基于 Z 变换的散度保持型 ADI-FDTD 方法及其与子网格技术在探地雷达模拟中的结合

《IEEE Transactions on Antennas and Propagation》：Z Transform-Based Divergence-Preserving ADI-FDTD Method and Its Integration With Subgrid Techniques for GPR Simulations

　　

摘要：

本研究提出了一种隐式无条件稳定且散度保持的交替方向隐式有限差分时间域 (DP-ADI-FDTD) 方法，用于建模多极耗散德拜色散介质，该方法利用 Z 变换技术开发。为解决探地雷达 (GPR) 问题并提高计算效率和精度，将 DP-ADI-FDTD 方法与传统 FDTD 方法相结合，最终形成了一种先进的混合子网格框架。在此方法中，粗网格区域的电磁 (EM) 场分量使用显式 FDTD 方案计算，而细网格区域的场分量则使用隐式 DP-ADI-FDTD 方案求解。DP-ADI-FDTD 方法的无条件稳定性允许在粗网格和细网格上使用统一的时间步长，从而提高计算效率并简化数值实现。所提出的基于 Z 变换的 DP-ADI-FDTD 方法通过理论分析和数值实验进行了验证，展示了其 DP 特性、无条件稳定性以及扩展混合子网格技术的有效性。

一、引言

探地雷达 (GPR) 是一种地球物理技术 [1], [2], [3], [4], [5]，利用天线发射和接收电磁 (EM) 波，从而能够检测地下介质中的材料特性和分布模式。电磁波在地下介质中的传播受介质的电气特性和几何特征控制，这些因素会影响波的轨迹、场强度、波形等。通过分析接收信号的关键参数，如传播时间、幅度和波形（通常在示波器上可视化），并将其与预计算模型进行比较，可以推断地下界面或地质构造的空间位置、结构特征和分布。这种方法促进了相应于各种地下条件的反射波综合信号数据库的开发，该数据库通过电磁模拟生成以支持正演建模。在此类介质中，受麦克斯韦方程组控制的电磁波传播的精确模拟，对于实现精确可靠的 GPR 分析至关重要。有限差分时间域 (FDTD) 方法是一种广泛用于在空间和时间上离散化麦克斯韦方程组的技术 [6], [7]。该方法能够计算电磁场分布随时间的演变，从而捕捉瞬态电磁现象。通过将相应的电磁参数分配给代表介质不同区域的空间网格单元来纳入材料特性。该方法可以模拟各种复杂结构，包括非均匀性、各向异性、色散特性和非线性 [8], [9], [10], [11], [12], [13]。尽管具有实用性，传统 FDTD 方法的一个关键限制是时间步长受库朗 - 弗里德里希斯 - 列维 (CFL) 稳定性条件约束 [14], [15], [16]。在 GPR 模拟中，土壤和目标的色散特性，加上某些区域的不规则结构特征，需要使用细网格来确保数值精度。然而，这种方法带来了两个重大挑战：1) 时间步长必须足够小以满足 CFL 稳定性条件，导致计算时间增加；2) 均匀的细网格离散化显著增加了未知数的数量，导致更高的计算成本。