基于隐式Lyapunov函数方法的时滞模糊四元数值惯性神经网络的固定/预设时间同步

《Fuzzy Sets and Systems》：Fixed/Preassigned-Time Synchronization for Delayed Fuzzy Quaternion-Valued Inertial Neural Networks Via Implicit Lyapunov Function Approach

　　

**摘要** 本文通过隐式李雅普诺夫函数方法，研究具有时变延迟的模糊四元数惯性神经网络（FQVINNs）的固定时间同步问题。提出了一种包含李雅普诺夫函数的隐式函数方程，并设计了包含隐式李雅普诺夫函数的简单控制器。根据基于隐式函数的固定时间同步引理，对具有延迟的FQVINNs的固定时间同步进行了分析。将该思想推广到所研究模型的预设时间同步。从分析过程来看，FQVINNs始终被视为一个整体，而不涉及任何分解。最终，通过数值仿真验证了所提方法的可行性。

**引言** 神经网络（NNs）作为控制工程领域的研究重点之一，是模仿人类大脑计算和自我学习能力的信息处理系统。多年来，学者们对神经网络进行了深入的研究和分析，取得了许多研究成果。随着高维数据处理技术的发展，尤其是三维及以上数据信息，四元数神经网络（QVNNs）因其对四元数的直接编码和高效处理能力而在处理此类数据方面发挥了重要作用。此外，该网络在人工智能、卫星姿态控制、量子力学等领域具有良好的应用前景[1]。

作为QVNNs的一种特殊类型，四元数惯性神经网络（QVINNs）由于惯性项的引入而呈现二阶微分方程模型[2]，这是导致复杂分岔行为和混沌现象的工具[3]。此外，惯性项由电感产生，具有较强的生物学背景，即通过包含某些动物的等效电路可以实现毛细胞的膜特性。因此，QVINNs的动态行为可能变得更加复杂，QVINNs在控制领域吸引了越来越多的研究关注[4]、[5]、[6]、[7]。

近年来，由于Takagi-Sugeno（T-S）模糊逻辑在近似非线性系统方面的显著优势[8]，一些优秀成果专注于模糊四元数神经网络（FQVNNs）的分析和控制问题[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]。例如，[9]中采用非线性标量化方法研究了分数阶FQVNNs的无源性和耗散性。[10]中通过非分解方法解决了分数阶FQVNNs的有限时间控制问题，并给出了更一般的稳定时间。[11]中充分利用直接方法探索了高维模糊神经网络的固定时间/预设时间同步。[12]中应用分解方法获得了具有线性阈值神经元的分数阶FQVNNs的全局 Mittag-Leffler 有界性。此外，针对FQVINNs，[15]中通过非降阶方法研究了静态和动态方案下的事件触发同步。因此，深入发展FQVINNs的控制结果是非常必要的。

有限时间控制可追溯到20世纪60年代的时间最优控制[16]，它能使被控系统在有有限时间内达到稳定。与传统的渐近稳定相比，有限时间控制具有强抗干扰性和高控制精度，在工程领域得到广泛应用。但是，其稳定时间取决于初始状态。为了避免这一缺点，[17]中提出了一种特殊的有限时间控制，称为固定时间控制，由于稳定时间与初始状态无关，更适合实际系统。对于QVNNs或QVINNs或FQVNNs，已发表了大量的有限时间/固定时间控制结果，主要基于分解方法和非分解方法。对于前者，文献[5]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]将所研究的系统分解为四个实值神经网络，然后通过钉扎控制方案、纯幂律控制方案等获得有限时间反同步、有限时间同步、有限时间镇定、固定时间同步和固定时间无源性。分解策略可以有效避免四元数乘法的非交换性，但增加了变量数量，使过程变得繁琐。此外，这种分解可能会破坏激活函数实部和虚部之间的某些联系，导致系统描述不准确。因此，文献[10]、[11]、[26]、[27]、[28]、[29]、[30]、[31]、[32]、[33]、[34]推荐非分解方法，因为它能表现良好。例如，[26]中引入了四元数的符号函数，并提出了一种改进的1-范数方法来研究QVNNs的有限时间/固定时间同步。为实现QVNNs的有限时间同步，[29]中使用了一种称为两步分析的直接解析方法，并提出了基于两步方法的切换控制器。特别地，文献[11]、[22]、[25]、[32]、[33]继续考虑预设时间同步，其稳定时间是一个预先指定的时间，与任何初始状态和任何参数无关。

从上述讨论中，我们可以识别出两个问题。第一，只有[5]涉及QVINNs的固定时间同步问题，但它使用了分解方法。第二，对于有限时间/固定时间控制问题，一种常见的想法是应用李雅普诺夫函数方法，关键在于构造一个合适的李雅普诺夫函数。根据有限时间/固定时间稳定性定理[17]、[35]，建立一个合适的函数存在一些困难。如果再考虑时间延迟，难度会更大。因此，提出了隐式李雅普诺夫函数方法，这意味着隐式定义的李雅普诺夫函数满足一个代数方程[36]、[37]。然后，在隐函数定理下，可以直接从隐式形式检查所需条件[38]，而不需要求解该方程。例如，[39]中获得了关于隐式李雅普诺夫函数用于非线性系统有限时间/固定时间稳定性分析的若干定理。在显式和隐式形式的李雅普诺夫函数下，[40]中收集了非线性系统的有限时间/固定时间输入到状态稳定性的结果。

后来，Peng等人[27]、[33]设计了一个四元数隐式函数方程，分析了由该方程确定的隐式李雅普诺夫函数的一些性质，将基于隐式函数的有限时间/固定时间镇定（或同步）引理推广到四元数，并提出了一种基于四元数隐式函数存在定理的控制策略。这是隐式李雅普诺夫函数方法应用于QVNNs有限时间/固定时间控制的突破。据我们所知，尚无将隐式李雅普诺夫函数方法应用于实现QVINNs固定时间/预设时间同步的结果，更不用说FQVINNs了。

本文旨在基于隐式李雅普诺夫函数方法，探索一类具有时变延迟的FQVINNs的固定时间/预设时间同步问题。主要工作包括以下几个方面：

（I）在非分解方法下，通过适当处理，将隐式李雅普诺夫函数策略应用于具有延迟的FQVINNs的固定时间/预设时间同步。这一操作可以避免选择李雅普诺夫函数的困难，减少[5]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]中分解方法引起的繁琐计算过程，并保持所研究系统的原始性。

（II）通过变量替换，原系统被约化为一个一阶模型，并提出了一个包含李雅普诺夫函数的隐式函数方程。设计了包含隐式李雅普诺夫函数的简单控制器，并通过基于隐式函数的固定时间同步引理推导出线性矩阵不等式形式的固定时间/预设时间同步准则。

（III）我们的研究对象——具有延迟的FQVINNs模型——集成了模糊性、惯性、四元数和时间延迟等多种因素。这使得我们的工作与[5]、[6]、[7]、[10]、[11]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]、[27]、[28]、[29]、[30]、[31]、[32]、[33]中的工作相比，具有更广泛的应用空间。

**章节片段**

**四元数预备知识** Q?和Q???分别表示所有n维四元数向量和n×n四元数矩阵的集合。设 z=z???+iz?1?+jz?2?+kz?3?∈Q?，z?，z?=z???-iz?1?-jz?2?-kz?3?，以及z*=（z???-iz?1?-jz?2?-kz?3?）?分别表示z的转置、共轭和共轭转置。Re(z)表示z的实部。设z=(z?,z?,…,z?)?∈Q?，z的模表示为|z|=(|z?|,|z?|,…,|z?|)?，其中z?=z????+iz??1?+jz??2?+kz??3?，|z?|=∑???,?,?,? z????2，l=1,2,…,n。改进的1-范数

**固定时间同步的结果** 在本小节中，为了满足引理2的条件5，设计了以下包含隐式函数V的控制器：

u(t)=?1/2(θ+λ?(1+V)^(-δ)+λ?(1+V)^δ)z(t)?1/2(ζ+λ?(1+V)^(-δ)+λ?(1+V)^δ)?(t)

其中 0< /><δ<1，θ>0，且ζ>0。

**注5** 如[33]所述，对于隐式函数方程(25)，如果引理3的条件成立，则存在由(25)确定的唯一V，且H关于V具有单调性。因此，通过牛顿迭代法可以简便快捷地计算V的值。

**数值仿真** 在本节中，将给出一个数值算例来说明定理1和定理2所得结果的可行性。

**例1** 考虑驱动-响应系统(12)-(13)，其中 m=2，D?1?=diag{3.5, 3.5}，D?2?=diag{2.8, 2.8}，H?1?=diag{1.5, 1.5}，H?2?=diag{2.2, 2.2}，

A=1/110×(-8-3i-14j-3k -5-i+14j-k 8-5i+14j+2k 5-2i-15j+2k)

B=1/110×(1+5i+11j-5k 2+2i-12j+12k -8-2i-12j-12k -5-i-2j+k)

时变延迟 τ(t)=0.5sin t，τ?=0.5，激活函数 f(z(t))=tanh(z???(t))+itanh(z?1?(t))+jtanh(z?2?(t))+ktanh(z?3?(t))，κ?=1 (l=

**结论** 本文针对一类具有时变延迟的FQVINNs，应用了隐式李雅普诺夫函数方法，并设计了两个包含隐式李雅普诺夫函数的简单控制器来完成控制任务。在非分解方法下，提出了新的充分准则以实现所考虑模型的固定时间/预设时间同步。最后，数值仿真表明所得结果是可行的。在后续研究中，通过进一步的

**CRediT作者贡献声明** 张紫叶：撰写——初稿、方法论、调查。庞孟镇：调查、形式化分析。王项华：项目管理、资金获取、概念构思。秦静：监督、调查、形式化分析。林冲：撰写——审阅与编辑、验证、监督。

**利益冲突声明** 作者声明，不存在已知可能影响本文报告工作的竞争经济利益或个人关系。

**致谢** 本工作部分由国家自然科学基金（61973197）、山东省自然科学基金（ZR2021MF100）、山东省高校青年创新科技支撑计划（2019KJI005、2021KJ028）以及山东科技大学科研基金资助。

张紫叶|庞孟镇|王项华|秦静|林冲

山东科技大学数学与系统科学学院，青岛，266590，中国