一种基于切比雪夫理论的高阶无网格方法，用于分析强化有GPL纤维的FG-TPMS（加固型轮胎压力 monitoring系统）板材的自由振动行为

《Advances in Engineering Software》：A Chebyshev-based higher-order meshfree formulation for free vibration analysis of GPL-reinforced FG-TPMS plates

　　•开发了一种基于Chebyshev的统一无网格公式，用于GPLR-FG-TPMS板材的振动分析。•将Chebyshev移动克里金（CMK）与三阶Chebyshev剪切变形理论（TCSDT）相结合。•运动学模型准确捕捉了横向剪切效应，并确保板材表面剪切应力为零。•能够高保真地分析复杂的几何形状，包括环形和心形切割的板材。•结果表明，CMK-TCSDT框架在对抗基于IGA的基准测试中表现出较强的鲁棒性。

**术语表**
罗马符号 | 希腊符号 | 缩写 | 符号说明 | 符号说明 | 符号说明
a | 板材长度 | ρ | 质量密度 | MK | 移动克里金
b | 板材宽度 | ρm | 矩阵的质量密度 | CMK | Chebyshev移动克里金
h | 板材厚度 | ρbm | 基础材料的质量密度 | TCSDT | 三阶Chebyshev剪切变形理论
E | 弹性模量 | ρ | 石墨烯薄片的质量密度 | TPMS | 三周期最小表面
G | 剪切模量 | ν | 泊松比 | FG | 功能梯度
Ebm | 基础材料的弹性模量 | νm | 泊松比 | 多孔TPMS结构的均匀化性质

**描述**
如图1所示，考虑了一个尺寸为a × b × h的矩形GPLR-FG-TPMS板材。采用了三种TPMS拓扑结构（Gyroid、I-graph Wrapped Package和Primitive），并且这些结构都有开放和封闭单元的形式。四种有效材料属性（质量密度ρ(z)、弹性模量E(z)、泊松比ν(z)和剪切模量G(z)在厚度方向上连续变化。对于一般的TPMS结构，均匀化弹性关系遵循参考文献[9]中的公式。

**三阶Chebyshev剪切变形理论（TCSDT）**
板材任意点的位移分量基于三阶Chebyshev剪切变形理论（TCSDT）表示为：
\( \mathbf{u}^{\triangle}(x,y,z) = k_1(x,y) + z k_2(x,y) + g(z) \)
其中：
\( k_{\triangle} = \{ u_{\triangle}, v_{\triangle}, w_{\triangle} \} \);
\( k_1 = \{-u,v\}; \)
\( k_2 = \{-\theta_x,\theta_y\}; \)
\( k_3 = \{\phi_x,\phi_y\} \)
位移向量包括平面内的分量u和v、横向位移w以及绕y-z和x-z轴的旋转分量φx和φy。

**Chebyshev移动克里金方法（CMK）**
所提出的Chebyshev移动克里金（CMK）公式通过在插值基础上加入正交Chebyshev多项式，扩展了传统的移动克里金（MK）近似方法。这种组合方式结合了径向基函数和Chebyshev多项式基，提高了近似能力的同时保持了MK方法的插值特性。CMK形状函数[26,27]表示为：
\( \mathbf{N}_C(x) = s_T(x)A_{\triangle} + t_T(x)B_{\triangle} = \sum_{i=1}^m s_i(x)A_{\triangle}^iC + \sum_{j=1}^n t_j(x)B_{\triangle}^jC \)

**数值实现**
为了完整性和便于重复实验，本研究采用的主要实现参数和数值程序如下：节点影响域由半径为dm = ηac的圆形支撑定义，其中ac表示平均节点间距，η = 2.5。对于每个高斯积分点，自动选择支撑半径内的所有相邻节点进行积分。

**结论**
开发了一种基于Chebyshev的无网格公式，用于GPLR-FG-TPMS板材的自由振动分析。所提出的公式结合了CMK近似和TCSDT，并采用了统一的材料模型，该模型将TPMS结构的双相均匀化方法与Halpin–Tsai微观力学模型（用于GPL增强）相结合。数值结果与现有的基准解非常吻合，证明了该公式的有效性。

**作者贡献声明**
Lieu B. Nguyen：撰写——原始草案、可视化、验证、概念化；
P. Phung-Van：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、方法论、数据整理、概念化；
Chien H. Thai：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、方法论、形式分析、数据整理、概念化。