论。

小节摘要：束

尽管胞腔束（或图上的束）与"经典"束是完全不同的对象，但总结原始构造的性质仍然有用。本文用符号F表示两类束。那么，如何定义一个经典束？本文的讨论遵循文献[25]。

直接的前提条件是一个拓扑空间X和X上的一族开集O={U?}，它们覆盖该空间，即??U?=X。

# 图上的胞腔层：定义、迁移学习与应用

## 引言与背景

如今，人们可以为许多数学对象定义层，而图上的胞腔层本质上就是图上的层，因此有必要建立图的一些基本（以及不那么基本）的结构和符号。一个图 $G$ 由节点集或顶点集 $V$ 和边集或链集 $E$ 定义，即 $G=(V,E)$ [26]。图的边集和节点集也可以分别表示为 $E(G)$ 和 $V(G)$，这种记法在需要为多个图定义顶点和边集的场合非常有用。一般而言，本文中的图节点为……

## 胞腔层上的迁移

到目前为止，可以清楚地看到，胞腔层为 PBSHM 的结构网络及其关联特征空间提供了一种自然的数学基础。此外，层结构展示了数学上的一致性，不同于最初用于提供动机的纤维丛图像。然而，迄今为止讨论的层图像在分析上用处不大，除非将 PBSHM 的一些主要操作纳入该图像中。由于迁移学习是 PBSHM 的主要操作，因此……

## 向量扩散映射与迁移

就本文的符号而言，种群图记为 $P(V,E)$。结构 $S_i$ 表示为节点 $v_i \in V(P)$；$S_i$ 的特征数据被认为是驻留在 PBSHM 层在 $P$ 上的芽 $F(v_i)$ 中，该芽是同构于 $\mathbb{R}^D$ 的向量空间。此处的线性迁移映射基于文献 [24] 中的思想；然而，该论文考虑的是黎曼流形上的数据而非向量空间中的数据，因此首先需要回顾那里的理论。

## 案例研究

为检验第 5.3 节导出的线性迁移方法的性能，将该算法应用于文献 [31]、[46] 中提出的一个数值案例研究。该案例研究以包含 20 个模拟的十自由度（ten-DoF）质量-弹簧-阻尼系统为例的种群为中心，其中几个示例如图 14 所示。数值案例研究中材料和几何属性的取值见表 1。本文考虑的是同质的 TL，其中标签……

## 讨论

此处第一个值得讨论的普遍性问题是当前图像的严格程度以及几何究竟提供了什么。与文献 [7] 中纤维丛图像所提供的"动机"相比，胞腔层为与结构关联的特征空间提供了一种完全严格的表述。虽然这本身很有用，但该图像还通过改编 Singer 和 Wu [24] 的 PCA 对齐算法，为（线性）迁移提供了一个几何动机。

## 结论

基于种群的 SHM（结构健康监测）迄今为止建立在基于不可约元（IE）模型和有属性图（AG）的结构抽象表示理论之上。在此基础上，本文构建了一个基于胞腔层的 PBSHM 数学严格表述，该表述非常自然地融入了迁移学习。事实上，该表述为一般形式的（线性）迁移提供了一个几何基础。本文认为，这样的数学表述是一个……

## CRediT 作者贡献声明

- K. Worden：方法论、调查、获取资助、形式分析、概念化。
- D.J. Brennan：方法论、调查、概念化。
- T.A. Dardeno：方法论、调查、概念化。
- N. Dervilis：获取资助、概念化。
- J. Poole：方法论、数据整理。
- T.J. Rogers：方法论、获取资助。
- G. Tsialiamanis：方法论、调查、形式分析、数据整理、概念化。
- A.J. Hughes：方法论、调查、正式声明。

## 利益冲突声明

作者声明他们不存在可能影响本文所报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

## 致谢

作者感谢英国工程和物理科学研究理事会（EPSRC）通过英国 EPSRC 项目拨款 EP/W005816/1（ROSEHIPS）和 EP/Z531297/1（CVD-NET）提供的资金。作者衷心感谢 Valence Labs 的 Francesco Di Giovanni 博士为他们指出了图上层的概念。为了开放获取，作者已将知识共享署名（CC BY）许可应用于任何作者接受的手稿版本。

K. Worden | D.J. Brennan | T.A. Dardeno | N. Dervilis | J. Poole | T.J. Rogers | G. Tsialiamanis | A.J. Hughes