基于扭量的姿态-轨道一体化航天器状态反馈跟踪控制：一种完全驱动系统方法

《Aerospace Science and Technology》：Twistor-Based State-Feedback Tracking Control for Attitude-Orbit Integrated Spacecraft: A Fully Actuated System Approach

　　

摘要

本文基于完全驱动系统方法，研究姿态-轨道耦合空间器的建模与状态反馈跟踪控制问题。传统的空间器控制策略将姿态系统与轨道系统分离处理，忽略了二者之间强烈的耦合特性，从而限制了控制精度，无法满足复杂空间任务的需求。尽管双四元数等数学工具能够实现姿态-轨道运动的一体化描述，但耦合模型具有较强的非线性以及输入-状态失配特性，给控制律设计和稳定性分析带来了困难。为解决上述问题，本文基于被控空间器与目标之间的相对双四元数，建立了姿态-轨道耦合运动学与动力学模型。随后，引入扭旋量消除双四元数系统中的冗余分量，并基于扭旋量变量消去和阶次提升方法，得到六自由度（6-DOF）完全驱动系统。针对跟踪控制目标，设计了状态反馈跟踪控制律。通过构造Lyapunov函数严格分析了闭环系统的稳定性，并证明了跟踪误差的渐近收敛性。最后，数值仿真验证了所提系统模型和控制方法的有效性。

引言

作为空间器任务的基础，姿态与轨道控制系统在近几十年中受到了广泛的研究关注。为实现控制目标，首先需要构建姿态与轨道模型，其中空间器在三维空间中的运动可分为三自由度（3-DOF）姿态操作和三自由度轨道操作。在姿态控制领域，文献[1]的作者针对欧拉角姿态被控系统提出了基于扰动观测器的控制方案；文献[2]的作者基于三维特殊正交群研究了指定时间受限控制问题；文献[3]的作者利用基于四元数的姿态模型解决了容错无模型控制问题；文献[4]的作者针对具有多重约束的基于改进Rodrigues参数的空间器姿态系统提出了有限时间跟踪控制方法。在轨道控制领域，文献[5]的作者利用周期性事件触发和自触发技术实现空间器交会控制；文献[6]的作者为空间器临近飞行开发了级联神经网络；文献[7]的作者提出了基于自适应感知与交互博弈的控制策略；文献[8]的作者研究了协同跟随任务中的灵活性与鲁棒控制问题，其中采用Clohessy-Wiltshire（CW）方程描述被控空间器与目标之间的相对轨道动力学。上述策略仅涉及姿态或轨道子系统，无法解决姿态-轨道联合控制问题。考虑六自由度空间器运动，文献[9]的作者基于Tschauner-Hempel方程的轨道模型与基于四元数的姿态模型，提出了自适应控制方案；文献[10]的作者研究了姿态四元数与本地垂直-本地水平相对轨道系统的输入约束控制问题。传统的空间器控制方法从根本上将姿态和轨道视为相互独立的子系统，而非一个耦合系统。然而，在许多实际空间任务中，姿态与轨道运动之间存在强耦合关系：角速度会导致体固位置偏差，而轨道机动会影响引力梯度力矩。因此，独立设计姿态与轨道控制器可能导致控制精度和能效方面的次优性能。

为满足编队飞行、在轨服务和近距离交会等高精度空间任务需求，已构建了姿态-轨道耦合空间器模型，这些模型将耦合运动机制内嵌于统一的数学框架中。随后，开发了耦合控制方法以实现六自由度误差的同步收敛。例如，文献[11]的作者提出了针对避障空间器的饱和自适应控制方法；文献[12]的作者研究了欠驱动空间器的最优控制问题；文献[13]的作者利用强化学习技术解决自主交会控制问题，其中基于三维特殊欧氏群（SE(3)）构建了姿态-轨道耦合模型。SE(3)将SO(3)姿态空间和欧氏位置空间扩展到四维矩阵空间，姿态-轨道耦合运动学对应于通过李代数得到的六维微分方程。另一方面，文献[14]的作者利用双四元数设计了基于时间同步估计器的方法；文献[15]的作者提出了自适应双四元数控制策略；文献[16]的作者利用双四元数描述空间器的绕飞运动并研究了基于神经网络的控制问题。与包含四个分量的姿态四元数不同，包含八个分量的双四元数通过实部同时描述旋转运动，通过双部同时描述平移运动。然而，双四元数由于包含冗余分量和归一化约束，给控制设计与分析带来了困难。例如，文献[15]的作者从双四元数误差中提取六维有效状态以简化系统模型；文献[16]的作者将系统状态与双四元数对数相关联，并提出了基于对数的控制律。此外，扭旋量被开发用于解决双四元数的冗余问题，它排除了归一化约束，使空间器六自由度运动的描述更加简洁。文献[17]的作者研究了防反转控制问题；文献[18]的作者提出了编队飞行的分布式控制系统；文献[19]的作者利用终端滑模方法处理扭旋量系统的非线性；文献[20]的作者研究了空间器编队的混合有限时间跟踪问题。上述方法在解决空间器姿态-轨道耦合控制问题上展现了效率，但均基于具有失配运动学和复杂动力学的非线性模型，其中姿态-轨道状态与角-线速度之间的关系并不直观，观测器与控制器设计存在挑战，闭环系统的全局稳定性难以保证。

完全驱动模型与控制方法的发展为空间器姿态-轨道耦合控制问题提供了新的解决方案。在牛顿定律和拉格朗日方程等原理主导动力学的物理世界中，由多个子系统构成的真实被控系统是高阶非线性复杂系统。上述系统中的一类具有完全驱动特性，即控制输入具有足够的驱动能力，通过调节状态的最高阶导数来确定系统的机动行为。传统的一阶状态空间方法将高阶系统转化为一阶微分方程，在稳定性分析方面具有优势，但破坏了完全驱动结构，给控制器设计带来挑战。相比之下，完全驱动方案建立了一类高阶系统模型，其中包含维数匹配的状态向量和输入向量以及可逆的输入系数矩阵。然后，可以直接给出控制律以消除非线性，从而形成具有可配置特征结构的常系数线性闭环系统。文献[21]的作者首次提出了高阶完全驱动模型，并证明了在一定条件下，一类严格反馈系统可通过广义递推算法转化为完全驱动系统。随后，文献[22]的作者研究了不确定非线性系统的事件触发自适应滑模控制问题；文献[23]的作者提出了时变受限系统的离散预测消去控制方法；文献[24]的作者解决了一类脉冲系统的鲁棒控制问题。值得注意的是，完全驱动理论已被应用于多个工程场景，例如，文献[25]的作者为伺服电机系统提出了事件触发控制策略；文献[26]的作者通过基于观测器的自适应控制方案解决了欧拉-拉格朗日机器人系统的输出反馈控制问题。在空间器姿态与轨道控制领域，文献[27]的作者研究了欠驱动空间器的姿态镇定问题，其中利用时间尺度变换构造了具有满秩输入矩阵的平均系统；文献[28]的作者为三自由度组合空间器提出了离散时间自适应控制策略，并利用完全驱动技术处理非线性耦合和参数估计问题；文献[29]的作者提出了刚体空间器的基于扭旋量的姿态-轨道耦合系统，其中利用扭旋量描述位姿运动学。与[29]不同，文献[30]、[31]、[32]的作者利用Lyapunov函数定量分析了闭环系统的稳定性。由于系统高度非线性以及姿态与轨道动力学之间的强耦合，姿态-轨道耦合空间器控制问题具有挑战性。基于完全驱动系统方法，可以通过为姿态-轨道耦合空间器构建具有可逆输入系数矩阵的完全驱动系统模型，并设计控制律以消除非线性特性、形成常系数闭环误差系统来处理该问题。因此，基于完全驱动系统方法的空间器姿态-轨道耦合建模与控制仍需进一步研究。

基于上述讨论，姿态-轨道耦合空间器的完全驱动系统建模与控制值得进一步研究。利用三个坐标系建立空间器双四元数系统以描述姿态-轨道耦合运动学和动力学。通过扭旋量消除双四元数系统中的冗余分量。利用基于扭旋量的变量消去和阶次提升方法，推导出具有可逆输入矩阵的六自由度空间器完全驱动系统。针对状态反馈跟踪控制问题，设计控制器以形成常系数闭环误差系统，并利用Lyapunov函数进行稳定性分析。最后，通过数值仿真验证所提模型和控制方法的有效性。

基于上述讨论，我们将基于完全驱动系统方法，为姿态-轨道耦合空间器开发模型和状态反馈跟踪控制方法。与现有成果相比，所提方法的主要优势总结如下：

(1) 针对姿态-轨道耦合空间器模型与控制问题，提出了基于扭旋量的完全驱动系统方法。基于双四元数的空间器姿态-轨道耦合系统具有高度非线性和状态-输入维数失配特性，给控制律设计和稳定性分析带来了困难。文献[14]针对空间器最优位姿跟踪提出了基于估计器的控制策略，其中采用基于双四元数的回归技术处理复杂的耦合非线性。文献[15]为六自由度空间器开发了基于控制增益重构的自适应容错控制方案，需要复杂的参数整定和在线估计。相比之下，通过采用基于扭旋量的变量消去技术，我们消除了双四元数表示中的归一化约束和冗余分量，然后构建具有可逆输入系数矩阵的完全驱动系统模型。控制律直接补偿系统非线性，形成常系数闭环误差系统。控制方案设计及其理论分析与[14]、[15]中的方法不同。

(2) 基于Lyapunov稳定性分析，设计了具有严格渐近收敛保证的状态反馈跟踪控制律。文献[27]、[28]、[29]研究了基于完全驱动系统方法的镇定问题，其中文献[27]研究姿态镇定，文献[28]关注组合空间器控制，文献[29]提出了基于扭旋量的方法。然而，这些工作主要侧重于系统建模和极点配置方面，未明确解决具有参考轨迹的跟踪控制问题。在我们的工作中，设计了状态反馈跟踪控制律，使空间器的相对姿态-轨道系统能够跟踪给定的参考信号。与[27]、[28]中的三自由度镇定问题不同，我们研究了六自由度控制问题。此外，我们选择了二次型Lyapunov函数，并严格证明了跟踪误差系统的渐近收敛性，为跟踪性能提供了定量保证，这与[29]中的结果不同。

本文其余部分组织如下。第2节构建空间器双四元数模型。第3节开发姿态-轨道耦合空间器的完全驱动系统模型，并设计跟踪控制方案及进行稳定性分析。第4节展示仿真结果。第5节总结结论。

章节节选：空间器双四元数模型

本节给出基于双四元数[33]、[34]、[35]、[36]的空间器姿态-轨道耦合模型。

首先，定义坐标系（如图1所示）如下：对于惯性参考坐标系Oixiyizi，原点是固定于地球质量中心。Oixi轴延伸穿过春分点，Oizi轴延伸穿过北极，而Oiyi轴根据右手定则定义。对于受控航天器

姿态-轨道一体化航天器的完全驱动系统模型及控制

完全驱动系统的定义如下：定义1 [37] 考虑以下系统：xπ^(m)=gπ(xπ^(0～(m?1)))+Gπ(xπ^(0～(m?1)))uπ，其中xπ∈R^n表示系统状态，正整数m表示系统阶数，xπ^(m)表示xπ的m阶导数，gπ(xπ^(0～(m?1)))∈R^n表示系统动态函数，xπ^(0～(m?1))表示xπ的0阶到m?1阶导数，Gπ(xπ^(0～(m?1)))∈R^(n×n)表示输入系数矩阵，uπ∈R^n表示系统输入。由于det(Gπ(x

仿真结果

为验证所提出控制方法的有效性和可行性，本节对航天器姿态-轨道一体化系统进行数值仿真。目标双四元数系统建立如下：q??˙=?q??°ω???，ω???˙=M??1f??(q??,M?)?M??1(ω???×M?ω???)，其中q??∈Q?^I和ω???∈R^3是已知变量，M?=m?I???/(d+ε)+εJ?，M??1=J??1/(d+ε)+ε(m??1)I???，m?=1kg，J?=[1 0 0; 0 2 0; 0 0 3]kg·m2，I???∈R^(3×3)表示3维单位矩阵，f??(q??,M?)=?m?

结论

本文研究了姿态-轨道一体化航天器的完全驱动系统建模和状态反馈跟踪控制问题。基于受控航天器与目标之间的相对双四元数建立了姿态-轨道一体化的运动学和动力学。采用扭子消除双四元数系统中的冗余分量，基于扭子变量获得了6自由度完全驱动系统。

CRediT作者贡献声明

Qi Zheng：撰写——原稿撰写。Kangkang Sun：撰写——审阅与编辑。Jianbin Qiu：撰写——审阅与编辑。

利益冲突声明

作者声明不存在可能影响本文所报告工作的已知的竞争性财务利益或个人关系。

Qi Zheng|Kangkang Sun|Jianbin Qiu
哈尔滨工业大学智能控制与系统研究所，哈尔滨，150080，中国